Рефлексивность

Определение. Пусть — пространство, сопряженное с , то есть совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на . Если — значение функционала на элементе , то при фиксированном и , пробегающем , выражение будет линейным функционалом на , то есть элементом пространства . Пусть — множество таких функционалов. Соответствие есть изоморфизм, не меняющий нормы .

Если , то пространство называется рефлексивным.

Например:

Пространства и,, рефлексивны,

Пространства ,не рефлексивны.

Свойства.

1. Пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда рефлексивно.

2. Пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар этого пространства слабо компактен.

3. Рефлексивное пространство слабо полно. Обратное неверно, существуют слабо полные нерефлексивные пространства, например .

4. Замкнутое подпространство рефлексивного пространства рефлексивно.

Критерий линейной независимости

Линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. Для этого должна существовать нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. Если такой комбинации нет, то есть коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.

Определение. Пусть будет линейное пространство над полем и .

 называется линейно независимым множеством, если любое его конечное подмножество является линейно независимым.

Конечное множество называется линейно независимым, если единственная линейная комбинация, равная нулю, тривиальна, то есть состоит из факторов, равных нулю:

Если существует такая линейная комбинация с минимум одним , называется линейно зависимым. Обратите внимание, что в первом равенстве подразумевается , а во втором .

Свойства.

1.  линейно зависимо

2.  линейно независимо  линейно независимо для всех

3.  линейно зависимо  линейно зависимо для всех .

16