Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений.

Если система плохо обусловлена, то это значит, что погрешности коэффициентов матрицы и свободных членов или погрешность округления при расчетах могут сильно

исказить решение.

Исходную систему уравнений

A x

b

с учетом погрешности в векторе

b

Запишем как

A (x x )

b b

или

A x

b A x

b

и тогда

1

A x b

отсюда можно выразить ошибку

x A

b

1

1

Абсолютная погрешность

|| x || || A

b || или

|| x || || A

|| || b ||

определим, как норму ошибки

1

Определим относительную погрешность

|| x || || A

|| || b ||

.

||

x ||

|| x ||

1

Определим

|| x ||

11

из исходной системы A x b получим					|| A || || x || || b ||
	далее определим
	1
				|| A ||
	|| x ||			|| b ||

и подставим в определение относительной погрешности получим

		1
|| x ||				|| b ||
		|| A	|| || A ||
|| x ||					|| b ||

Вводим понятие числа обусловленности:

				1
Kоб Cond(A) || A ||					|| A ||
	и тогда
|| x ||		Kоб	|| b ||
|| x ||				|| b ||

12

Метод простых итераций Алгоритм метода состоит из трёх этапов.

Первый этап. Приведение СЛАУ к итерационному виду, для этого разрешим каждое уравнение относительно соответствующего неизвестного:

	a11x1 a12x2 .......		a1n xn b1
.	a21x1	a22x2 .......	a2n xn b2
		.......... ....... ........... ....
	.........
	an1x1	an2x2 .......	ann xn bn

	x			b1
	1			a11
	x2			b2
			a22
	....... ........
	xn			dn
				ann

где di bi

aii

( 0 x							a12 x		2
1							a11
( a21 x
						0 x		2
1
	a22				..........
...........
(	an1	x					an2 x		2
1							ann
	ann
		0					при i j
	cij aij						при i j
		aii

	a13 x3		.....		a1n xn )
	a11				a11
	a23 x	3	.....		a2n xn )
	a22				a22
........... .........					...........
	an3 x	3	.....	0 xn ),
	ann

i 1,2,3, , n; j 1,2,3, ,n

Тогда итерационную формулу	k		k 1	13
запишем в виде:	x	d C x		; k 1,2,3,

где вектор d – приведенный столбец свободных членов,матрица

C – приведенная матрица коэффициентов.

Второй этап. Проверяем условие сходимости	|| C || 1

если условие не выполняется, то преобразуем исходную систему и выполняем 1-й этап. Третий этап. Осуществляем уточнение решения по полученной итерационной формуле.

k		k 1	k 1,2,3,			0
x	d	C x ;			За начальное приближение принимается x		d
Условием окончания итерационного процесса является выполнение условия
				k	k 1	||
				|| x	x
		где величина ε определяет точность получаемого решения
			k	k 1
			а x и	x	– смежные приближения к решению.

14

Пример. Решить СЛАУ методом простых итераций ε=0.4

4.00		1.00	1.00		x1			6.00
	2.00	5.50	1.00						8.50
					x	2
	2.00	1.00	4.00		x3			7.00

Преобразуем исходную систему к итерационному виду.

	k		k 1	k 1,2,3,
	x	d	C x ,
	0.00	0.25	0.25
					С				0.78 1
C		0.00
	0.36		0.18
	0.50	0.25	0.00

		1.50		0
	d 1.55			x	d
		1.75

15

(k)

x d

(1) 0.00 x 1.55 0.361.75 0.501.50

(2) 0.00 x 1.55 0.361.75 0.501.50

(3) 0.00 x 1.55 0.361.75 0.501.50

(4) 0.00 x 1.55 0.36

1.75 0.501.50

Ответ:

						(k 1)						(k)
C						x						x					x
0.25	0.25			1.50						0.68							0.82
0.00	0.18																0.86
				1.55							0.68
0.25	0.00			1.75							0.61						1.14
0.25	0.25			0.68						1.18					0.50
0.00	0.18
						0.68					1.19						0.51
0.25	0.00					0.61				1.24							0.63
0.25	0.25			1.18						0.89							0.28
0.00											0.89						0.30
	0.18			1.19
0.25	0.00			1.24						0.86							0.38
0.25	0.25			0.89						1.06				0.17
0.00																0.17
	0.18				0.89						1.06
0.25	0.00			0.86						1.08				0.22
	1.06
x	1.06
	1.08

x

1.65

0.95

0.56

0.32

16