Дифракция

xк1	=k1		λ		L;
		d1
								(13.3а)
			λ
ук2	=k2					L;
			d2

где k1 = 0, ±1,± 2, ±3,... и k2 = 0, ±1, ± 2, 3....

Пусть волна падает на двумерную решетку наклонно (т.е. углы α0 и β0

отличны от π2 ). Тогда условия возникновения главных максимумов примут вид:

d	(cosα −cosα	0	)=k λ;
1			1		(13.4 )
d2 (cosβ−cosβ0 )=k2λ

Общий характер дифракционной картины, в этом случае, останется прежним, изменятся лишь масштабы по осям Х и Y, наблюдаемой дифракционной картины.

Если решетки d1 и d2 взаимно не перпендикулярны, а составляют ка-

кой-либо угол между собой, положение максимумов будет зависеть от угла между штрихами решеток. Однако, нарушение строгой периодичности щелей (хаотическое их распределение) приводит к существенному изменению общей картины: наблюдаются симметричные размытые интерференционные кольца. Интенсивность наблюдаемых колец пропорциональна не квадрату числа щелей, а числу щелей. Таким образом, по расположению максимумов можно судить о величине периодов d1 и d2 и взаимной ори-

ентации решеток.

14. Дифракционная решетка как спектральный прибор

Дифракционные решетки создают эффект резкого разделения и усиления интенсивности света в области максимумов, что делает их незаменимыми оптическими приборами. Они позволяют получать ярко выраженную дифракционную картину.

Положение дифракционных максимумов зависит от длины волны света λ (из формулы (11.2а) следует sin ϕmax λ). Поэтому при пропускании че-

рез решётку белого света, все максимумы кроме центрального разложатся в спектр, фиолетовый конец которого направлен к центру дифракционной картины, а красный наружу. Таким образом, дифракционная решётка представляет собой спектральный прибор.

При освещении щели белым светом, центральный максимум наблюдается в виде белой полоски (потому, что при ϕ = 0 разность хода равна нулю для всех λ) — он общий для всех длин волн. Боковые максимумы ра-

41

дужно окрашены фиолетовым краем к центру дифракционной картины (поскольку λфиол <λкрасн ), в отличие от дисперсии в призме.

Рис. 14. 1.

Таким образом, картина дифракции Фраунгофера белого света на щели будет представлять собой центральную светлую полоску и ряд минимумов и максимумов, расположенных по обе стороны от неё в направлении перпендикулярном направлению щели.

Рис. 14.2

В центре дифракционной картины лежит узкий максимум нулевого порядка; у него окрашены только края. По обе стороны от центрального максимума расположены два спектра 1-го порядка, затем два 2-го порядка и т.д. Начиная со второго порядка, происходит частичное перекрытие спектров 2-го и 3-го порядков, 3-го и 4-го порядков и т.д. Поэтому дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор для разложения света в спектр и измерения длин волн.

Поскольку в условии главных максимумов (11.2а) sin ϕ ≤1, то максимальное число главных максимумов, даваемое дифракционной решеткой:

m	≤ d	(14.1)
max	λ

42

Угловая ширина центрального (нулевого) главного максимума на рис. 11.2 и рис. 14.2 определяется формулой

	δϕ0 = 2arcsin	λ	≈	2λ	(14.2)
		Nd		Nd

m=0	m=1	m=2	m=3
			спектр
	спектр	спектр
	первого	второго	третьего
	порядка	порядка	порядка

Рис. 14.3. Дифракционный спектр люминесцентной лампы (показана только правая половина спектра)

Основными характеристиками любого спектрального прибора являются

угловая дисперсия, разрешающая способность и область дисперсии, рас-

смотрим их.

Угловая дисперсия
Угловой дисперсией называется величина
D = ∂ϕ	(14.3)
∂λ

Чтобы найти угловую дисперсию дифракционной решётки, продифференцируем левую часть условие главного максимума по углу ϕ, а правую по λ. Опуская знак минус в левой части, получим:

	d cosϕ dϕ =m dλ
	Отсюда:
	D = dϕ	=	m	.	(14.4)
			d cosϕ
	dλ
	При малых углах дифракции cosϕ ≈1, поэтому можно положить
	D ≈ m				(14.5)
	d

Из полученного выражения следует, что угловая дисперсия обратно пропорциональна периоду решётки d . Чем выше порядок спектра m , тем больше дисперсия.

