Информатика / Теория / мет_указ_КР_ОМИ_КОСОМИ

21

Пример из строки формул: =LOG(L4;2)

21.Аналогично заполнить строку расчета по формуле Хартли (вариант 2), используя функцию LOG (на ленте вкладка "Формулы", диалоговое окно "Библиотека функций", кнопка "Математические", функция "LOG").

Пример из строки формул: =-LOG(1/L4;2)

22.Результаты расчета по формуле Хартли для двух вариантов должны совпасть.

23.Заполнить строку расчета по формуле Хартли в натах, используя функцию LN (на ленте вкладка "Формулы", диалоговое окно "Библиотека функций", кнопка "Математические", функция "LN").

Пример из строки формул: =LN(L4)

24.Заполнить строку расчета по формуле Хартли в хартли (дитах), используя функцию LOG10 (на ленте вкладка "Формулы", диалоговое окно "Библиотека функций", кнопка "Математические", функция "LOG10").

22

Пример из строки формул: =LOG10(L4)

25.Проверьте результаты работы. Итоговая таблица должна иметь следующий вид:

Результаты

	Длина сообщения					39	символов
	Алфавит (N)					17	символов
					Энтропия
	Количество информации по формуле Шеннона (вариант 1)
	N			1		3,88	бит
	H Pi log2			Pi
	i 1
	Количество информации по формуле Шеннона (вариант 2)
	N					3,88	бит
	H Pi log2 Pi
	i 1
	Количество информации по формуле Хартли в битах (вариант 1)					4,09	бит
	H log2 N
	Количество информации по формуле Хартли в битах (вариант 2)
	1					4,09	бит
	H log2
	N
	Количество информации по формуле Хартли в натах					2,83	нат
						1,23	хартли
	Количество информации по формуле Хартли в хартли (дитах)						(дит)

26.Отформатируйте таблицу и сохраните результаты работы.

Раздел № 3

"Двоичная арифметика"

23

Двоичная система счисления с цифрами 0,1 получила широкое применение в вычислительных машинах. Начало исследования этой системы относится к XVI веку. Удобство и простоту выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления отмечали еще Б. Паскаль и Г. Лейбниц. Рассмотрим правила выполнения простейших арифметических операций с двоичными числами.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения и вычитания.

Таблица двоичного сложения

Таблица двоичного вычитания

0+0=0		0-0=0
0+1=1		1-0=1
1+0=1		1-1=0
1+1=10		10-1=1

Сложение

Правила арифметики во всех позиционных системах счисления аналогичны. Для выполнения сложения запишем числа столбиком так, чтобы соответствующие разряды чисел оказались друг под другом. При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и переноса из соседнего младшего разряда, если он имеется. При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий.

Пример. Выполнить сложение двоичных чисел:

а) X=1101, Y=101;

Результат 1101+101=10010. б) X=1101, Y=101, Z=111;

Результат 1101+101+111=11001.

Сложение нескольких чисел вызывает некоторые трудности, так как в результате поразрядного сложения могут получится переносы, превышающие единицу. В таких случаях приходится учитывать переносы не только в соседней, но и другие старшие разряды.

24

Вычитание

Вычитание в двоичной системе выполняется аналогично вычитанию в десятичной системе счисления. При необходимости, когда в некотором разряде приходится вычитать единицу из нуля, занимается единица из следующего старшего разряда. Если в следующем разряде нуль, то заем делается в ближайшем старшем разряде, в котором стоит единица. При этом следует понимать, что занимаемая единица равна двум единицам данного разряда, т. е. при вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. И эта занимаемая 1 равна двум 1 данного разряда.

Пример. Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X-Y.

Результат 10010 - 101=1101.

Задание 1

		Выполнить сложение и вычитание це-
	Номер варианта	лых двоичных чисел и произвести
		проверку результата в десятичной
		системе счисления
	Вариант 1	011000		0100
	Вариант 2	011001		0101
	Вариант 3	011110		0101
	Вариант 4	011000		0110
	Вариант 5	001100		0100
	Вариант 6	010100		0101
	Вариант 7	010100		0101
	Вариант 8	001100		0110
	Вариант 9	011000		0110
	Вариант 10	001100		0100

Раздел № 4 "Алгебра логики"

