Модель многомерной случайной величины. Совместные и условные распределения. Условные моменты распределений и их оценивание по выборке. Многомерное распределение Гаусса и его свойства.
Модель многомерной случайной величины. Во многих реальных сценариях мы сталкиваемся с ситуациями, когда несколько случайных величин взаимосвязаны. Эти переменные можно представить в виде многомерной случайной величины, которая состоит из двух или более случайных величин, где каждая переменная может принимать различные значения одновременно.
Функция плотности вероятности многомерной
случайной величины выполняет следующие
правила:
для любых возможных реализаций
,
при этом
.
Кумулятивная функция распределения
многомерной случайной величины выполняет
следующие правила:
,
если
для всех
от 1 до
,
т.е. она нарастает; помимо этого
кумулятивная функция распределения
непрерывна справа, что означает, что
предел
при приближении
к
значению справа
.
Совместные и условные распределения. Совместное распределение описывает распределение вероятностей всего набора переменных в многомерной случайной величине. В общем-то это обобщенная формулировка для обозначения функции плотности вероятности многомерной величины.
Для дискретной случайной величины
совместное распределение обозначается
как:
.
И, как и в случае с функцией плотности:
где представляет дискретные случайные величины, а – их соответствующие реализации.
Условное распределение описывает
распределение вероятностей одной или
нескольких переменных, учитывая значения
других переменных. Оно предоставляет
информацию о поведении подмножества
переменных, обусловленном значениями
остальных переменных. В контексте
математической нотации, приведенной
ниже, условное распределение представляет
собой вероятность того, что
примет значение
при определенных значениях других
переменных:
Условные моменты распределений и их
оценивание по выборке. Условные
моменты – это статистические показатели,
которые описывают свойства условного
распределения. Условное среднее,
обозначаемое как
,
представляет собой среднее значение
при фиксированном значении
для
.
Аналогично, условная дисперсия,
обозначаемая как
,
измеряет разброс
вокруг его условного среднего значения,
когда
принимает фиксированное значение
.
На практике мы часто имеем доступ к
выборке наблюдений, а не ко всей
совокупности. Чтобы оценить условные
моменты по выборке, мы можем вычислить
выборочное среднее:
и выборочную дисперсию:
подмножества переменных, обусловленных
конкретными значениями других переменных.
Эти оценки дают приближение к истинным
условным моментам в популяции. Заметим,
что использованные формулы применимы
для дискретных случайных величины, для
непрерывных сумма должна быть заменена
интегралом, а вероятность – функцией
плотности вероятности
.
Многомерное распределение Гаусса и его свойства. Многомерное гауссовское распределение, также известное как многомерное нормальное распределение, является широко используемым распределением вероятностей для моделирования многомерных случайных величин.
Оно характеризуется средним вектором и ковариационной матрицей. Функция плотности вероятности многомерного гауссовского распределения задается следующей формулой:
где
– d-мерный вектор случайных величин,
– средний вектор,
– ковариационная матрица,
– детерминант
.
Многомерное гауссовское распределение обладает несколькими важными свойствами:
Линейные комбинации многомерных гауссовских переменных также являются гауссовскими.
Маргинальные распределения многомерного гауссова распределения являются одномерными гауссовыми.
Условные распределения многомерного гауссовского распределения также являются гауссовскими.
Многомерное гауссовское распределение имеет независимые компоненты тогда и только тогда, когда его ковариационная матрица диагональна.