- •Классификация случайных событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события, непосредственный подсчет вероятности. Примеры.
- •Статистическое определение вероятности события и условия его применимости. Пример.
- •Несовместимые и совместимые события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей с доказательством. Пример.
- •Полная группа событий. Противоположные события. Соотношения между вероятностями противоположных событий (с выводом). Пример.
- •Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вер-ти. Теорема умножения вер-тей с док-вом. Пример.
- •Формулы полной вер-ти и Байеса с док-вом. Примеры.
- •Повторные независимые испытания. Формула Бернулли с выводом. Примеры
- •Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия её применимости. Св-ва ф-ии f(X). Пример.
- •Асимптотическая ф-ла Пуассона и условия её применимости. Пример.
- •Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия её применимости. Функция Лапласа f(X) и её свойства. Пример.
- •Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа с выводом. Примеры.
- •Случайная величина, распределённая по биномиальному закону, её математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассоана.
- •Функция и распределения случайной величины, её определение, свойства и график.
- •Непрерывная случайная величина (нсв). Вероятность отдельного взятого значения нсв. Математическое ожидание и дисперсия нсв. Функция распределения нсв.
- •Плотность вероятности НепрерывныхСв, её определение, свойства. Кривая распределения. Связь между функцией распределения и плотностью вероятности нсв. Математическое ожидание и дисперсия нсв.
- •Определение нормального закона распределения. Теорико-вероятный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость её положения и формы от параметров.
- •Центральная предельная теорема. Понятия о теореме Ляпунова и её значение. Пример.
- •Понятие о двумерном нормальном законе распределения. Условные математические ожидания и дисперсии.
- •Закон больших чисел. Теорема Бернулли с док-м и её значение. Пример.
- •Классификация случайных событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события, непосредственный подсчет вероятности. Примеры.
-
Случайная величина, распределённая по биномиальному закону, её математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассоана.
Биномиальным наз-ся распределение сл\в, в кот она принимает последовательность целых неотрицательных значений с вер-ми определяемыми по формуле Бернулли.
мат\о и дисперсия биномиально распределённой сл\величины.
Законом распределения Пуассона наз распр-е сл\в, в кот она принимает последовательность целых неотрицательных значений с вер-ми определ-ся по формуле Пуассона. Если имеет место распределение Пуассона заданного распр-я , то мат\о находится
Распределение Пуассона. Пусть производится n независимых испытаний, в кот появление соб А имеет в-ть р. Если число испытаний n достаточно велико, а в-ть появления соб А в каждом испытании мало, то для нахождения в-ти появления события А k раз находится след образом: Произведение np сохраняет постоянное значение: , это означает, что среднее число появления соб в различных сериях испытаний (при разном n) остается неизменным.
По формуле Бернулли получаем:
;
Найдем предел этой вероятности при n ∞.
Получаем формулу распределения Пуассона:
-
Функция и распределения случайной величины, её определение, свойства и график.
Функцией распределения сл\в Х наз-ся ф-я F(x), выражающая для каждого х вер-ть т\ч сл\в Х примет значение, меньшее х.
ФР также наз интегральной ф-ей распр-я. ФР любой дискретной сл\в есть разрывная ступенчатая ф-я, скачки кот происходят в точках, соотв-х возможным значениям сл\в и равны вер-м этих значений. Сумма всех скачков ф F(X) =1. Она полностью характеризует сл\в и явл-ся одной из форм закона распределения.
Для дискретной сл\в ф-я распр-я имеет вид:
Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распр-ся на те возможные знач сл\в, кот меньше аргумента х. Ф-я распр-я дискретной сл\в Х разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение хi.
Свойства функции распределения
1) ФР сл\в есть неотрицательная ф-я, заключенная м\у 0 и 1:
2) ФР сл\в есть неубывающая ф-я на всей числовой оси. при
3) На минус бесконечности ФР = нулю, на плюс бесконечности ФР = единице.
;
4) Вер-ть попадания сл\в в интервал (включая ) равна приращению её ФР на этом интервале, т.е.
-
Непрерывная случайная величина (нсв). Вероятность отдельного взятого значения нсв. Математическое ожидание и дисперсия нсв. Функция распределения нсв.
Сл\в Х наз-ся непрерывной, если её Функция Распределения непрерывна в любой точке и дифференцируемая во всюду, кроме отдельных точек (точки излома).
Мат\ожиданием дискретной сл\в называется сумма произведений всех возможных значений сл\в на их вероятности.
Мат\о существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно. С точки зрения вер-ти можно сказать, что м\о приближенно = среднему арифметическому наблюдаемых значений сл\в.
Пусть НСВ Х задана ФР F(x). Допустим, что все возможные значения сл\в принадлежат отрезку [a,b].
Мат\ож-м НСВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], наз-ся определенный интеграл . Если возможные значения сл\в рассм-ся на всей числовой оси, то мат\о нах по формуле:, при этом предпол-ся, что несобственный интеграл сходится.
Дисперсией НСВ наз мат\ож квадрата ее отклонения. . По аналогии с дисперсией, дискретной сл\в, для практического вычисления дисперсии используется формула: .
Функция распределения НСВ:
, в качестве способа задания НСВ используется функция распределения НСВ.
ФРНСВ наз вер-ть т\ч она примет значение меньшее заданного. -обознач ф-ии распр в-тей
Основные свойства ф-ии распределения НСВ:
С1.
С2.
С3.
С4. Вер-ть т\ч НСВ примет значение из интервала, равна приращению ф-ии на этом интервале
1)
2)