Атомная физика методичка

		рx	2
E				.
		2m0
Сделав подстановку рx из		уравнения (1) с учетом того, что

x l / 2 , придем к уравнению

E 2 2 . m0l 2

Следовательно, минимальная энергия электрона

	Еmin	2	2	.
		m0l 2

Анализ размерности убеждает, что ответ правдоподобен, так как энергия действительно измеряется в джоулях:

	2		Дж2 с2		Дж2
Е						Дж .
	m0 l 2		кг м2
					Н м

Подставим числовые значения в конечную формулу и выполним вычисления (оцениваем лишь порядок вычисляемой величины)

2 1,05 10			34	2
						10 19
Еmin							Дж .
					2
9,11 10 31		5 10 10

Ответ: Еmin 10 19 Дж .

Пример 5. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с непроницаемыми «стенками». Ширина «ямы» l = 37,8 эВ. Определить, на каком энергетическом уровне находится электрон. Чему равна плотность вероятности обнаружения электрона в середине «ямы»?

Дано: l	0,2 нм	0,2 10 9 м ; Еn 37,8 эВ 6,06 10 18 Дж ;
m 9,11 10 31	кг ;	1,05 10 34 Дж с .
0

Найти: n; w.

Решение: Запишем уравнение Шредингера для стационарных состояний. Для рассматриваемой одномерной задачи это уравнение имеет вид

	2		2m0
				Е U	0 ,
	x2 2

11

где ψ координатная часть волновой функции, зависящая только от x; Е –

полная энергия электрона; U – потенциальная энергия электрона;		по-
стоянная Планка h, деленная на 2π.
Электрон	находится в «яме», где его потенциальная	энергия
U 0 (рис. 3). За пределами «ямы», ограниченной бесконечно высокими
«стенками», U	. Электрон не может проникнуть за пределы «ямы»,

поэтому вероятность его обнаружения (а, следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. Из условия непрерывности волновой функции следует, что ψ должна быть равна нулю и на границах «ямы»:

x	0	x l	0 .
В пределах «ямы» 0 x	l	уравнение Шредингера имеет вид

	2		2m0
				E 0 .	(1)
	x2 2

Это уравнение, описывающее движение электрона в одномерной «потенциальной яме», удовлетворяется при дискретных значениях энергии электрона

	En	2 2	n2	n 1,2,3... ,
		2m0l 2

U р	U р 0	U р

0

l

x

Рис. 3

где n – квантовые числа, определяющие энергетические уровни электрона.

Выразим из этой формулы n:

	2E m l 2			l
n	n	0				2En m0 .
	2	2

Анализ размерности правой части полученного выражения показывает, что n – величина безразмерная, и это соответствует действительности.

После подстановки числовых значений, данных в условии задачи, получим

	0,2		10	9
n						2		6,06	10	18	9,11 10	31	2 .
	3,14	1,05		10	34

Решение дифференциального уравнения (1) для рассматриваемой задачи имеет вид

Аsin xnl .

Коэффициент А находим из условия нормировки

12

		l	xn
	A2	sin 2		dx 1.
		0	l

В результате интегрирования получаем A 2l , следовательно:

	2		sin	xn	n 1, 2, 3, ... .
	l			l

Плотность вероятности обнаружения электрона на различных расстояниях x от стенок «ямы» для рассматриваемой задачи равна

w				2	2	sin 2	xn	.
					l		l

Выполним анализ размерности (выражение под знаком sin безразмерное):

	w			1		1	.		w
				l		м				n = 2
Полученная единица				соответствует				искомой
величине.
Вычислим значение w при n = 2 для									0	l/2	l x
x = l/2:
w		2	sin 2 π			0.				Рис. 4
		l

Такой результат означает, что в состоянии с n = 2 электрон не может находиться в середине «ямы». Зависимость плотности вероятности обнаружения электрона на различных расстояниях от стенок «ямы» приведена на рис. 4.

Ответ: n = 2; w = 0.

