Решая эту систему методом Гаусса, получаем x1 = 2159 x3, x2 = 4459 x3, x3 любое действительное число. Полагая x3 = 59c, находим собственный вектор:

21c X = 44c .

59c

Это означает, что сбалансированность торговли тр¼х стран достигается при соотношении торговых бюджетов этих стран 21 : 44 : 59.

2. Содержание практических занятий

2.1.Занятие 1.

Задача 1. Даны точки A(3, −1) è B(−5, 5) и прямая l1, задаваемая уравне- íèåì 4x + 3y − 9 = 0. Требуется: 1) найти расстояние между точками A è B;

2) найти координаты точки C середины отрезка AB; 3) проверить, лежат ли точки A è B на прямой l1; 4) построить на координатной плоскости (на одном рисунке) точки A, B è C, а также прямую l1.

Задача 2. Даны прямые l1 : 2x − 3y − 1 = 0 è l2 : 3x + 2y − 8 = 0. Требуется: 1) найти угловые коэффициенты прямых l1 è l2; 2) доказать, что эти прямые перпендикулярны ; 3) найти точку пересечения прямых l1 è l2; 4) построить эти прямые на координатной плоскости (на одном рисунке).

Задача 3. Доказать, что прямые l1 : 2x−3y −7 = 0 è l2 : −4x+6y −1 = 0 являются параллельными.

Задача 4. Даны точки A(−9; 5), B(15; 12), C(3; −4) è M, причем M середина отрезка AB. Написать уравнение прямых AB è CM.

Задача 5. Даны точка A(−9; 5) и прямая l1 : 2x − 3y − 7 = 0. Написать уравнение прямой l2, проходящей через точку A параллельно прямой l1.

Задача 6. Даны точка A(−9; 5) и прямая l1 : 2x − 3y − 7 = 0. Написать уравнение прямой l3, проходящей через точку A перпендикулярно прямой l1.

Задача 7. Написать уравнение окружности радиуса 5 с центром в точке (3, −1). Построить окружность на координатной плоскости.

Задача 8. Даны точки A(−9; 5) è B(−1; 11). Написать уравнение окруж-

ности, для которой отрезок AB служит диаметром. Построить окружность на координатной плоскости.

2.2. Занятие 2.

Задача 9. Даны матрицы

A =	0	−1 2		1	,	B =	−1	3	4	−3 .
	−2	3	3	2			2	1	5	−6
	3	4	−3	5			1	5	−3 7

Найти 2A, A + B, 3A − B.

38

Задача 10. Перемножить матрицы:

		4 3		2		6				0	3	5		−				1
															0
															1			4
a)		1 −2		5 −1 ;					á) 1 −1 2							2 3					;
		3	1			−1				0	3	1		−
		1	2		0					1	2		2				2
â)					6	9		;	ã)			−					5			.
		−				−

Задача 11. Найти A2, åñëè

3	1	−1
2	4	5	.
A = 3	0	1

Задача 12. Найти матрицу At, транспонированную к матрице A из задачи

9.

Задача 13. Привести матрицу к ступенчатому виду и указать ее ранг:

a)		2	4		1		;	á)			3		6		2	1		;	â)			−		−1			;
		3		1 0						3				1 0		1					1 2
			−						−				−			−					3	1			4
																					2		3	1
			−																	4			6	2
																						−
		1		2	3			3		3			4		2	1			4 .					−
							ã)		4			;			ä) 1		5
								2	−5							3	−1		2
								1	2						5		9		10

2.3. Занятие 3.

Задача 14. Вычислить определители 2-ого порядка:

a)

3

5

;

á)

√a

;

â)

cos α

sin α

.

a

−

Задача 15. Вычислить определители третьего порядка, разложив их по элементам первой строки:

a)	5 −2		1	;	á)	−1 a				1 .
	2	3	4				a	1		a
	1	2	3				a		1	a
								−

Задача 16. Вычислить определители, разложив их по элементам ряда, который содержит наибольшее число нулей:

a)	0 b	0			;	á)	0	−x	1 .
	1 b	1					−x	1	x
	b 0		b				x	1	−x
		−							−

39

Задача 17.

