Лекции 7-8 Системы линейных алгебраических уравнений
Cистема имеет вид:
(1)
Коэффициенты при неизвестных составляют матрицы
Решением системы линейных уравнений (1) называется такая система п чисел , что каждое из уравнений (1) обращается в тождество после замены в нем неизвестных соответствующими числами
Система линейных уравнений может не иметь ни одного решения и тогда она называется несовместной. Такова, например, система
Если же система линейных уравнений обладает решениями, то она называется совместной. Совместная система называется определенной , если она обладает одним-единственным решением — лишь такие системы допускаются к рассмотрению в элементарной алгебре,— и неопределенной, если решений больше чем одно; как мы узнаем позже, их будет в этом случае даже бесконечно много. Так, система
определенна: она имеет решение и, как легко проверяется методом исключения неизвестного, это решение будет единственным. С другой стороны, система
неопределенна, так как имеет бесконечно много решений вида
(2)
где число k произвольно, причем решениями, получающимися по формулам (2), исчерпываются все решения нашей системы.
Задача теории систем линейных уравнений состоит в разработке методов, позволяющих узнать, совместна ли данная система уравнений или нет, в случае совместности установить число решений, а также указать способ найти все эти решения.
Рассмотрим систему линейных уравнений (1).
Как мы знаем, прежде всего следует решить вопрос о совместности этой системы. Для этой цели возьмем матрицу A из коэффициентов системы и «расширенную» матрицу , полученную присоединением к А столбца из свободных членов,
A =,=,
и вычислим ранги этих матриц. Легко видеть, что ранг матрицы либо равен рангу матрицы А, либо на единицу больше последнего.В самом деле, берем некоторую максимальную линейно независимую систему столбцов матрицы А. Она будет линейно независимой и в матрице .Если она сохраняет и свойство максимальности, т. е. столбец из свободных членов через нее линейно выражается, то ранги матрицыА и равны; в противоположном случае, присоединяя к этой системе столбец из свободных членов, мы получаем линейно независимую систему столбцов матрицы, которая будет в ней максимальной.
Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера — Капелли.
Система линейных уравнений (1) тогда и только тогда совместна, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицыА.
Рассмотрим основные способы решения Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера.
Пусть дана система n-линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
Запишем главный определитель системы:
∆ = .
Выпишем вспомогательные определители, заменяя 1, 2, n-ый столбец столбцом из свободных членов:
∆.
∆= .
∆= .
Правило Крамера:
Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, это решение единственное и находится по формулам:
= ,=,=.
Пример.
Решить систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:
Решение:
Составим главный определитель системы:
∆ = = – 20 – 48 – 3 + 18 + 8 + 20 = – 25.
Выпишем вспомогательные определители:
∆x = = – 10 – 32 – 9 + 12 + 4 + 60 = 25.
∆y = = 30 + 12 + 6 – 27 – 16 – 5 = 0.
∆z = = – 8 – 36 – 1 + 6 + 6 + 8 = – 25.
Используя формулы, приведенные выше, найдем решение данной системы:
x =