Основным математическим аппаратом, используемым при анализе и синтезе дискретных элементов и устройств, является алгебра логики (булева алгебра, алгебра Буля). В алгебре логики широко используется понятие “высказывание”. Высказыванием будем называть простое повествовательное положение, о котором можно сказать, что оно ложно или истинно, но не то и другое одновременно. Любое высказывание можно обозначить символом X и считать, что X=1, если высказывание истинно, а X=0, если высказывание ложно. Логическая (булева) переменная – такая переменная X, которая может

25

принимать только два значения: X={0,1}. Из двух простых высказываний X1 и X2 можно образовать более сложные высказывания, используя операции “И”, “ИЛИ”, “НЕ”. Сложные высказывания также принимают значения “истинно” или “ложно”, т.е. 1 или 0. Смысл логических операций над простыми высказываниями X1 и X2 и значениями сложных высказываний можно представить в виде таблиц истинности: “ИЛИ”, “И”, “НЕ” соответственно.

Таким образом, простые высказывания являются переменными, а более сложные высказывания – функциями. Причем как переменные, так и функции могут принимать только значения 0 или 1. Алгебра логики может быть определена как алгебра, содержащая 3 операции “И” (конъюнкция), “ИЛИ” (дизъюнкция), “НЕ”(отрицание) над множеством элементов, каждый из которых принимает два значения 0 или 1. Результаты выполнения операций над множеством элементов также принимают два значения 0 или 1.

		Задание 1
	Номер варианта	Применяя таблицу истинности, доказать истинность
		формулы
	Вариант 1	x /\ не y => (не y => x)
	Вариант 2	y => x \/ (x /\ y \/ не x)
	Вариант 3	(x \/ y) /\ не x => y
	Вариант 4	(не x => не y) => ( y =>x)
	Вариант 5	(x => y) \/ (y => x)
	Вариант 6	не х => (x => y)
	Вариант 7	((x => y) /\ x) => y
	Вариант 8	x => (y => y)
	Вариант 9	x \/ y => (не x => y)
	Вариант 10	(x => не y) /\ x => х

Для знакомства с логическими функциями и построения таблицы истинности целесообразно использовать MS Excel 2007.

Порядок реализации логических функций и построения таблицы истин-

ности в MS Excel 2007:

26

Таблица истинности - это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции. Таблицы истинности применяются для вычисления истинности сложных высказываний, установления эквивалентности высказываний и т.д.

Инверсия (отрицание) – это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

Конъюнкция (логическое умножение) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Дизъюнкция (логическое сложение) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны, и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Импликация (логическое следование) – функция возвращает 0 только когда первый операнд равен 1, а второй равен 0.

Эквивалентность (равносильность) – функция возвращает 1 только когда оба операнда равны между собой.

Стрелка Пирса (отрицание дизъюнкции, или-не) – функция возвращает 1 только когда оба операнда равны 0.

Штрих Шеффера (отрицание конъюнкции, и-не) – функция возвращает 0 только когда оба операнда равны 1.

Неравнозначность (сложение по модулю "2") – функция дает 1 только когда первый операнд не равен второму операнду.

Вычисление значений логических выражений выполняется в определенном порядке, согласно их приоритету:

инверсия;

конъюнкция;

дизъюнкция;

импликация и эквивалентность.

Обозначения:

	инверсия (не) A	A
	инверсия (не) B	B
	инверсия (не)
	инверсия (не)
	коньюнкция A и B	A&B или
		A B
	дизъюнкция A и B	A B или
		А+В
	импликация A и B	A B

27

эквиваленция A и B		A B
		A~B
стрелка Пирса A и B		(A B)
штрих Шеффера A и B		(A B)
неравнозначность A и	B	A B
(сложение по модулю 2)

Задание 1

1.Запустить Мiсrоsоft Ехсеl 2007.

2.Создать чистую рабочую книгу и присвоить ей название "Двоичная логика".

3.Листу рабочей книги присвоить название "Логические операции".

4.На листе создать таблицу "Логические функции". Вставить в таблицу заголовки столбцов.

				Логические функции
A	B	не A	не B	A&B	A\/B	A->B	A<->B	не(A\/B)	не(A&B)	A B

5.Заполнить значениями столбец A. Для этого выполнить следующие действия:

Активировать первую пустую ячейку столбца A.

Установить курсор в строку формул и набрать с клавиатуры знак "=".