Пример	5.	Пси-функция некоторой частицы имеет вид
Aexp r 2	(2a2 )	, где r – расстояние частицы от силового центра,

a 1,0 10 10 м –	константа. Найти значение коэффициента А и наиболее
вероятное расстояние rвер частицы от центра.
Дано:	Aexp r 2 (2a 2 ) ; а = 1,0 10 10 м.

Найти: А; rвер.

Решение. Движение микрочастицы в центральном силовом поле (например, движение электрона в поле положительно заряженного ядра) описывается уравнением Шредингера в сферических координатах. По условию задачи функция зависит только от r и не зависит от углов и . В

13

этом случае уравнение Шредингера для стационарных состояний принимает вид

1 d			r 2	d		2m0	E U	0,
r 2 dr				dr		2

где r – расстояние микрочастицы от силового центра; m0 – масса покоя микрочастицы; – постоянная Планка h , деленная на 2 π ; Е – полная энергия микрочастицы; U – потенциальная энергия микрочастицы.

Перепишем уравнение Шредингера, выполнив дифференцирование в первом слагаемом:

	d 2		2 d				2m
							0		E U	0 .
	dr2		r dr				2
Решение этого дифференциального уравнения по условию задачи
имеет вид
					Aexp		r 2		(2a2 ) .

Коэффициент А найдем из условия нормировки пси-функции, которое для рассматриваемой задачи запишем в виде

2dV

2r 2dr

2

2r 2dr

A2 e r 2

1

sin d

d

4

4

V

0

0

0

0

0

где dV элемент объема в сферических координатах

dV

r 2 sin

Интеграл в полученном выражении равен

a3

(табл.

4

ния), следовательно:

π A2 a3

и A

1

.

1

π

π a3

π

Выполним анализ размерности полученного выражения

A

1

м

3 / 2 .

a

3 / 2

/ a 2 r 2dr ,

d d dr .

6 приложе-

Анализ размерности подтверждает правдоподобность ответа. Действительно, квадрат модуля волновой функции имеет смысл плотности вероятности обнаружения микрочастицы

w	dW					2	A2exp r 2 / a2 ,
	dV

где dW – вероятность нахождения частицы в элементе объема dV . Так как размерность w м 3 , то размерность А м 3/2 . Выполним вычисления

14

A			1						м 3/2 4,2 1014 м 3/2 .
				10	3
3,14 1,0			10			3,14

Вероятность нахождения микрочастицы на расстоянии между r и r+dr от силового центра в любом направлении определяется формулой

dW wr dr 4 2r 2dr.

Следовательно, плотность вероятности

w 4	2r 2	4 r 2			exp r 2 / a2 .
r		a3
Из формулы видно,	что плотность вероятности wr					обращается в
нуль при r = 0 и асимптотически стремится к нулю при r						. Наиболее

вероятное расстояние rвер частицы от силового центра найдем из условия, что при r = rвер плотность вероятности должна быть максимальна. Для это-

го исследуем функцию wr

f r

на экстремум. Найдем первую производ-

ную

dwr

и приравняем ее к нулю

dr

8r

e r 2 a 2

2 r

e r 2 a 2

4r 2

0 ;

8r

e r 2 a 2 1

r 2

0 .

a3

a2

a3

a3

a2

Это равенство выполняется при r = 0; r

; r = a. Первые два ре-

шения соответствуют минимумам функции wr

f r . Следовательно, наи-

более

вероятное

расстояние

микрочастицы

от силового

центра

r

а

1,0 10 10 м .

вер

Ответ: A 4,2 1014 м 3 / 2 ; rвер = 1,010 10 м .

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ

ИФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.Распределение свободных электронов в металле по состояниям с различной энергией при Т = 0 К

		1		2m0	3 / 2
dnE						E dE ,
	2	2		2

где dnE – количество свободных электронов в единице объема металла (концентрация электронов), энергии которых заключены в пределах от Е до E + dE; m0 – масса покоя электрона.