43

	Линейной дисперсией называют величину
	D	лин	=	δl	,	(14.6)
				δλ

где δl - линейное расстояние на экране или на фотопластинке между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на δλ. Из рис. 4.14 видно, что при небольших значениях углах ϕ можно положить δl = f ′ δϕ,

где f ′ - фокусное расстояние линзы, собирающей дифрагирующие луч на экране.

Рис. 14.4

Следовательно, линейная дисперсия связана с угловой дисперсией D соотношением

Dлин = f ′ D

Или приняв во внимание (14.5)

Dлин = f ′ m	(14.7)
d

2. Разрешающая способность

По определению разрешающей способностью называется величина

R = δλλ (14.8)

где δλ — наименьшая разность длин волн спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются еще раздельно, т. е. разрешаются. Величина δλ = λ2 −λ1 не может быть по ряду причин определена точно, а лишь ориен-

тировочно (условно). Такой условный критерий был предложен Рэлеем. Согласно критерию Рэлея, спектральные линии с разными длинами

волн, но одинаковой интенсивности, считаются разрешёнными, если главный максимум одной спектральной линии совпадает с первым минимумом другой (рис. 16).

44

Рис. 14.5

Найдем разрешающую силу дифракционной решетки. Положение середины m -го максимума для длины волны λ1 определяется условием:

	d sin ϕmax =mλ1
	Края m максимума для длины волны		λ2		расположены под углами,
	удовлетворяющими соотношению:		1
	d sin ϕmin	= m ±			λ2
			N

Середина максимума для длины волны (λ + δλ) наложится на край мак-

симума для длины волны в том случае, если:			1
m (λ+ δλ)= m +					λ,
откуда			N
	λ
m δλ =
	N
Решая это соотношение относительно λ δλ , находим
R =mN					(15.27)

В этом случае между двумя максимумами возникает провал, составляющий около 20% от интенсивности в максимумах, и линии еще воспринимаются раздельно

Это и есть искомая формула для разрешающей способности дифракционной решётки. данная формула дает верхний предел разрешающей способности. Она справедлива при выполнении следующих условий:

1.Интенсивность обоих максимумов должна быть одинаковой.

2.Расширение линий должно быть обусловлено только дифракцией.

3.Необходимо, чтобы падающий на решётку свет имел ширину когерентности, превышающую размер решетки. Только в этом случае все N штрихов решётки будут «работать» согласованно (когерентно), и мы достигнем желаемого результата.

45

Для повышения разрешающей способности спектральных приборов можно, как показывает формула (15.27), либо увеличивать число N когерентных пучков, либо повышать порядок интерференции m .

Первое используется в дифракционных решетках (число N доходит до 200 000), второе - в интерференционных спектральных приборах (например, в интерферометре Фабри-Перо число N интерферирующих волн невелико, порядка нескольких десятков, а порядки интерференции m 106 и более).

3. Область дисперсии

∆λ — это ширина спектрального интервала, при которой еще нет перекрытия спектров соседних порядков. Если спектры соседних порядков перекрываются, то спектральный аппарат становится непригодным для исследования соответствующего участка спектра. длинноволновый конец спектра m -го порядка совпадает с коротковолновым концом спектра (m +1)-го порядка, если m (λ+ ∆λ) = (m +1)λ, откуда следует, что об-

	ласть дисперсии	λ
	∆λ =		(5.33)
		m

Значит, область дисперсии ∆λ обратно пропорциональна порядку спектра m . При работе со спектрами низких порядков (обычно второго или третьего) дифракционная решетка пригодна для исследования излучения, занимающего достаточно широкий спектральный интервал. В этом главное преимущество дифракционных решеток перед интерференционными спектральными приборами, например, интерферометром Фабри - Перо, у которого из-за высоких порядков m область дисперсии очень мала.

