Algebra

произведению матриц этих преобразований в смысле введенного выше определения.

Рассмотрим основные свойства умножения матриц.

1)Если A M m n (R), B M n p (R) , тогда AB M m p (R) .

◄Это свойство вытекает из определения произведения матриц. ►

2)Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. AB BA.

◄Прежде всего заметим, что произведение AB и BA не всегда существуют одновременно, как это видно из примера 2. Если AB и BA

существуют одновременно, т.е. A M m n (R), B M n m (R) , тогда AB M m (R) , BA M n (R) , т.е. при m n матрицы AB и BA разного порядка и, следовательно,

несравнимы. Но даже если m n и,			следовательно,				AB и	BA одного порядка,
равенство AB BA, вообще говоря, не выполняется. Например,
1	1	2 1		1	3		4
A		, B		, AB		, BA
2	0	1 2		4	2

AB BA. ►

Вто же время существуют матрицы A и B для которых AB BA. Такие матрицы называются перестановочными. Например, матрицы

1	1			2	1
A			, B
	0			1
1					1

перестановочны, т.к.

	3	2
AB BA			.
	2	1
Более того, существуют квадратные		матрицы порядка n , которые

перестановочны со всеми матрицами из M n (R) .

Примером такой матрицы во множестве M 2 (R) является матрица

	1	0		,
A
	0	1

вчем предлагаем читателю убедиться самостоятельно.

3)Умножение матриц ассоциативно, т.е.

A(BC) (AB)C .

(1.9)

Равенство (1.9) следует понимать так: если его левая (или правая) часть существует, тогда существует и правая (левая) часть и обе они совпадают.

Доказательство этого свойства содержится в учебнике [1], §13.
4) Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, т.е.
(A B)C AC BC ,	F(A B) FA FB

◄ Пусть A ij , B ij M m n (R), C ij M n p (R) . Тогда

11

( A B)C ij ij ij A B T i ,C j AT i BT i ,C j

AT i ,C j BT i ,C j AC BC . ►

5)Произведение матриц однородно по каждому из сомножителей, т.е.

A B A ( B) (AB) , где R .

◄ Например,

( A) B ij ij A T i , B j AT i , B j

AT i , B j AT i , B j ( AB) .

Равенство A ( B) ( AB) доказывается аналогично. ►

6) Реакция произведения матриц на операцию транспонирования

выражается формулой

( AB)

B A

(1.10)

◄ Пусть

A M m n (R), B M n p (R) , тогда

B M p n (R), A Mn m (R) ,

M p m (R), B A Mm p (R) ,

AB Mm p (R), AB

т.е. левая и правая части

равенства (1.10) существуют и имеют одинаковые порядки. Далее

A 1 , B1

A 1 , B2

A 1

, B p

A

2

, B1

A

2

, B2

A

2

, B p

AB

A m , B1

A m , B2

A m , B p

A 1 , B1

A 2 , B1

A m , B1

1

A

2

, B2

A

m

, B2

A

, B2

A 1 , B p

A 2 , B p

A m , B p

j

p,m

j

p,m

i

j

p,m

A

, A

, A

, Bi

Bi

B

B A . ►

i, j 1

i, j 1

i, j 1

12

7) Рассмотрим множество квадратных матриц следующего вида:

			1	0	0
			0	1	0
	E k						, k N .
			0	0	1

Матрица E k M k (R) называется единичной матрицей порядка k .
Если A M m n (R) , тогда матрица E(m) является	еѐ левой	единицей, а
матрица E(n) – правой единицей, т.е.
E(m) A A, A E(n) A.
Если матрица A квадратная и имеет порядок n ,	тогда матрица		E(n)
является еѐ двусторонней (левой и правой) единицей, т.е.
E(n) A A E(n) A.
8) Напомним, что для всех действительных чисел	0 0 ,	т.е.	ноль
является делителем нуля. В то же время произведение	действительных

чисел может равняться нулю лишь в том случае, когда по крайней мере одно из чисел или равно нулю. Иными словами, среди действительных чисел отсутствуют истинные (т.е. отличные от 0) делители нуля. В отличие от действительных чисел среди действительных матриц истинные делители O существуют, т.е. найдутся такие ненулевые матрицы A порядка (m n) и B порядка (n p) , что AB O .

◄ В самом деле, матрицы

1		0	0			0		0	0
	0	0	0				0	0	0
A						и B					,
	0	0	0				0	0	1
соответственно порядков		(m n) и		(n p) , очевидно удовлетворяют нужному
условию. В частности, если m n p 1, то AB BA O . ►

Лекция III.