15

2.	Энергия Ферми в металле при Т = 0 К
	EF			2	3	2n	2 / 3	,
	0		2m0
где n – концентрация электронов проводимости в металле.
3.	Температура вырождения (температура Ферми)
		TF		EF		/ k ,
				0
где EF	энергия Ферми при Т = 0 К; k – постоянная Больцмана.
0

Температурой вырождения ТF называют температуру, ниже которой проявляются квантовые свойства электронного газа. Если T >> TF , то поведение системы частиц подчиняется классической статистике.

4. Температурная зависимость удельной электрической проводимости собственных полупроводников

		0 exp	E / 2kT	,
где	0	множитель, мало изменяющийся с		изменением температуры;
E	ширина запрещенной зоны.

Пример 7. Определить отношение концентраций свободных электронов при Т = 0 К в литии n1 и цезии n2 , если известно, что уровни Ферми

в этих металлах соответственно равны EF			4,72 эВ и EF		1,53 эВ.
		1		2
Дано: EF	4,72 эВ 7,55 10 19	Дж ; EF		1,53 эВ	2,45 10 19 Дж .
1			2

Найти: n1/n2.

Решение. Уровень Ферми при абсолютном нуле определяется выражением

EF	2	3 2n	2 / 3	,
	2m0
0

где постоянная Планка h, деленная на 2π ; m0 масса покоя электрона; n количество свободных электронов в единице объема металла.

Используя эту формулу, запишем соотношения, определяющие концентрации n1 и n2 свободных электронов в литии и цезии:

	2EF m0		3 / 2	1		2EF m0	3 / 2	1
n1		1			; n2	2			.
		2		3 2		2		3 2

Выполним анализ размерности

16

E

3 / 2

m

3 / 2

Дж3/2

кг

кг3/2

кг3/2

n

F

0

3

Дж3

с3

Дж3/2 с3

H3/2 м3/2 с3

кг3/2

м 3 .

кг3/2 м3/2 с 3 м3/2

с3

Полученный результат соответствует действительности.

Найдем отношение концентраций свободных электронов

EF

3/2

n

1

1

.

n2

EF

2

Подставим в это выражение числовые значения и выполним вычис-

ления

n

7,55 10 19

3 / 2

1

5,41.

n2

2,45 10 19

Ответ: n1 / n2

5,41.

Пример 8. Найти относительное количество

N/N свободных элек-

тронов в металле, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более, чем на η = 2,0%. Температура металла Т = 0 К.

Дано: Т = 0 К; η = 0,02 (2,0%).

Найти: ∆N/N.

Решение. Распределение свободных электронов в металле по состояниям с различной энергией при Т = 0 К имеет вид

			1		2m0	3 / 2
	dnE					E 1 / 2dE ,
		2	2 2

где dnE – концентрация свободных электронов, энергии которых заключены в пределах от Е до Е + dE; m0 – масса покоя электрона; ħ – постоянная Планка h, деленная на 2π.

Концентрацию свободных электронов в металле найдем путем интегрирования

		E F
		0
	n	AE 1 / 2 dE ,
		0
				1		2m0	3 / 2
где EF	энергия Ферми при Т = 0 К; A						.
				2		2
0		2

Если образец металла имеет объем V , то количество свободных электронов в этом образце

17

E F0

N nV AV E 1 / 2dE .

0

Концентрация свободных электронов, энергии которых отличаются от энергии Ферми не более, чем на 2%, равна

	EF
	0
n	AE 1 / 2dE .
	0,98 EF
	0

Количество таких электронов в образце металла объемом V

	EF
	0
N nV AV	E 1 / 2dE .
	0,98 EF
	0

Найдем относительное количество свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более, чем на 2%:

E F

0

E 1 / 2dE

N

0,98 E F

0

.

N

E F0

1 / 2dE

E

0

Произведя вычисления, получим

N

EF

3 / 2 0,98

3 / 2 EF

3 / 2

1 0,983 / 2 0,03 .