Еще о дифракционных решётках. Дифракционная решётка является одним из важнейших спектральных приборов, которому наука обязана многими фундаментальными открытиями. Спектр — это по существу код, который будучи расшифрован с помощью того или иного математического аппарата дает возможность получить ценнейшую информацию о свойствах атомов и внутриатомных процессов. Для адекватного решения этой задачи спектр должен быть неискажённым и чётко различимым — в этом суть той сложнейшей научно-технической проблемы, которую пришлось решить, чтобы наконец добиться получения высококачественных дифракционных решёток. Технология изготовления дифракционных решеток в настоящее время доведена до высокой степени совершенства. Первые высококачественные отражательные решётки были созданы в конце прошлого столетия Роулендом (США). О технической сложности решаемой проблемы говорит хотя бы уже такой факт, что необходимая для этой цели делительная машина создавалась в течение 20 лет! Его дело продолжили Андерсен, Вуд и другие знаменитые экспериментаторы.

Современные полностью автоматизированные делительные машины позволяют с помощью алмазного резца изготовлять решётки с почти стро-

46

го эквидистантным расположением штрихов. Трудно даже представить, что алмазный резец при этом прочерчивает десятки километров, практически не изменяя свой профиль, — а это принципиально важно. Размеры уникальных решеток достигают 40х40 см! (Такие решетки используют в основном в астрофизике.) В зависимости от области спектра решётки имеют различное число штрихов на 1 мм: от нескольких штрихов, начиная с инфракрасной области, до 3600 — для ультрафиолетовой. В видимой области спектра 600 — 1200 штрих/мм. Ясно, что обращение с гравированной поверхностью таких решёток требует предельной осторожности.

Вследствие высокой стоимости оригинальных гравированных решёток получили распространение реплики, т. е. отпечатки гравированных решеток на специальных пластмассах, покрытых тонким отражательным слоем. По качеству реплики почти не уступают оригиналам. В 1970-х годах был разработан новый, голографический метод изготовления дифракционных решёток. В этом методе плоская подложка со светочувствительным слоем освещается двумя плоскими наклонными пучками когерентных лазерных излучений с определенной длиной волны. В области пересечения пучков образуется стационарная интерференционная картина с синусоидальным распределением интенсивности. После соответствующей обработки светочувствительного слоя получается качественная дифракционная решетка.

Отметим в заключение, что, кроме прозрачных и отражательных решёток, существуют ещё и фазовые. Они влияют не на амплитуду световой волны, а вносят периодические изменения в её фазу. По этой причине их и называют фазовыми. Примером фазовой решетки может служить пластмассовая кювета с прозрачной жидкостью, в которой возбуждена плоская стоячая ультразвуковая волна. Это приводит к периодическому изменению плотности жидкости, а значит ее показателя преломления и оптической разности хода. Такая структура меняет не амплитуду проходящего поперек волны света, а только фазу. Фазовые решетки также находят многочисленные практические применения.

Одномерная решетка вибраторов. Аналогично дифракционной ре-

шётке ведет себя в радиодиапазоне система из N параллельных друг другу вибраторов-антенн. Если они действуют синфазно, то нулевой (основной) максимум излучения направлен нормально к решетке в ее экваториальной плоскости. И здесь возникает интересная в практическом отношении возможность. Если создать режим, при котором колебания каждой следующей антенны будут, например, отставать по фазе от колебаний предыдущей на одну и ту же величину, то нулевой максимум не будет совпадать с нормалью к решетке. Изменяя же фазу во времени по определенному закону, мы получаем систему, у которой направление главного максимума будет изменяться в пространстве. Таким образом, мы приходим к возможности радиолокационного обзора местности с помощью неподвижной системы антенн.

47

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3. 3(а). ДИФРАКЦИЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО СВЕТА НА ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЁТКЕ

Цель работы: Изучение дифракции монохроматического света на дифракционной решётке. Определение постоянной дифракционной решётки.

Оборудование: оптическая скамья, монохроматор SPM-2, лампа накаливания, дифракционная решётка в держателе, линзы – 1 шт., линейка.

