Метод двух узлов

Часто исследуемая электрическая цепь содержит только два узла или легко может быть преобразована в подобную цепь. Наиболее простым методом расчета в этом случае является метод двух узлов (узлового напряжения).

На рис. 2 показана схема цепи с двумя узлами а и b, состоящая из п ветвей.

Так как ветви между узлами а и b соединены параллельно, то разность потенциалов или напряжение между этими узлами можно выразить через ЭДС Е_к, ток 1_к и сопротивление резистивного элемента r_к любой из ветвей. По обобщенному закону Ома:

Откуда:

где U_ab — узловое напряжение цепи.

На основании этих соотношений ток

(6)

В схеме цепи (рис.2) было принято, что все ЭДС направлены к одному из узлов цепи (к узлу а) и положительное направление каждого тока совпадает с направлением ЭДС в ветви, т. е. все токи направлены к тому же узлу. В действительности, конечно, некоторые ЭДС могут быть направлены к узлу b. В этом случае при расчете токов в ветвях с теми же положительными направлениями (к узлу а) по (6) значения ЭДС, действующих к узлу b, должны быть записаны со знаком минус.

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в узле цепи равна нулю, т. е.

и, следовательно,

Рис. 2.

откуда узловое напряжение определяет­ся через параметры элементов цепи:

здесь со знаком плюс записываются ЭДС, действующие к узлу а.

Зная напряжение между узлами, по (6) легко определить ток в любой ветви.

Метод контурных токов

Этот метод может быть применен для расчета любой линейной цепи. Его применение позволяет уменьшить число совместно решае­мых уравнений по сравнению с числом уравнений, составляемых по законам Кирхгофа.

Для расчета методом контурных токов в сложной электрической цепи (рис. 3, а) независимые контуры выбираются так же как и при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа, например кон­туры-ячейки (рис. 3, б). Затем в каждом из контуров произвольно выбирается положительное направление контурного тока (один и тот же ток во всех ветвях соответствующего контура). Расчетную величину — контурный ток обозначим по номеру контура с двойным индексом, например I_kk. Токи в общих для двух или более контуров ветвях определяются на основании первого закона Кирхгофа как ал­гебраические суммы соответствующих контурных токов.

Алгебраическая сумма ЭДС всех ветвей, входящих в каждый из выбранных независимых контуров, называется контурной ЭДС E_kk (с двойным индексом номера контура), т. е. для любого k-гo контура

(7)

В выражении (7) все ЭДС ветвей, направление которых совпа­дает (не совпадает) с направлением обхода контура, записываются со знаком плюс (минус).

Арифметическая сумма сопротивлений всех резистивных элемен­тов, входящих в каждый из выбранных контуров, называется собст­венным контурным сопротивлением r_kk (с двойным индексом номера контура), т. е.

Арифметическая сумма сопро­тивлений резистивных элементов, находящихся в общих ветвях двух контуров m и /, называется общим сопротивлением этих контуров, причем, очевидно,

Рис. 3

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Е1, В	Е2, В	U1, В	U2, В	I1, А	I2, А	I3, А
58	105	55	98	0,28	0,86	0,58

Найдем внутренние сопротивления источников:

Расчет при помощи закона Ома и двух законов Кирхгофа

2-ой закон Кирхгофа для 1-го контура:

2-ой закон Кирхгофа для 2-го контура:

1-ый закон Кирхгофа для узла c:

Составим систему уравнений

Преобразуем данную систему

Решим систему уравнений матричным методом

Расчет методом двух узлов (узлового напряжения)

=>

Расчет методом контурных токов

=>

Преобразуем данную систему

Решим систему уравнений матричным методом

Потенциальная диаграмма для конту­ра abcda

Вывод:

В ходе данной лабораторной работы мы изучили распределения токов в сложной электрической цепи постоянного тока. Для расчетов использовали законы Кирхгофа для расчета слож­ной электрической цепи. Также изучили распределение потенциалов и отобразили это в построенной потенциальной диаграммы для одного из замкнутых конту­ров сложной цепи для определения напряжений в цепи. Изучили влияние внутреннего сопротивления источника ЭДС на режим работы электрической цепи.