−2 1 5

0 −1 3 .

4 5 1

Вычислить определитель тремя способами (разлагая по элементам трех различных рядов).

Задача 18. При каких значениях λ матрица

	λ	4	1
A =	2	5	−1
	0	λ	1

будет вырожденной?

Задача 19. Решить уравнения:

6

3

λ

1

λ

a)

2 −

λ −1

= 0;

á)

10 −

λ 9

= 0.

− −

−

−

Задача 20.

−

1

, обратную

к матрице

Найти

матрицу A

6

7

A =

−3

1 .

Задача 21.

Найти матрицу A−1

, обратную к матрице

1	2	−3
2	5	0	.
A = 4	−3	7

2.4. Занятие 4.

Задача 22. Решить систему линейных уравнений

	x1		2x2	+ 3x3	= 2,
	2x1	+ 5x2		− x3	= 21,
		−			=	−	24
	5x1 + 4x2 + 7x3					−
−

a)методом обратной матрицы; б) методом Крамера.

Задача 23. Методом Крамера решить систему линейных уравнений

5x 2y + 3z					= 23,
	3x +		y − 2z		= 10,
		−		9z	=		1.
2x			−			−

Задача 24. Методом Крамера решить систему линейных уравнений

(

3x1 + 8x2 = −2, 5x1 − 2x2 = 12.

40

Задача 25.

2.5. Занятие 5.

Методом Гаусса решить системы линейных уравнений:

a)		2x1 + 5x2 − x3			= 21,	á)		x1 − 4x2 + 8x3			= −1,
		x1	−	2x2 + 3x3	= 2,			3x1 + 2x2	−	5x3	= 12,
					−			5x1 + 6x2		11x3	= 18,
		5x1 + 4x2 + 7x3			= 24;				−
	−				−		−

â)		2x1 − 5x2 − 2x3	= 0,
	4x1 + 9x2 + 2x3		= 6,
	2x1 + x2 + 2x3		= 8.

Задача 26. Методом Гаусса решить системы линейных уравнений:

a)

2x + y

−

3z

= 0,

á)

3x1

+ 7x2

+ 7x3

x4

= 3,

4x + 3y 5z

= 11,

−

x1

− 2x2

+ 4x4

= 9,

−

−

2z

= 11;

x1 + 3x2

−

−

6x + 2y

−

−

+ 14x3 + 7x4

= 15.

Для каждой из систем найти общее и какое-нибудь частное решение.

2.6. Занятие 6.

Задача 27. Построить множества точек на плоскости, заданные системой неравенств

a) 2x>

y + 3 > 0,

á)

y < 6,−

7 > 0,

y

4,

x + y

−

7

0;

x

5

0.

x + y

−

6

2y

−

−

>

−

−

Задача 28.

Даны векторы

a= (0, 3, −1) и b= (2, −5, 1) в трехмерном про-

−,

−

−

−

−

−

−

странстве. Найти векторы 3 a

a + b,

a

− b, 2 a

−3 b.

−

−

Задача 29.

Доказать, что векторы

a= (2, 3, −4) è b= (−4, −6, 8) в трехмер-

ном пространстве являются коллинеарными.

Задача 30.

Доказать, что точки A(2, 3), B(3, 5) и C(5, 9) лежат на одной

прямой.

Задача 31. Даны пары векторов на плоскости. Указать в каких парах векторы линейно зависимы.

a)	−	−	−	−
	a= (−2, 3), b= (4, −7);		á) a= (1, −3), b= (−2, 6).

Задача 32. Даны тройки векторов в трехмерном пространстве. Указать в каких тройках векторы линейно зависимы.

− − −

a)a= (−2, 4, 3), b= (4, −7, 0), c= (2, −3, 3);

	á)	−	−	−
		a= (1, 5, −3), b= (2, −2, 6), c= (4, 0, 0).				−
					−
−	Задача 33. Доказать, что тройка векторов				a= (3, −4, 1),	b= (2, −3, 6),
c= (0, 5, −2) образует базис в трехмерном пространстве и разложить вектор
−	= (8, −11, 8)		по этому базису.
m

41