0

0

N

3 / 2

EF

0

Ответ: N / N

0,03 (или 3%).

ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

1. Закон радиоактивного распада

N N0e t ,

где N0 – количество нераспавшихся ядер в начальный момент времени (t = 0); N – количество нераспавшихся ядер по истечении времени t; постоянная радиоактивного распада.

2. Зависимость периода полураспада Т1/2 (промежуток времени, в течение которого количество нераспавшихся ядер уменьшается в 2 раза) от постоянной распада

T1 / 2 ln 2 / . 3. Активность радиоактивного вещества

	A	dN		N ,
		dt

где N – количество ядер, содержащихся в радиоактивном веществе.

18

4.	Удельная активность радиоактивного вещества
			a	A			N	,
				m			m
где m – масса распадающегося вещества.
5.	Среднее время жизни радиоактивного ядра (время, в течение ко-
торого количество нераспавшихся ядер уменьшается в е раз)
				1/ .
6.	Массовое число ядра (количество нуклонов в ядре)
			A	N			Z ,
где Z – зарядовое число ядра, равное количеству протонов в ядре; N – ко-
личество нейтронов в ядре.
7.	Дефект массы ядра (разность между массой частиц, составляю-
щих ядро, и массой самого ядра)
		m	Zmp	A			Z mn mя ,
где m p	– масса покоя протона; mn			– масса покоя нейтрона; mя – масса по-
коя ядра.
8.	Энергия связи нуклонов в ядре
	Eсв	m c2	ZmH				A Z mn ma c2 ,

где m дефект массы ядра; с – скорость света в вакууме; mH – масса покоя изотопа водорода 11 H ; ma – масса покоя атома.

9.	Энергия ядерной реакции
	Q c2 m	m	E	k 2	E	k 1	,
	1	2
где m1	сумма масс покоя частиц до реакции;				m2		сумма масс покоя

частиц после реакции; Ek 1 сумма кинетических энергий частиц до реакции; Ek 2 сумма кинетических энергий частиц после реакции.

Если m1 m2 , то реакция идет с выделением энергии (экзотермическая реакция), если m1 m2 , то реакция идет с поглощением энер-

гии (эндотермическая реакция).

10. В ядерных реакциях выполняются законы сохранения: суммарного количества нуклонов

A1 A 2 ;

зарядовых чисел

Z1 Z 2 ;

релятивистской полной энергии

E 1 E 2 ;

импульса

19

p1 p2 ,

где индекс 1 обозначает частицы до реакции, индекс 2 – частицы после реакции.

11. Решение задач по физике элементарных частиц основано на закономерностях, рассмотренных в предыдущих разделах курса. При решении некоторых задач необходимо использовать формулы специальной теории относительности.

Пример 9. Найти постоянную распада радона			, если известно, что
количество атомов радона уменьшается за сутки на 18,2%.
Дано: N N0 N N0 0,182;	t	24 ч 8,64	104 с .
Найти: .
Решение. По закону радиоактивного распада
N	N0e	t ,

где N0 – количество нераспавшихся ядер радона в момент времени t = 0; N – количество нераспавшихся ядер по истечении времени t.

Количество ядер, распавшихся за время t, равно

N0	N	N0				N0e			t .
Так как N0 N N0	N ,	то				N 1			e t . Тогда e t 1 N ,
		ln 1					N	.
					t
Выполним анализ размерности
		1				1	.
			t			c

Полученный результат соответствует действительности.

Сделаем подстановку числовых значений и произведем вычисления

		ln 1	0,182	с 1 2,33 10 6 с 1 .
	8,64		104
	Ответ: λ 2,33 10 6 с 1 .
	Пример 10. Найти энергию связи, приходящуюся на один нуклон в
	ядре 2713 Al .
	Дано: 2713 Al; Z = 13; А = 27; ma			4,4805 10 26 кг ; mH 1,6736 10 27 кг;
	mn 1,6750 10 27 кг; c 3 108 м / с .
	Найти: Eсв / А .

20