Семинар № 2. Определение матриц рассеяния элементарных многополюсников

Расчет СВЧ-цепей, состоящих из отрезков линий передачи, разветвлений и неоднородностей, может быть существенно упрощен при использовании волновых матриц рассеяния [S]. Элементами матрицы [S] являются комплексные коэффициенты отражения и передачи волн напряжения между соответствующими зажимами многополюсника.

Рассмотрим матрицу рассеяния четырехполюсника, показанного на рис.1. С помощью такого четырехполюсника можно представить любую неоднородность, включенную в линию передачи. Пусть a1,2 и b1,2 - напряжения падающих и отраженных волн в сечениях

1-1 и 2-2 . Тогда связь между ними может быть представлена в виде

éb

ù

éa

ù

éS

S

ù

(1)

ê 1

ú

= [S]× ê 1

ú;

[S]= ê

11

12

ú .

ëb2 û

ëa2 û

ëS21 S22 û

1

a1

a2

2

Четырехполюсник

1

2

b1

b2

Рис.1. Схема четырехполюсника

Раскрывая матричную форму записи в выражении (1), легко получить систему

уравнений вида

ìb1 = S11a1 + S12 a2 ;

íîb2 = S21a1 + S22 a2 .

Определим физический смысл коэффициентов матрицы рассеяния [S]:

S

=

b1

- коэффициент отражения от входного сечения 1-1 четырехполюсника при

11

a1

a2 =0

включении согласованной нагрузки в выходном сечении 2-2;

S

=

b1

-

коэффициент передачи из клеммного сечения 2-2 в сечение 1-1 при

12

a2

a1=0

наличии в сечении 1-1 согласованной нагрузки;

S22

=

b2

- коэффициент отражения от сечения 2-2, когда согласованная нагрузка

a2

a1=0

включена в сечение 1-1;

S21

=

b2

-

коэффициент передачи по напряжению в прямом направлении

a1

a2 =0

(согласованная нагрузка включена в сечение 2-2).

Если сместить клеммные сечения, как показано на рис.2, то матрица [S] трансформируется в матрицу [ S′], элементы которой, как легко показать, определяются следующим образом:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

¢

= S11e

2γ1l1

;

¢

= S12e

(γ1l1+γ2l2 )

;

S11

S12

(2)

(γ1l1+γ2l2 )

2γ2l2

¢

= S21e

;

¢

,

S21

S22 = S22e

где l1 и l2 - расстояния, на которые смещены клеммы сечения; γ1

и γ2 -постоянные

распространения (в общем случае комплексные)

в соответствующих линиях передачи.

1

l1

1′

2′

l2

2

1

Четырехполюсник

2

1′

2′

Рис.2. Схема четырехполюсника со смещенными клеммными сечениями

Соотношения (2) могут быть представлены в матричной форме:

é

γ1l1

0

ù

(3)

[S′]= [R]× [S]× [R], где [R]= êe

ú ,

ê

0 eγ2l2 ú

ë

û

они часто используются для упрощения матрицы рассеяния путем выбора положения клеммых сечений.

Если в отличие от рис.2 клеммные сечения будут удаляться от четырехполюсника, то в формуле (3) необходимо показатели экспонент умножить на –1. Если одно сечение будет приближаться к четырех-полюснику, а другое удаляться от него, то соответствующие показатели экспонент будут иметь разные знаки.

Рассмотрим основные свойства элементов матрицы рассеяния четырехполюсника.

1. Если для данного узла справедлива теорема взаимности, то четырехполюсник, характеризующий данный узел, является взаимным, а его матрица рассеяния [S] - симметричной, т.е. выполняется равенство S12 = S21 .

2. Если S11 = S22 и S12 = S21 , то коэффициенты отражения от обоих сечений

одинаковы, а четырехполюсник является симметричным.

3. При отсутствии потерь в узле суммарная мощность отраженных волн равна суммарной мощности падающих волн, а матрица рассеяния удовлетворяет условию

унитарности

[SТ ] × [S]= [I ],	(4)
где [ST ] - комплексно-сопряженная и транспонированная матрица по		отношению к
матрице [S]; [I] - единичная матрица.

