4.5. Использование функций алгебры логики

Алгебра логики возникла в середине IXX века в трудах Дж. Буля. Первоначально создавалась для решения традиционных логических задач алгебраическими методами. Позднее основными объектами (операндами) алгебры логики стали высказывания и логические операции над ними. Под высказываниями понимаются предложения, относительно которых можно утверждать, истинны они или ложны.

Для обозначения и с т и н о с т и вводится символ «И» (true, позднее цифра 1), для обозначения л о ж н о с т и «Л» (false, позднее 0).

Обозначение логических операций

(«не») – отрицание ,

& ( «И») – конъюнкция (логическое умножение)

V («ИЛИ», «+» ) – дизъюнкция (логическое сложение)

–> ( «если то») – импликация,

~ («эквивалентно») – эквивалентность.

В качестве операндов в логических выражениях выступают константы или переменные, которые принимают только два значения: «ИСТИНА» (1) или «ЛОЖЬ» (0).

Простое логическое выражение – выражение, в котором логические переменные и константы (операнды) связаны знаками логических операций. Логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0)

Сложное логическое выражение – логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных, связанных знаками логических операций.

Логические операции и таблицы истинности

ОПЕРАЦИЯ ОТРИЦАНИЯ

F = не A

A	не А
0	1
1	0

Логическое отрицание: ИНВЕРСИЯ - если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО

ОПЕРАЦИЯ ЛОГИЧЕСКОГО УМНОЖЕНИЯ

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

F = A & B.

Логическое умножение КОНЪЮНКЦИЯ – это выражение будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. Конъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза И.

ОПЕРАЦИЯ ЛОГИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ

A	B	F
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

F = A + B

Логическое сложение – ДИЗЪЮНКЦИЯ – это выражение будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза ИЛИ.

Логическое следование: ИМПЛИКАЦИЯ – связывает два простых, второе (В) – следствием из этого условия. результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Обозначается символом "следовательно" и выражается словами ЕСЛИ … , ТО …

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

ОПЕРАЦИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

F = A ~ B

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Логическая равнозначность: ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ – определяет результат сравнения двух простых логических выражений А и В. Результатом ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ является новое логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны. Обозначается символом «эквивалентности» ~ .