План

1.8Теория делимости квадратных матриц

1.9* Основные типы алгебраических структур

1.10Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы

13

1.8 Теория делимости квадратных матриц

Выше мы убедились, что арифметические операции над матрицами, прежде всего в части умножения, отличаются по своим свойствам от аналогичных операций над числами. Однако наиболее существенные отличия связаны с операцией деления.

Любое отличное от 0 действительное число имеет обратное число 1 ,

т.е.

1 1 1,

(1.11)

и поэтому любое действительное число можно разделить на любое ненулевое число ,

def

: 1

Теорию делимости для матриц будем строить, исходя из соотношений (1.11). Матрица A называется обратимой, если существует такая матрица B , что

AB BA E(n) .			(1.12)
Если матрица A обратима матрица B называется		еѐ	обратной матрицей и
обозначается B A 1 . Из равенства (1.12)	следует,	что все входящие в них
матрицы квадратные и имеют одинаковый	порядок	n .	В связи с этим будем

считать, что все матрицы, рассматриваемые в данном пункте, принадлежат множеству M n (R) , а единичную матрицу E(n) будем обозначать для простоты E . Множество всех квадратных обратимых действительных матриц порядка n в

дальнейшем будем обозначать через GMn (R) .
Свойства обратимых матриц.
1) Если A GM	n	(R) , еѐ обратная матрица	A 1 единственна.
◄ Действительно, допустим, что наряду с равенствами (1.12) выполняются
равенства
		AC CA E .	(1.13)

где C M n (R) . Умножая обе части равенства AB E на матрицу C слева, по свойству ассоциативности умножения матриц получаем, что

C(AB) (CA)B EB B .

С другой стороны,

C( AB) CE C , т.е. B C . ►

2)	Если A GM	(R) , тогда A 1		GM	(R) , и A 1	1	A .
	n			n
◄ Справедливость этого свойства вытекает из равенств (1.12). ►
3)	Если A GMn (R) , тогда A GMn (R), и
		A	1
				A 1 .			(1.14)

14

◄ Действительно, применяя операцию транспонирования к равенствам (1.12) и учитывая при этом, что E E , получаем, что

				E
AB	BA
или
B A	A B		E .
Последнее равенство означает, что матрица				A обратима, и еѐ обратная матрица
имеет вид B , т.е. выполнено равенство (1.14). ►
4) Если A GMn (R) и 0, R , тогда матрица A обратима и
A 1 1 A 1.						(1.15)
◄ Действительно, используя свойство 5) умножения матриц, получаем, что
A ( 1 A 1 ) ( 1 ) (AA 1 ) 1 E E ,
( 1 A 1 ) A ( 1 ) ( A 1 A) 1 E E .
Откуда следует обратимость матрицы A и равенство (1.15). ►
5) Если A, B GMn (R) , тогда AB, BA GMn (R) и
AB 1 B 1 A 1 , (BA) 1 A 1B 1						(1.16)
◄ Докажем, например, обратимость матрицы AB ,
( AB) (B 1 A 1 ) A BB 1 A 1			A EA 1 AA 1 E ,
(B 1 A 1 ) ( AB) B 1 A 1 A B B 1 EB B 1B E.
Откуда следует обратимость матрицы				AB и первое равенство (1.16).
Обратимость матрицы BA и второе равенство (1.16) доказывается аналогично. ►
6) Если n 1, то во множестве M n (R) всегда существует необратимые
матрицы.
◄ Примером такой матрицы является матрица
	1	0		0
	0	0		0
A					.
	0	0		0
Действительно, равенство AB E не может выполняться ни для какой матрицы
B из M n (R) , так как в произведении		AB последняя строка всегда нулевая и
поэтому
(AB)n (0, 0, , 0) (0, 0, , 1) En .►

15

Следующее утверждение по существу описывает все необратимые

матрицы в M n (R) .
Предложение 1.1.	Если матрица A является истинным делителем нуля,
тогда она необратима.
◄ Пусть матрица	A O и существует такая матрица B ,	B O , что
AB O или BA O . Тогда матрица A не может быть обратимой. Действительно,
если предположить существование такой матрицы C , что
	AC CA E ,
тогда умножая обе части равенства CA E на матрицу B справа (или обе части
равенства AC E на матрицу B слева), получаем, что
(CA)B EB C(AB) B CO B B O		

и аналогично в случае BA O . ► Справедливо и обратное утверждение.

Предложение 1.2. Если матрица A отлична от нуль-матрицы и не является истинным делителем нуля, тогда она обратима.

Доказательство этого утверждения будет приведено позже в «Лекции V».

1.9. Основные типы алгебраических структур.