Таким образом, унитарность матрицы рассеяния является формулировкой закона сохранения энергии для пассивных узлов без потерь.

Проанализируем условие (4). Раскрывая матричную форму записи, получаем

é

S21

ù

é

S12

ù

é1

0ù

êS11

ú

× êS11

ú

= ê

ú ,

êS

12

S

22

ú

êS

21

S

22

ú

ë0 1û

ë

û

ë

û

откуда

2 +

2 = 1;

S S

+ S

S

21

= 1

®

S

S

21

(5)

11

11

21

11

S

S

+ S

S

22

= 1 ®

S

2 +

S

22

2 = 1;

(6)

12

12

22

12

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

S	S	+ S	S	22	= 0; S	S	+ S	S	21	= 0.	(7)
11	12	21			12	11	22

Формулы (5) и (6) означают, что вся падающая на четырехполюсник мощность полностью расходуется на отражение и прохождение.

Первое из уравнений (7) можно записать в следующем виде:

S11

= -

S21

или

S11

e−iϕ11

= e±iπ

S21

e−iϕ21

,

S22

S12

eiϕ22

S

S

eiϕ12

откуда следует

11

12

S11

=

S21

и j

+ j

22

= j

21

+ j

± p .

(8)

S22

S12

11

12

Из соотношения (8) с учетом (5) и (6) следует,

что

S11

=

S22

и

S12

=

S21

, т.е.

амплитуды прошедших и отраженных волн при изменении направления передачи энергии остаются постоянными, изменяются лишь фазовые соотношения.

Рассмотрим матрицу рассеяния многополюсника. Многополюсником называется любая электрическая цепь, имеющая 2n зажимов, образующих попарно n входов. Подразумевается, что клеммные сечения (плоскости отсчета) располагаются далеко от неоднородности и во всех линиях существует одноволновый режим.

Матрицы рассеяния многополюсников строятся по тому же принципу, что и аналогичные матрицы четырехполюсников. Мощность, выходящая из многополюсника в каждое из его плеч, зависит от мощностей, входящих в каждое его плечо. Поэтому

многополюсник можно также описать в терминах падающих и отраженных волн напряжений - комплексными коэффициентами отражения и передачи.

Приведем для многополюсника, изображенного на рис.3, выражения, связывающие напряжения падающих и отраженных волн на его зажимах:

éb	ù	éS
ê 1	ú	ê	11
êb2 ú		= êS21
ê Mú		ê
ê	ú	ê
ëbn	û	ëSn1

S12 S22

K

Sn2

KS1n

KS2n

KSnn

ù	éa	ù
ú	ê 1	ú
ú	× êa2	ú	или [b] = [S][a],	(9)
ú	ê Mú
ú	ê	ú
û	ëan	û

здесь [S] - квадратная матрица рассеяния, а [a] и [b] - векторы-столбцы падающих и отраженных волн.

1		2
	a1	a2
b1		b2
		a3
	Многополюсник
an		3
		b3
	bn
n

Рис.3. Схема многополюсника со смещенными клеммными сечениями

Раскрывая матричную форму записи в (9), легко получить:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

	b1 = S11a1 + S12a2 +Κ + S1nan ,
	b2 = S21a1 + S22a2 +K + S2nan ,	(10)
	L L L L L L L L L L L L
	bn = Sn1a1 + Sn2a2 +K + Snnan .
	Из (10) следует, что коэффициенты матрицы рассеяния Ssn =	bs				имеют смысл
		an			aK =0,k¹n

коэффициентов передачи по напряжению из плеча n в плечо s и зависят от внутренней

	структуры многополюсника. Если многополюсник взаимен,							то Ssn = Sns . При отсутствии
	потерь матрица рассеяния многополюсника обладает свойством унитарности:
	n	ì1,	s = n,
	åSks Sk*n = í		s ¹ n.
	k =1	î0,
	Коэффициенты матрицы рассеяния	Snn =		bn				являются коэффициентами
				an			aK =0,k¹0

отражения Гn в n-м плече, если остальные плечи нагружены на согласованные нагрузки.

