3.4. Криволинейный интеграл.

Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода).

Пусть функция f(x, y)определена и непрерывна в точках дугиLгладкой кривой, заданной уравнениему = (х), гдех [a, b]. Разобьем дугуLпроизвольным образом наnэлементарных дуг точкамиА = А₀, А₁, …,А_n = В (АиВ– точки начала и конца дугиL) и обозначим черезs_iдлинуi– ой элементарной дуги. На каждой элементарной дуге выберем произвольную точкуM_i(_i, _i)и умножим значение функцииf (_i, _i)в этой точке на длинуs_iсоответсвующей дуги.Интегральной суммой для функции f(x, y) по длине дуги L называется сумма вида (8.1)

Криволинейным интегралом по длине дуги L от функции f(x, y) называется предел интегральной суммы (8.1) при условии, что maxs_i  0.

(8.2)

ds– дифференциал дуги;n  (приmaxs_i  0). КривуюLназывают нередкоконтуром интегрирования.

Этот интеграл мало отличается от рассмотренного ранее определенного интеграла (разница в том, что s_i > 0всегда) и, соответственно, свойства его таковы:

1. Криволинейный интеграл Iрода не зависит от направления пути интегрирования, т.е..

2. Интеграл суммы равен сумме интегралов

3. Постоянную можно выносить из под знака интеграла

, где С =const.

4. Если контур интегрирования Lразбит на две частиL₁и L₂, то

(полагаем, что эти части имеют одну общую точку). Можно показать, что криволинейный интегралIрода сводится к определенному интегралу вида

, гдеу = (х)(8.3.).

Пример: Вычислить , гдеL– отрезок прямой, соединяющей точки О(0;0) и А (1;2). Уравнение прямой примет вид у = 2х и для этой функции, откуда

Отметим, что: 1. Приведенные утверждения справедливы и в случае, если дуга L– кусочно гладкая. (Напомним, что кривая называетсягладкой, если касательная к ней определена и непрерывна в каждой точке, акусочно гладкой– кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков).

2. Возможен (а зачастую и целесообразен) переход к полярным координатам или к параметрическому заданию функции у = (х), упрощающий вычисление криволинейного интегралаIрода.

3. Если f(x, y) > 0, то этот интеграл численно равен массе кривойL, имеющей переменную линейную плотность = f(x,y). (Используется для вычисления массы криволинейных конструкций, их моментов инерции и т.д.).

4. Аналогично (8.2) определяется интеграл, если дуга Lесть часть пространственной кривой, в каждой точке которой задана функция, т.е.

.

Криволинейный интеграл по координатам (II рода).

Пусть функции f₁(x, y)иf₂(x, y)непрерывны в точках дугиАВгладкой кривой, заданной уравнениему = (х), гдех [a, b].

Интегральной суммой для функций f₁(x, y) и f₂(x, y) по координатам называют сумму вида (8.4),

где х_i и y_i – проекции элементарной дуги s на оси Ох и Оу.

Криволинейным интегралом по координатам от выражения

f₁(x, y)dx + f₂(x, y)dy по направленной дуге АВ называется предел интегральной суммы (8.4) пр и условии, что maxx_i  0 и maxу_i  0:

(8.5)

Рассмотрим основные свойства криволинейного интеграла второго рода.

1. Криволинейный интеграл второго рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования:

(это можно связать с тем, что в отличие отs_i > 0, x_iиy_iмогут быть и больше и меньше нуля).

2. Криволинейный интеграл второго рода равен сумме таких же интегралов по каждой из координат в отдельности:

.

Другие свойства аналогичны свойствам интеграла первого рода.

Криволинейный интеграл второго рода может быть вычислен по формуле: (8.6).

Аналогичная формула используется, если требуется вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой

. В этом случае (и во многих случаях плоской кривой) целесообразно использовать параметрическое задание кривой.

Пример: , гдеL– дуга параболы у = х², от точки А(–1; 1) до точки В(1; 1). у =(х) = х²и`(х) = 2х. По формуле (8.6)

.

Криволинейный интеграл IIрода численно равен работе, совершаемой переменной силойF = if₁(x, y) + jf₂(x, y)на соответствующем криволинейном путиАВ.

Формула Грина. Это важное во многих приложениях соотношение позволяет установить связь между двойным интегралом по некоторой плоской областиDи криволинейным интегралом второго рода по границеLэтой области. Если функцииf₁(x, y)иf₂(x, y)вместе со своими частными

производными инепрерывны в замкнутой областиD(включающей границуL), то справедливо соотношение(8.7)

называемое формулой Грина. (Символозначает криволинейный интеграл по

замкнутому контуру). Двойной интеграл в (8.7) вычисляется, как обычно, сведением его к двукратному. Использование (8.7) позволяет во многих случаях существенно упростить решение задачи.

Тесты

3.21. Область Д является правильной:

1) по оси Ох;

2) по оси Оу;

3) правильной.

3.22. Область Д ограничена линиями ;;.

1) ; 2); 3).

3.23. Дан . Изменив порядок интегрирования получим:

1) ; 2); 3).

3.24. Объем тела, ограниченного поверхностями ,,,, составит (куб.ед)

1) ; 2) 8; 3) –3; 4).

3.25. Область V ограничена поверхностями х = 0, х = 2, у = 0, у = 3, z = 0, z = 4,

1) 696; 2) 382; 3) –154; 4) 232.

3.26. Объем тела, ограниченного поверхностями ,составит (куб.ед):

1) ; 2); 3).

3.27. Криволинейным интегралом I рода называют:

1) ;

2) ;

3) .

3.28. На полукубической параболе лежат точки А(3; 2) и В(8;)

1) ; 2); 3).

3.29. Для криволинейного интеграла II рода справедливо:

1) =; 2)=;

3.30. Отрезок соединяет точки А(1; 1) и В(3; 4).

1) ; 2); 3); 4).