Пусть M1 и M 2 два произвольных непустых множества. Декартовым произведением M1 M 2 этих множеств называется множество всевозможных

упорядоченных пар вида			(a1 ,a2 ) , где a1 M1 , a2 M 2 .	При этом две	пары
(a1 ,a2 ) и (b1 ,b2 ) , где b1 M1 , b2 M 2 , считаются равными, если a1 b1 , a2					b2 .
Если M1 M 2 , тогда		множество M1 M1 называется декартовым квадратом
множества M1 .
Пусть	M .	Внутренним законом композиции на множестве M
называется произвольное отображение декартова квадрата M M во множество
M . Внутренний закон композиции на множестве M				каждой паре	(a ,b)
элементов	множества	M	ставит в соответствие определенный элемент
множества	M , который принято обозначать в виде сочетания трѐх символов:

элементов a, b и некоторого знака их соединяющего и одновременно позволяющего отличать друг от друга различные законы композиции, например,

(a,b) a b , (a,b) a b , (a,b) a b ,

(a,b) a b , (a,b) a : b и т.д.

Простейшими примерами внутренних законов композиции на множестве R являются арифметические операции сложения, вычитания и умножения действительных чисел, которые паре действительных чисел ( , ) ставят в

соответствие их сумму, разность и произведение,

( , ) , ( , ) , ( , ) .

16

Введенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве M m n (R) , а умножение матриц – внутренним

законом композиции на множестве M n (R) .

Пусть M1 , M 2 . Внешним законом композиции на множестве M 2 над множеством M1 называется произвольное отображение множества M1 M 2 во множество M 2 .

Примером внешнего закона композиции на множестве матриц M m n (R) над

множеством действительных чисел R является операция умножения матрицы на число,

( , A) A, R, A M m n (R) .

Задание на некотором множестве одного или нескольких законов композиции, внутренних или (и) внешних, обладающих некоторыми стандартными свойствами, определяет на этом множестве различные алгебраические структуры (группы, поля, кольца, линейного пространства, алгебры и т.д.).

Если внутренний закон композиции на множестве M , записываемый как умножение, обладает свойствами:

1)	a (b c) (a b) c	(ассоциативность)
для любых a ,b,c из M ;
2)	в M существует такой элемент e , что
	a e e a a	(существование единицы)
для каждого a из M ;
3)	для каждого элемента a из M найдется такой элемент b , b M , что
	a b b a e	(обратимость)
тогда говорят, что закон		композиции определяет на M структуру группы.

Элемент e называется при этом единицей группы, а элемент b из 3) – обратным

к a элементом и обозначается b a 1 .

Если наряду со свойствами 1) – 3) выполняется свойство 4) a b b a (коммутативность)

для любых a , b из M , такая группа называется абелевой. Свойства 1) – 3)

называются аксиомами группы, а свойства 1) – 4) аксиомами абелевой группы. В абелевой группе закон композиции записывается обычно как сложение, в связи с чем еѐ аксиомы принимают вид

1’) a (b c) (a b) c,	a,b,c M ;
2’) в M существует элемент O такой, что
a O O a, a M ;

3’) для любого a из M найдется элемент b ,b M , такой, что a b b a O;

4’) a b b a, a,b M .

Элемент O называется нулем абелевой группы, а элемент b из аксиомы 3’) – противоположным к элементу a и обозначается b a .

17

Пример 3. а) Множество GMn (R) является мультипликативной группой,

т.е. операция умножения матриц определяет на этом множестве структуру группы.

◄ Действительно, из свойства 5) обратимых матриц следует, что умножение матриц является внутренним законом композиции на множестве GMn (R) . Аксиома группы 1) является следствием свойства 3) умножения

матриц. Единичная матрица, очевидно, обратима, так как E E E , откуда следует аксиома группы 2), e E . Аксиома группы 3) является следствием свойства 2) обратимых матриц. ►

б) Множество M m n (R) является аддитивной абелевой группой, т.е.

операция сложения матриц определяет на этом множестве структуру абелевой группы.

◄ Очевидно, что определенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве M m n (R) , а аксиомы

абелевой группы являются следствием свойств 1) – 4) сложения матриц. ►

Если на множестве M определены два внутренних закона композиции, которые записываются как сложение и умножение и обладают свойствами:

1)сложение определяет на M структуру абелевой группы;

2)a (b c) (a b) c ;

3)a (b c) a b a c, (b c) a b a c a для любых a , b, c из M ,

тогда говорят, что на множестве M задана структура кольца. Если при этом по умножению существует единица, это кольцо называется кольцом с единицей, а если операция умножения коммутативна, кольцо называется коммутативным.

Пример 4. а) Операции сложения и умножения чисел задают на множестве Z структуру коммутативного кольца с единицей.