При изменении положения клеммных сечений матрица [S] трансформируется в матрицу [ST]:

	ée±g1l1		0
	ê	0	e±g2l2
	[ST] = [R]×[S]×[R], где [R]= ê
	ê		K
	ê
		0	0
	ê
	ë

K0 ùú

K0 ú ,

Kú

Ke±gnln úúû

причем lk ,k = 1,2K n - расстояние смещения клеммных сечений, а gn - постоянные распространения волн в соответствующих плечах.

2

l

1

Рис.4. Отрезок МПЛ длиной l

Пример 1. Определить матрицу рассеяния согласованного с обоих концов отрезка линии передачи (например, МПЛ на рис.4) длиной l с постоянной распространения g.

Решение. Поскольку отрезок ЛП согласован, то Г1 = Г2 = 0 , т.е. S11 = S22 = 0 . В линии существует чисто бегущая волна, напряжение которой изменяется по закону

U	вых	= U	вх	e-gl . Полагая U	вх	= a ,
						1
узел		взаимный, то S21 = S12 .
[S]= e-gl			é0	1ù
			ê	ú .
			ë1	0û

	а	U вых = b2 , находим S21	=	b2	=	U вых	= e-gl . Поскольку
				a1		U вх
	В	результате матрица	рассеяния				принимает вид:
		2

1

3

Рис.5. Симметричный волноводный Y-тройник

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Пример 2. Определить матрицу рассеяния симметричного Y-тройника, плечи которого с волновым сопротивлением ρ расходятся под углом 120o . Общий вид такого волноводного тройника показан на рис.5.

Решение. Устройство симметрично со стороны любого входа. Матрица рассеяния [S] имеет размер 3х3. Входное сопротивление тройника со стороны любого входа равно ρ/2.

Коэффициент отражения от каждого из входов легко определить по формуле

	Г =	zн − ρ	=	ρ 2 − ρ	= −	1 .
		zн + ρ		ρ 2 + ρ
						3

Поскольку тройник симметричен, можно найти диагональные элементы матрицы [S]: S11 = S22 = S33 = Γ = − 13 . От любого входа тройника доля отраженной входной мощности

составляет Γ 2 =19 . В каждое из остальных плеч поступает при этом 49 входной мощности, вследствие чего модуль коэффициента передачи по напряжению оказывается равным 49 = 23. Поскольку устройство является взаимным, а волны разветвляются синфазно, то все коэффициенты передачи по напряжению также равны 23. В результате

матрица рассеяния имеет вид

			1		−1		2		2
S =					2			−1	2		.
			3		2		2		−1
1′			ρ1					ρ2						2′
1′			l1					l2						2′

Рис.6. Топология стыка двух МПЛ с разными волновыми сопротивлениями

Пример 3. Написать матрицу рассеяния стыка двух линий передачи с волновыми сопротивлениями ρ1 и ρ2 (например, МПЛ) в сечениях, отстоящих на расстояния l1 и l2

от стыка. Топология стыка двух МПЛ показана на рис.6.

Решение. Сначала определим матрицу рассеяния [S] самого стыка:

Γ =

Zн − ρ

, откуда Γ =

ρ2

− ρ1

= S

,

Γ

=

ρ1

− ρ2

= S

= −S

.

Zн + ρ

1

ρ2 + ρ1

11

2

ρ1 + ρ2

22

11

Воспользовавшись свойством унитарности (6), найдем коэффициенты матрицы

рассеяния S

12

= 1 −

S

22

2 =

1 −

Γ

2

и S

21

= S

12

. В результате матрица принимает вид

1

[S]=

Γ

1 −

Γ

2

.

1

1

1 −

Γ

2

− Γ

1

1

Искомую

матрицу

[S’]

в сечениях

1′ −1′

и 2′ − 2′ в соответствии с (3) можно

представить в следующем виде:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

[ ¢]

ée−γ1l1

0

ù

G1

1 -

G1

2

ée−γ1l1

0

ù

S

= ê

ú

×

× ê

ú .