Из раскрывающегося списка функций слева в верхней части окна выбрать логическую функцию ЛОЖЬ (на ленте вкладка "Формулы", диалоговое окно "Библиотека функций", кнопка "Логические функции", функция "ЛОЖЬ").

Если в раскрывшемся списке ее нет, то нужно выбрать "Другие функции", категория "Логические", функция ЛОЖЬ.

Нажать кнопку ОК.

Скопировать функцию во вторую ячейку столбца.

Активировать следующую пустую (третью) ячейку столбца A.

Установить курсор в строку формул и набрать с клавиатуры знак "=".

Из раскрывающегося списка функций слева в верхней части окна вы-

28

брать логическую функцию ИСТИНА (на ленте вкладка "Формулы", диалоговое окно "Библиотека функций", кнопка "Логические функции", функция "ИСТИНА").

Если в раскрывшемся списке ее нет, то нужно выбрать "Другие функции", категория "Логические", функция ИСТИНА.

Нажать кнопку ОК.

Затем скопировать функцию в четвертую (последнюю) ячейку столбца А.

6.Аналогично заполнить значения для столбца B.

7.Проверить результаты работы:

A	B
ЛОЖЬ	ИСТИНА
ЛОЖЬ	ЛОЖЬ
ИСТИНА	ЛОЖЬ
ИСТИНА	ИСТИНА

8.Заполнить значениями столбец "не A". Для этого выполнить следующие действия:

Активировать первую пустую ячейку столбца "не A".

Установить курсор в строку формул и набрать с клавиатуры знак "=".

Из раскрывающегося списка функций слева в верхней части окна выбрать логическую функцию НЕ (на ленте вкладка "Формулы", диалоговое окно "Библиотека функций", кнопка "Логические функции", функция "НЕ").

Если в раскрывшемся списке ее нет, то нужно выбрать "Другие функции", категория "Логические", функция НЕ.

В окне функции НЕ указать аргумент: в "Логическое_значение" щелкнуть на первую ячейку столбца А.

29

Нажать кнопку ОК.

Распространить формулу на весь столбец.

Пример из строки формул: =НЕ(A3)

9.Аналогично заполнить значения для столбца B.

10.Проверить результаты работы:

A	B	не A	не B
ЛОЖЬ	ИСТИНА	ИСТИНА	ЛОЖЬ
ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ИСТИНА	ИСТИНА
ИСТИНА	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ИСТИНА
ИСТИНА	ИСТИНА	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ

11.Заполнить значениями столбец "A&B". Для этого выполнить следующие действия:

Активировать первую пустую ячейку столбца "A&B".

Установить курсор в строку формул и набрать с клавиатуры знак "=".

Из раскрывающегося списка функций слева в верхней части окна выбрать логическую функцию И (на ленте вкладка "Формулы", диалоговое окно "Библиотека функций", кнопка "Логические функции", функция "И").

Если в раскрывшемся списке ее нет, то нужно выбрать "Другие функции", категория "Логические", функция И.

В окне функции И указать аргумент: в "Логическое_значение1" щелкнуть на первую ячейку столбца А.

В окне функции И указать аргумент: в "Логическое_значение2" щелкнуть на первую ячейку столбца B.

30

Нажать кнопку ОК.

Распространить формулу на весь столбец.

Пример из строки формул: =И(A3;B3)

12.Проверить результаты работы:

A	B	не A	не B	A&B
ЛОЖЬ	ИСТИНА	ИСТИНА	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ
ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ИСТИНА	ИСТИНА	ЛОЖЬ
ИСТИНА	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ИСТИНА	ЛОЖЬ
ИСТИНА	ИСТИНА	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ИСТИНА

13.Заполнить значениями столбец "A\/B". Для этого выполнить следующие действия:

Активировать первую пустую ячейку столбца "A\/B".

Установить курсор в строку формул и набрать с клавиатуры знак "=".

Из раскрывающегося списка функций слева в верхней части окна выбрать логическую функцию ИЛИ (на ленте вкладка "Формулы", диалоговое окно "Библиотека функций", кнопка "Логические функции", функция "ИЛИ").

Если в раскрывшемся списке ее нет, то нужно выбрать "Другие функции", категория "Логические", функция ИЛИ.

В окне функции ИЛИ указать аргумент: в "Логическое_значение1" щелкнуть на первую ячейку столбца А.

В окне функции ИЛИ указать аргумент: в "Логическое_значение2" щелкнуть на первую ячейку столбца B.