Лекция по теории систем 6

Лекция №6. Модели линейных непрерывных систем, построенные с помощью макроподхода во временной области

Напомним: непрерывными системами (НС) называются системы, вход и выход которых являются функциями непрерывного времени.

Реакция таких систем определяется как:

Основной моделью ЛНС в макроподходе является обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка.

.

Краткая запись:

(для физически осуществимых систем ).

Это же уравнение в операторной форме:

, (1)

где и - линейные операторы.

Решение такого операторного уравнения может быть получено применением слева к обеим частям операторного уравнения обратного к линейного оператора , который обладает следующим свойством: , где :

, . Т.к. линейные операторы перестановочны, то . Пусть , т.е. удовлетворяет уравнению:

) (2), будем иметь следующую систему операторных уравнений: . Определим для первого уравнения весовую функцию, приложив входное воздействие , тогда реакция . Т.к. одновременно реакция - весовая функция системы (1), то будем иметь: .

Перечислим основные этапы определения весовой функции системы (1):

1. Для системы (2) (она не выполняет дополнительного преобразования входного воздействия) определить весовую функцию , положив .

2. Применить оператор правой части (1) к :

Таким образом, вместо изучения системы (1) достаточно изучить систему (2).

Рассмотрим систему, описываемую операторным уравнением , или в обычной форме:

(3)

с заданными начальными условиями .

Т. к. рассматриваемая система является линейной, то, в соответствии с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений, полное решение может быть получено как наложение двух решений ,

где – общее решение однородного уравнения () с заданными начальными условиями;

– частное решение неоднородного уравнения (с нулевыми начальными условиями).

Определение .Функция есть линейная комбинация n линейно независимых решений, определяемых левой частью дифференциального уравнения

(4)

В предположении, что функции являются решениями уравнения (4), получаем для s алгебраическое уравнение:

(5),

которое называют характеристическим уравнением, а многочлен в левой части – характеристическим многочленом, т.е. параметр s должен быть корнем характеристического уравнения. Из основной теоремы алгебры известно, что уравнение (5) имеет n корней, которым соответствуют n линейно независимых решений, которые приведены в таблице:

Табл.1.

Свойства корня	Соответствующие решения
s – действительный корень кратности 1
s – действительный корень кратности k
s – комплексно сопряженный корень кратности 1:
s – комплексно со-пряженный корень кратности k

Решение уравнения (4) имеет вид:

, где – решения, соответствующие корням уравнения (5).

Произвольные постоянные определяются с помощью начальных условий, приложенных к системе, как решение следующей системы линейных алгебраических уравнений:

Определение . Мы рассмотрим всего два подхода, из которых предпочтительней для дифференциальных уравнений будет второй.

Первый подход.

Основывается на идеологии исследования линейных систем с неизвестной структурой и заключается в изучении реакции системы при нулевых начальных условиях при предъявлении на вход системы импульсного воздействия и реализации этапов, описанных в начале данной лекции.

Второй подход.

Подход основывается на идее, в соответствии с которой весовая функция в случае стационарности определяется в виде:

, т.е. по форме ровно так же, как и общее решение дифференциального уравнения, однако начальные условия должны быть выбраны специальным образом, а именно:

Достаточно просто можно показать, что импульсное воздействие на входе системы при нулевых начальных условиях и специальным образом выбранные начальные условия при нулевом входном воздействии порождают одинаковые результаты. Поэтому .

(Предложите доказательство сформулирован-ного утверждения).