Глава 7

ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ

§ 1. Движение планет

§ 2. Законы Кеплера

§ 3. Развитие динамики

§ 4. Ньютонов закон тяготения

§ 5. Всемирное тяготение

§ 6. Опыт Кавендиша

§ 7. Что такое тяготение?

§ 8. Тяготение и относи­тельность

§ 1. Движение планет

В этой главе речь пойдет об одном из самых далеко идущих обобщений, сделанных когда-либо человеческим разумом. Мы заслуженно восхищаемся умом человека, но неплохо было бы постоять некоторое время в благоговении и перед природой, полностью беспрекословно подчиняющейся такому изящному и такому простому закону — закону тяготения. В чем же заключается этот закон? Каждый объект Вселенной притягивается к любому другому объекту с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату рас­стояния между ними. Математическая запись этого утверждения такова:

F=Gmm'/r².

Если к этому добавить, что любое тело реагиру­ет на приложенную к нему силу ускорением в направлении этой силы, по величине обратно пропорциональным массе тела, то способному математику этих сведений достаточно для вы­вода всех дальнейших следствий.

Но поскольку, как мы предполагаем, вы еще не столь талантливы, вооружим вас не толь­ко этими двумя аксиомами. Давайте вместе разберем следствия из них. Мы изложим вкрат­це историю открытия закона тяготения, оста­новимся на некоторых выводах из него и на его влиянии на историю, на загадках этого закона и на уточнении его Эйнштейном; мы «хотим еще обсудить связь закона тяготения с другими законами физики. Всего этого в одну главу не уложишь, но в надлежащих местах дру­гих глав мы снова будем возвращаться к этому.

История начинается с древних; наши предки наблюдали дви­жение планет среди звезд и в конце концов поняли, что планеты движутся вокруг Солнца — факт, заново открытый позже Коперником. Немного больше труда потребовалось, чтобы открыть, как именно они вращаются. В начале XV столетия шли большие дебаты о том, действительно ли планеты обращаются вокруг Солнца или нет. У Тихо Браге на этот счет было свое представление, далекое от того, что думали древние: мысль его состояла в том, что все споры о природе движения планет раз­решатся, если достаточно точно измерить положение планет на небе. Если измерения точно установят, как движутся плане­ты, то не исключено, что из двух точек зрения удастся отобрать одну. Это была неслыханная идея — чтобы открыть что-то, лучше-де проделать тщательные опыты, чем приводить глубокие философские доказательства. Следуя ей, Тихо Браге многие годы изучал положения планет в своей обсерватории на остро­ве Фюн, близ Копенгагена. Он составил объемистые таблицы, впоследствии, после смерти Тихо, изученные математиком Кеп­лером. Из его данных Кеплер и извлек замечательные, очень красивые и простые законы, управляющие движением планет.

§ 2. Законы Кеплера

Прежде всего Кеплер понял, что все планеты движутся вок­руг Солнца по кривой, называемой эллипсом, причем Солнце на­ходится в фокусе эллипса. Эллипс — это не совсем овал, это осо­бым образом точно определяемая кривая. Получить такую кри­вую можно, воткнув в фокусы по булавке, к которым привязана нить, натянутая карандашом. Выражаясь математически, это— геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) постоянна. Или, если угодно, это — окружность, видимая под углом к своей плоскости (фиг. 7.1).

Фиг. 7.1. Эллипс.

Другое наблюдение Кеплера состояло в том, что планеты движутся не с постоянной скоростью: поблизости от Солнца— быстрее, а удаляясь — медленнее. Более точно: пусть планета наблюдается в два последовательных момента времени, скажем на протяжении недели, и к каждому положению планеты проведен радиус-вектор. Дуга орбиты, пройденная планетой за неделю, и два радиус-вектора ограничивают некоторую пло­щадь, заштрихованную на фиг. 7. 2.

Фиг. 7.2. Кеплеров закон площадей.

Если такие же наблюдения в течение недели проделать в другое время, когда планета движет­ся по дальнему участку орбиты (т. е. медленнее), то построен­ная таким же способом фигура окажется по площади равной прежней. Итак, в соответствии со вторым законом орбитальная скорость любой планеты такова, что радиус «заметает» равные площади в равные интервалы времени.

Третий закон был открыт Кеплером гораздо позже; он дру­гого рода, нежели первые два: он уже касается не одной планеты, а связывает между собой разные планеты. Закон утверждает, что если сравнить между собой период обращения и размеры орбиты двух планет, то периоды пропорциональны полуторной степени размеров орбит. Здесь период — это время, нужное планете для того, чтобы обойти всю орбиту; размер же измеряет­ся длиной наибольшего диаметра эллиптической орбиты, ее большой оси. Считая орбиты кругами (чем они почти и являют­ся), можно сказать проще: время одного оборота по кругу про­порционально его диаметру (или радиусу) в степени ³/₂. Итак, три закона Кеплера таковы:

1. Все планеты движутся вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус-вектор от Солнца до планеты «заметает» равные площади в равные интервалы времени.

3. Квадраты времен обращения двух планет пропорциональ­ны кубам больших полуосей их орбит: T²~a³.