ê 0

e−γ2l2 ú

1 -

G1

2

- G1

ê 0

e−γ2l2 ú

ë

û

ë

û

Z

ρρ

Рис.7. Эквивалентная схема последовательно включенного в линию реактивного сопротивления

Пример 4. Определить матрицу рассеяния последовательно включенного в линию c волновым сопротивлением ρ реактивного сопротивления Z = iX (рис.7).

Решение.

G = S	11	=	Zн - r	=	(r + iX )- r	=	iX	=	ix	,
1			Zн + r		(r + iX )+ r 2r + iX				2 + ix

где x = X r .

Очевидно, что S11 = S22 в силу симметрии схемы. Воспользовавшись свойством унитарности, запишем выражения для остальных коэффициентов матрицы:

S

=

S

21

=

1-

ix

2

, откуда S

= S

21

=

2

.

12

2 + ix

12

ix + 2

В итоге матрица [S] имеет вид [S]=

1

éix

2 ù

ê

ú .

2 + ix ë2

ixû

Задание

1.

Определить матрицу

рассеяния ферритового вентиля отрезка линии

передачи длиной l с постоянной распространения, γ пропускающего мощность только в прямом направлении.

Задание 2. Написать матрицу рассеяния симметричного тройника, согласованного со стороны одного плеча, т.е. r1 = r2 = r .

Задание 3. Определить матрицу рассеяния параллельно включенной в линию реактивной проводимости Y = iB .

Задание 4. Написать матрицу рассеяния идеального циркулятора со схемой циркуляции 1-2-3-1.

Задание 5. Написать матрицу рассеяния идеального циркуляра со схемой циркуляции

4-3-2-1-4.

Литература

1. Веселов Г.И., Алехин Ю.Н. Элементы теории и вопросы проектирования СВЧ-

устройств. - М.: МИЭТ, 1980. - С. 33 - 47.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Семинар № 3. Определение матрицы рассеяния произвольного 2N- полюсника по известным параметрам составляющих его элементарных многополюсников

Рассмотрим произвольный 2N-полюсник (рис.1). Пронумеруем все зажимы следующим образом:

1)свободные зажимы, обозначим цифрами от 1 до m;

2)зажимам, соединенным между собой, присвоим обозначения m+1, m+2,... и т.д., причем зажим m+1 соединен с зажимом m+2, а зажим m+3 - с зажимом m+4 и т.д.;

3)зажимы, которые нагружаются сопротивлениями, вызывающими в общем случае отражения, обозначим оставшимися цифрами до N.

N 1 2

m

m+1

m+2

m+3 m+4

Рис.1. Произвольный 2N-полюсник

Падающие и отраженные волны на зажимах 2N-полюсника связаны между собой

соотношением

éb	ù		éa	ù
ê 1	ú		ê 1	ú
êb2	ú	= [S]×	êa2	ú	,
ê	ú		ê	ú
M	ú		M	ú
ê			ê
ëbN û			ëaN û

где [S] - матрица рассеяния, которая записывается в виде

éS

1,1

S

1,2

K

S

1,m

S

1,m+1

K S

1,N

ù

ê

ú

êS

2,1

S

2,2

K

S

2,m

S

2,m+1

K S

2,N

ú

ê

ú

ê

M

M

ú

ê

S

K

S

S

K S

ú

êS

ú

[S]= ê

m,1

m,2

m,m

m,m+1

m,N

ú

=

ê- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ú

ê

ú

êSm+1,1

Sm+1,2 K

Sm+1,m

Sm+1,m+1 K Sm+1,N ú

ê

M

M

ú

ê

S

K

S

S

K S

ú

êS

N ,1

N ,2

N ,m

N ,m+1

N ,N

ú

ë

û

=

é [S1

]

[S2

]ù

ëê [S3

] [S4

]ûú.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Тогда окончательная матрица образованного 2N-полюсника будет определяться из

выражения

[S]= [S1 ]- [S2 ]× ([S4 ]- [K ])	−1	× [S3 ],
ˆ

где матрица [K] определяется межсоединениями внутри 2N-полюсника, она имеет ту же размерность, что и матрица [S4 ], лучше всего ее определить из конкретного примера.

