Модели сигналов

•Для передачи сообщения сигнал должен изменять свои физические параметры (говорят, что сигнал модулируется (или квантуется) сообщением). Например, звук одной частоты и громкости не несет информации.

•Модуляция гармонических сигналов

•Непрерывные сигналы могут изменять параметры в любой момент времени. Изменение параметров сигнала во времени называется модуляцией сигнала.

•Любой гармонический сигнал описывается формулой

x(t)=А sin(ωt+ϕ). Параметрами такого сигнала являются амплитуда А, круговая частота ω и сдвиг фазы ϕ. Изменяя эти параметры, можно превратить гармонический сигнал в носитель информации (модулировать сигнал информацией).

•Возможны три типа модуляции.

•Амплитудная модуляция предполагает изменение амплитуды сигнала во времени: xАМ(t)=А(t)∙sin(ωt+ ϕ), причем закон изменения

амплитуды часто является также гармоническим:

А(t)=А0 + Ам∙sin(Ωt+Φ),

•Частотная модуляция возникает при изменении частоты сигнала во времени: xЧМ(t)=А∙sin(ω(t)t+ ϕ), причем частота сама изменяется по гармоническому закону: ω(t) = ω0 + ω0cos Ωt, где ω0 называется частотной девиацией.

•Фазовая модуляция предполагает изменение фазового сдвига сигнала: xФМ(t)=А∙sin(ωt+ ϕ(t)).

•Можно показать, что ω(t)t+ ϕ = ω0t + θ(t) + θ0, таким образом, частотная и фазовая модуляция – это два варианта технической реализации одного метода модуляции, называемого угловой модуляцией.

•Дискретные сигналы могут изменять свои параметры лишь в дискретный момент времени

•Квантование по уровню

•Сигнал будет считаться квантованным по уровню, если амплитуда сигнала может принимать определенные значения из дискретного множества:

•	k	∙
	x(t) Ak 1(t tk ) , где 1( ) – это единичная функция (единичный
•	скачок)
	0, если 0	,
	1( )
	1, если 0

• tk = k∙Δt, а Δt – это интервал дискретизации непрерывного сигнала.

• Уровень амплитуды Аk может принимать значения из некоторого дискретного множества.

.

x(t)

.

Аk

Δt

t

Рис. 2. Дискретный сигнал, квантованный по уровню.

Если известны вероятностные характеристики непрерывного сигнала, например,

плотность вероятности амплитуды f(x), то вероятность того, что при квантовании

будет полученAуровеньk сигнала Аk может быть определена так:

p(Ak ) f (x)dx

Ak 1

•	Квантование по времени
•	Сигнал считается квантованным по времени, если моменты времени,
	когда сигнал изменяется, могут принимать значения из некоторого
	дискретного множества.
•	x(t) ak (t tk ), где ak принимает значения 0 или 1,
•	k
	а δ(∙) – это дельта-функция.

0, если 0

( ) , если 0

x(t)

t

tk

Рис.3. Дискретный сигнал, квантованный по времени.

Дискретный сигнал менее подвержен помехам, чем непрерывный. Очевидно, что в целях повышения помехоустойчивости непрерывные информационные сигналы имеет смысл заменять дискретными.

Но не будет ли при этом теряться информация?

Теорема В.А. Котельникова

Котельников Владимир Александрович – советский инженер-радиотехник, вице-президент Академии наук

СССР. В 1933 г. вышла статья Котельникова «Пропускная способность эфира и проволоки», где он сформулировал нижеприведенную теорему. В 1947 году В.А. Котельниковым была разработана фундаментальная теория потенциальной помехоустойчивости. Эта теория дала инженерам инструмент для синтеза оптимальных устройств обработки принимаемых сигналов на фоне шумов и помех, на ее основе были разработаны методы оценки качества приема аналоговых и цифровых сигналов в различных каналах связи.

В.А.Котельников доказал следующую теорему, определяющую возможность дискретизации непрерывных сигналов.

•Сигнал x(t), имеющий ограниченный спектр в диапазоне от 0 до ωгр может быть передан с любой степенью точности при помощи своих дискретных значений, следующих с интервалом

t

гр

•Спектр – это набор частот, присутствующих в сигнале. Любую функцию можно представить рядом Фурье:

f(t) C (ak cosk 0t bk sink 0t)

k0

•Таким образом, максимальное kω0, при которых ак≠0 и bк≠0, является границей спектра.

•Котельников доказал, что любой процесс, ограниченный спектром

ωгр, с любой степенью точности представим в виде суммы его дискретных значений, умноженных на функцию отсчета.

•		sin гр (t k t)	(4.1)
	x(t) x(k t)
		гр (t k t)
	k 0

•Таким образом, установлено условие, при котором дискретизация непрерывных сигналов не ведет к потере информации.

Передача информации по каналу связи без учета помех

Пропускная способность дискретного канала связи без помех

•Пусть M – первичный алфавит, которым оперирует источник информации, а m – вторичный алфавит, используемый при передаче сообщения по каналу связи. Пропускная способность канала связи определяется формулой:

C(s) I(s)max nlog2 m

T T

•Введем величину V – частота снятия отсчетов (т.е. сколько элементарных сигналов пройдет в единицу времени). Физически эта величина определяется частотой тактового генератора канала связи.

•V=n/T=1/τ0, где τ0 – длительность элементарного импульса в канале.

•	Тогда C(s)=V∙Hmax(s) = V∙log2m.					(4.2)
•	Отсюда	C	log 2	m	(бит в секунду)
			0
	(4.3)

• Для двоичных сигналов m = 2, следовательно

C 1 V

0

•	Когда речь идет о дискретизации непрерывных сигналов, стараются,
	чтобы τ0 определялось в соответствии с теоремой Котельникова, т.е.
•	τ0 = Δt. Тогда	С	1		гр		2 F	2F .
			t

•Величину F называют частотой манипуляции, а выражение

•C = 2F – пределом Найквиста.

•Величина С является характеристикой канала связи, определяется его конструктивными особенностями.