Пересечение поверхнолстей

УДК 514.181.2(075.5)

Блинова Л. В., Куркина Л. В. Пересечение поверхностей: Методическое пособие для студентов всех специальностей /Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова. – Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2009. – 30 с.: ил.

Методическое пособие разработано для оказания помощи студентам при изучении темы «Пересечение поверхностей» и при выполнении домашней контрольной работы по начертательной геометрии «Построение линии пересечения поверхностей». В пособии приведены основные способы построения линии пересечения поверхностей.

Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры «Начертательная геометрия и графика». Протокол № 2 от 07. 10. 2009г.

© Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова, 2009

2

3

Введение

Данные методические указания предназначены для оказания помощи студентам при изучении темы «Пересечение поверхностей» и при выполнении домашней контрольной работы по начертательной геометрии «Построение линии пересечения поверхностей».

В методических указаниях рассмотрены следующие способы построения линии пересечения поверхностей: способ вспомогательных секущих плоскостей и способ сфер-посредников. Также разобраны частные случаи построения линии пересечения поверхностей (когда одна или обе поверхности занимают проецирующее положение и пересечение поверхностей вращения второго порядка, описанных около общей сферы).

При решении задач на построение линии пересечения поверхностей рекомендуется придерживаться следующего плана.

План решения задачи.

1.Анализ условия.

2.Выбор способа решения задачи.

3.Построение опорных точек.

4.Построение промежуточных точек.

5.Определение видимости линии пересечения поверхностей.

6.Определение видимости очерков заданных поверхностей.

4

Пересечение поверхностей

1 Общие сведения о способах построения линии пересечения двух поверхностей

Задачи на построение линии пересечения поверхностей относятся к числу основных позиционных задач, рассматриваемых в курсе начертательной геометрии.

Линия пересечения двух поверхностей в общем случае является про-

странственной кривой. Чтобы построить кривую пересечения нужно построить множество точек, которые одновременно принадлежали бы каждой из заданных поверхностей. В дальнейшем эти точки соединяются плавной линией, которая и является искомой линией пересечения m (рисунок 1). Условно можно записать m = Φ ∩ Ψ.

Рисунок 1

Линия пересечения состоит из так называемых, опорных и промежуточ-

ных точек. К опорным точкам относятся экстремальные точки и точки изменения видимости.

Экстремальные точки – это точки, имеющие максимальную или минимальную координату по какому-либо координатному направлению (самая верхняя и самая нижняя; самая левая и самая правая; самая ближняя и самая дальняя точки линии пересечения). Одна пара экстремальных точек всегда лежит в общей плоскости симметрии заданных поверхностей.

Точки изменения видимости – это точки, в которых линия пересечения меняет видимость на противоположную. Проекции этих точек находятся на очерках поверхностей.

Все остальные точки относятся к промежуточным.

Оказывается, что даже в одной задаче опорные точки чаще всего находят каждую своим собственным приемом построения. Все промежуточные точки

5

находят с помощью одного и того же приема (способа), который является основным для решения рассматриваемой задачи.

Общий алгоритм решения задачи на построение линии пересечения поверхностей

Для построения точек, принадлежащих линии пересечения, применяют

способ поверхностей-посредников (способ вспомогательных секущих по-

верхностей). Рассмотрим алгоритм решения задачи на построение линии пересечения поверхностей с помощью указанного способа (рисунок 2):

1)вводим вспомогательную поверхность-посредник Σ;

2)строим линию пересечения поверхности Σ с заданной поверхностью Φ (кривую n);

Σ∩ Φ = n

3)строим линию пересечения поверхности Σ с заданной поверхностью Ψ (кривую m);

Σ∩ Ψ = m

4)при пересечении линий n и m получаем точки А и В, которые и будут первой парой искомых точек.

n ∩ m ={А; B}

Рисунок 2

Повторяя вышеперечисленные действия, необходимое число раз, получаем множество точек, принадлежащих одновременно каждой из заданных поверхностей. Затем полученные точки соединяем плавной линией, которая и будет являться искомой линией пересечения поверхностей.

В качестве поверхностей-посредников применяют либо вспомогательные секущие плоскости, либо секущие сферы. В зависимости от этого для построения линии пересечения поверхностей можно применять либо способ вспомогательных секущих плоскостей, либо способ вспомогательных секу-

щих сфер.

Использование того или иного способа зависит от формы пересекающихся поверхностей и от их взаимного расположения. Но и в том, и в другом слу-

чае, вспомогательную поверхность-посредник выбирают так, чтобы она

6

пересекала заданные поверхности по графически простым линиям, т. е. по прямым или окружностям.

Применение приведенного выше алгоритма, для определения линии пересечения поверхностей целесообразно, когда заданные поверхности занимают общее положение. Если хотя бы одна из пересекающихся поверхностей занимает проецирующее положение, то задачу решают, используя собирательное

свойство вырожденной проекции проецирующего образа.