Рассмотрим двухрезонаторный шлейфный фильтр (рис.2).

l l

l 1

Рис.2. Двухрезонаторный шлейфный фильтр

Нумерацию клемм элементарных многополюсников проведем согласно алгоритму, как показано на рис.3.

5

6

1			3	4			2

Рис.3. Разбиение схемы фильтра на элементарные многополюсники и нумерация клемм согласно

алгоритму

Матрица [S] имеет в этом случае вид

éS11

0

S13

0 S15

0

ù

ê

0 S22

0 S24

ú

ê

0 S26 ú

ê

- - - - -

- - - - - - - -ú

ê

0

S33

0 S35

0

ú

[S]= êS31

ú,

ê

0

S

42

0

S

44

0 S

46

ú

ê

ú

êS51

0

S53

0 S55

0 ú

ê

ú

где

ë

0 S62

0 S64

0 S66 û

éS

éS

S

[S1

0 ù

[S2

0

0 ù

]= ê

11

ú,

]= ê

13

15

ú,

ë

0 S22 û

ë

0 S24

0 S26 û

éS13

0 ù

éS33

0 S35

0 ù

[S3

ê

ú

[S4

ê

ú

]= ê

0

S42 ú,

]= ê

0

S44

0

S46 ú

,

êS51

0

ú

êS53

0 S55

0 ú

ê

ú

ê

0 S64

ú

матрица [K] -

ë

0 S62 û

ë

0 S66 û

3

4

5

6

3

0

1

0

0

4

1

0

0

0

[K ]= 5

0

0

1

0

G

6

1

0

0

0

G

Порядок заполнения матрицы [K]:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

1)там, где есть соединение (в нашем случае клемм 3 и 4), ставится единица;

2)там, где стоит нагрузка, ставится диагональный элемент 1Gi , здесь i - номер

клеммы.

Пример. Определить матрицу рассеяния шестиполюсника, показанного на рис.4.

3

	ρ3, l 3
ρ1, l 1	ρ1, l 2

1 2

Рис.4. Шестиполюсник

Решение. Воспользуемся рекуррентными формулами для определения [S] - матрицы произвольного 2N-полюсника:

K1 =

1

;

1 r +1 r

2

+ K +1 r

N

1

æ

2K

ö

−2 jθi

ç

÷

Sii

= ç

-1÷e

;

ri

è

ø

Si, p =

2K

exp(- j

(qi

+ q p )); qi =

2p ´ li

, j =

-1

ri ´ r p

L

(при N = 3 и r1 = r2 = r3 = r имеем K1 = r 3 ).

В нашем случае

K1 =

1

=

r1r3

; l1

= l2 = 0;

1 r +1 r

2

+ 1 r

3

2r

3

+ r

1

1

S11 = -

r1 + r3

; S22

= S11; S33 = -

2r3

e−2 jθ3 ;

2r3 + r1

2r3 + r1

S12 = S21

=

2r3

; S13 = S31 =

2

r1r3

e− jθ3 ;

2r3 + r1

2r3 + r1

Окончательно

S23 = S32 = S13 = S31.

é - (r + r

)

2r

2

e− jθ3 ù

3

3

r r

3

[S]=

1

ê

1

1

ú .

2r

- (r + r

)

2

e− jθ3

r r

ê

3

3

2r

+ r

1

1 3

ú

3

ê2 r r e− jθ3

2 r r e− jθ3

- 2r e

−2 jθ3

ú

1

ê

1

3

1

3

3

ú

ë

û

Задание. Определить матрицу рассеяния одношлейфного фильтра, показанного на рис.5,а. (Указание: пусть r1 = r2 = r; r3 = r1, при этом

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Г = 1 3

ρ3, l 3

ρρ

1	2	1	2
а)			б)

Рис.5. Одношлейфный фильтр: топология (а); представление согласно алгоритму (б).

допустим, что l1 = l2 = 0 , тогда фильтр может быть представлен в виде, показанном на рис.5,б. Далее расчет проводить в соответствии с алгоритмом.)

Литература

1. Силаев Г.М., Брянцев И.С. Применение матрицы и графов к анализу СВЧ- устройств. - М.: Сов.радио, 1973. - С. 5 - 56.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com