Порядок выполнения работы

Перед началом работы необходимо ознакомиться с теорией дифракции и описанием монохроматора SPM-2 в Приложении 1.

Схема экспериментальной установки показана на рис. 1

			SPM-2	5	6
				xm φ
1	2	3		4	7
					L

Рис.1. Схема наблюдения дифракции монохроматического света на дифракционной решётке.

1 – лампа накаливания; 2 – линза; 3 – входная щель монохроматора SPM-2; 4 – выходная щель монохроматора; 5 – плоскость измерительной линейки;

6 – дифракционная решётка; 7 – глаз наблюдателя; xm - расстояние между центра-

ми нулевого и m-го максимума; L - расстояние плоскости щели до плоскости дифракционной решётки; ϕ - угол дифракции.

48

Задание 1

Определение постоянной дифракционной решётки

1. Проверить соответствие собранной схемы настоящему описанию. 2*. Включите монохроматор SPM-2 и вращением рукоятки 27 установи-

те необходимую длину волны по матовому экрану монохроматора, например, 0,55 мкм, что соответствует жёлтому цвету.

Внимание! Пункты, помеченные звёздочкой, выполняет преподаватель или лаборант.

4*. Включите источник света - лампу накаливания и перемещением линзы перпендикулярно оптической оси при помощи рукоятки на держателе линзы добейтесь яркого освещения входной щели монохроматора SPM-2.

3.Перед выходной щелью монохроматора установите дифракционную решетку на расстоянии L = 20 ÷30 см. от щели измерьте это расстояние, занесите в таблицу и далее не изменяйте его.

4.Наблюдая через дифракционную решётку дифракционную картину на фоне линейки, измерьте расстояния между центром максимума нулевого порядка и дифракционными максимумами первого x1 , второго x2 и

третьего x3 порядков для трёх длин волн, и данные занесите в таблицу.

Длины волн задаются преподавателем. Обычно задаются наиболее интенсивные цвета света – красный, жёлтый и зелёный.

Таблица 1.

λ, мкм. x1 , мм. x2 , мм. x3 , мм. L , м.

λ1

λ2

λ3

6.По формуле

d =m	L	λ	(1)
	xm

где m = 0,±1,±2,±3.......- порядок максимума, рассчитайте постоянную решётки d , найдите среднее значение d и по формуле Стьюдента рассчи-

тай погрешность измерений.

7. Запишите результат в формате:

d = d ± ∆d

49

Задание 2.

Расчёт максимального порядка дифракционного спектра, угловой дисперсии и разрешающей способности дифракционной решётки

1. Оцените теоретическое значение максимально возможного числа главных максимумов, даваемое дифракционной решёткой с измеренной постоянной решётки для выбранной длины волны и сравните с экспериментально наблюдаемой дифракционной картиной.

Наибольший порядок спектра дифракционной решётки можно найти из условия главного максимум

d sin ϕ =mλ,
откуда следует:
m = d	sin ϕ.	(2)
λ

Из формулы (2) видно, что максимальный порядок дифракции m для заданных d и λ определяется значением переменной величины sin ϕ. Наибольшее значение sin ϕ =1, следовательно:

m	max	= d	(3)
		λ
2. Рассчитайте угловую дисперсию дифракционной решётки.
По определению угловой дисперсией называется величина
Dугл		δϕ
		= δλ

где δϕ угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на δλ = λ1 −λ2 . Дисперсию можно определить из ус-

ловия главного максимума

d sin ϕ =mλ.

Чтобы найти угловую дисперсию дифракционной решётки, продифференцируем левую часть условие главного максимума по углу ϕ, а правую по

λ. Опуская знак минус в левой части, получим d cosϕ dϕ =m dλ

	Отсюда:
	D = dϕ	=	m	.	(4)
			d cosϕ
	dλ
	При малых углах дифракции cosϕ ≈1, поэтому можно положить
	D ≈ m				(5)
	d

Из полученного выражения следует, что угловая дисперсия обратно пропорциональна периоду решётки d . Чем выше порядок спектра m , тем

50