2 Построение линии пересечения поверхностей с использованием собирательного свойства проецирующего образа

Построение линии пересечения поверхностей значительно упрощается, если хотя бы одна из заданных поверхностей занимает проецирующее положение относительно плоскостей проекций. Решение задачи в этом случае основы-

вается на использовании собирательного свойства, которым обладает вырожденная проекция проецирующей поверхности. Обоснование данного спо-

соба построения линии пересечения заключается в следующем:

1)линия пересечения двух поверхностей – это линия, которая одновременно принадлежит каждой из заданных поверхностей;

2)так как одна из поверхностей занимает проецирующее положение, то имеется вырожденная проекция этой поверхности (вырожденная проекция, как известно, обладает собирательным свойством, т. е., все точки и линии, принадлежащие поверхности, в том числе и линия пересечения, проецируются на вырожденную проекцию поверхности);

3)так как линия пересечения принадлежит и другой поверхности, то вторую ее проекцию можно построить по принадлежности к поверхности общего положения.

Проецирующее положение могут занимать прямой круговой цилиндр и прямая призма (рисунок 3).

Рисунок 3

7

2.1 Построение линии пересечения поверхностей, когда обе поверхности занимают проецирующее положение

Сформулировать правило построения линии пересечения, когда обе поверхности занимают проецирующее положение можно следующим образом:

если обе поверхности занимают проецирующее положение, то проекции линии пересечения совпадают с вырожденными проекциями заданных поверхностей.

Рассмотрим применение этого правила на примере.

Пример. Построить проекции линии пересечения двух поверхностей.

1. Анализ условия.

Пересекаются два прямых круговых цилиндра (рисунок 4). Цилиндр Ψ занимает горизонтально-проецирующее положение (i π1), цилиндр Φ занимает фронтально-проецирующее положение (j π2).

2. Способ решения задачи.

При решении данной задачи будем использовать собирательное свойство, которым обладает вырожденная проекция проецирующей поверхности. Тогда:

на π1 проекция линии пересечения поверхностей лежит на вырожденной проекции цилиндра Ψ;

на π2 проекция линии пересечения лежит на вырожденной проекции цилиндра Φ;

на π3 проекцию линии пересечения строим, определив профильные проек-

На π1 находим проекции этих точек по линии связи в плоскости β, которая является плоскостью главного фронтального меридиана цилиндра Ψ.

Границей видимости линии пересечения на π1 будем считать плоскость горизонтального меридиана цилиндра Φ – плоскость α. Таким образом, точки А и В будут точками изменения видимости на π1.

Границей видимости линии пересечения на π2 будем считать плоскость главного фронтального меридиана цилиндра Ψ – плоскость β. Поэтому точки С и D будут точками изменения видимости линии пересечения на π2.

Рисунок 5

9

4. Промежуточные точки.

Проекции промежуточных точек 1; 1'; 2, 2' и т. д. отмечаем произвольно на π2 (рисунок 5). Находим проекции этих точек по линиям связи на π1. Дальнейшее решение задачи сводится к нахождению профильных проекций всех вышеназванных точек. Чтобы построить профильную проекцию точки, например, точки 1 нужно:

а) из фронтальной проекции точки 1 (12) провести линию связи на плоскость π3;

б) замерить координату y точки 1 на плоскости π1;

в) по линии связи отложить координату y вправо от β3.

5. Определение видимости линии пересечения.

Общей границей видимости на π3 служит плоскость δ (плоскость профильного меридиана цилиндра Ψ), поэтому проекция линии пересечения на π3 не видима и изображается штриховой линией.

6. Очерки поверхностей.

При взгляде на π3 профильный меридиан цилиндра Φ находится за профильным меридианом цилиндра Ψ, поэтому на профильной плоскости проекций очерк цилиндра Φ не виден и изображается на чертеже штриховой линией.

2.2Построение линии пересечения поверхностей, когда одна поверхность занимает проецирующее положение

Если одна поверхность занимает проецирующее положение, то одна проекция линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией проецирующей поверхности, а другая проекция линии пересечения строится из условия принадлежности этой линии непроецирующей поверхности.

Рассмотрим применение данного правила на примере.

Пример. Построить проекции линии пересечения двух поверхностей.

1. Анализ условия.

Пересекаются две поверхности (рисунок 6): сфера – поверхность общего положения и прямой круговой цилиндр, занимающий горизонтальнопроецирующее положение.

2. Способ решения задачи.

При решении задачи будем использовать собирательное свойство, которым обладает вырожденная проекция цилиндра.

На π1 проекция линии пересечения (обозначим её m1) совпадает с вырожденной проекцией цилиндра.

На π2 проекцию линии пересечения m2 строим, исходя из условия принадлежности точек линии m непроецирующей поверхности, то есть сфере.

10