б) Операции сложения и умножения матриц задают на множестве M n (R) ,

n 1, структуру некоммутативного кольца с единицей.
Коммутативное кольцо с единицей, в котором	все отличные от нуля

элементы обратимы, называется полем. Важнейшими примерами полей являются поле рациональных чисел Q и поле действительных чисел R .

Пусть задано непустое множество M , элементы которого мы будем называть векторами, и поле F с единицей 1. Если на множестве M определены внутренний закон композиции, записываемый как сложение векторов,

(a,b) a b , a,b M ,

и внешний закон композиции над полем P , записываемый как умножение

вектора на скаляр,

( , a) a , P, a M ,

иэти законы обладают свойствами:

1)сложение векторов определяет на M структуру абелевой группы;

2)1 a a ,

3)( a) ( ) a ,

4)( ) a a a ,

5) (a b) a b,

, F , a,b M ,

18

тогда говорят, что на множестве M задана структура линейного пространства над полем F .

Пример 5. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число

задают на множестве Rn структуру линейного пространства над полем	R или
кратко структуру действительного линейного пространства.
Непустое множество M , на котором заданы два внутренних	закона

композиции (записываемых как сложение и умножение) и один внешний закон композиции над полем F (записываемый как умножение на число), называется алгеброй над полем F , если:

1)сложение и умножение задают на M структуру кольца,

2)сложение и умножение на число задают на M структуру линейного пространства над полем F ,

3) (a b) ( a) b a ( b), F , a,b M .

Если умножение коммутативно, алгебра называется коммутативной, если умножение обладает единицей, алгебра называется алгеброй с единицей.

Пример 6. Из лекций I и II следует, что введѐнные там операции сложения и умножения матриц с операцией умножения матрицы на число задают на множестве M n (R) при n 1 структуру некоммутативной алгебры с единицей.

1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы

Элементарные преобразования над матрицами бывают только трѐх типов: 1) перемена местами двух строк или столбцов; обозначения – ci c j или

ci c j соответственно;

2)умножение строки или столбца на число, отличное от нуля; обозначения

–ci или c j соответственно, 0 ;

3)добавление к какой-либо строке или столбцу другой строки или столбца, умноженных на произвольное число ; обозначения – ci c j или ci c j

соответственно (элементарное преобразование этого типа называется

трансвекцией).

В результате применения к матрице A элементарного преобразования первого типа еѐ строки Ai и Aj (или столбцы Ai и A j ) поменяются местами; во втором

случае строка Ai (или столбец Ai ) будет заменена на строку Ai (или столбецAi ); в последнем случае строка Ai (или столбец Ai ) будет заменена на строку Ai Aj (или столбец Ai A j ), а строка Aj (столбец A j ) остается неизменной.

Свойства элементарных преобразований.

1) Одно элементарное преобразование первого типа эквивалентно четырем элементарным преобразованиям второго и третьего типов.

◄ Пусть в матрице A нужно поменять местами, например, строки Ai и Aj .

Следующая цепочка элементарных преобразований второго и третьего типов приводит к результату

19

i

Ai

c j ci

i

Ai

ci c j

i

Aj

c j ci

A

~

~

~

j

A

j

A A

j

A A

j

j i

j i

i

Aj

( 1)ci

i

Aj

~

~

.

►

j

A

j

A

i

i

2) Элементарные преобразования обратимы, а обратные им преобразования являются элементарными преобразованиями того же самого типа, т.е. если матрица B получена из матрицы A с помощью элементарного преобразования, тогда матрица A может быть получена из матрицы B с помощью элементарного преобразования того же самого типа.

◄ Используя для обозначения обратных элементарных преобразований символ ( )-1 непосредственной проверкой убеждаемся, что

(c c	j	) 1 c c	j	, (ci c j ) 1 ci c j ,
i		i
( c ) 1 1 c , ( ci ) 1 1 ci , 0,
i		i
(c c	j	) 1 c c	j	, (ci c j ) 1 ci c j	. ►
i		i

3) Квадратная матрица называется элементарной, если она получена из единичной матрицы с помощью одного элементарного преобразования. Несмотря на то, что имеется шесть видов элементарных преобразований, три строчных и три столбцовых, видов элементарных матриц всего три, так как одна и та же элементарная матрица может быть получена как с помощью строчного так и с помощью столбцового элементарных преобразований.

◄ Действительно,			элементарные преобразования							c c	j	и ci c j
										i
порождают одну и ту же элементарную матрицу
			1
	ci c j									ci c j
				1
			i	0		1
						1
												(1.17)
						1
			j	1		0
								1
									1
					i			j

20