Saprikina
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Національний університет кораблебудування імені адмірала Макарова
Л.Т. Саприкіна, Т.А. Юрченко, А.М. Кузнецов, І.І. Ластовецька
МЕТОДИЧНІВКАЗІВКИ довиконаннятиповихрозрахунківта
індивідуальнихзавданьзвищоїматематики
Вдвохчастинах Частина І
Рекомендовано Методичною радою НУК
Миколаїв 2006
УДК517(076)
Методичні вказівки до виконання типових розрахунків та індивідуальнихзавданьзвищоїматематики: У2 ч. / Л.Т. Саприкіна,
Т.А. Юрченко, А.М. Кузнецов, І.І. Ластовецька. – Миколаїв: НУК, 2006. – Ч. 1. – 40 с.
Кафедравищоїматематики
Методичні вказівки містять завдання типових розрахунків та індивідуальних завдань з розділів курсу вищої математики, що вивчаютьсястудентаминапершомукурсі.
Кожне завдання подано 25 варіантами. До типових розрахунківнаданізразкиїхвиконання.
Рецензентканд. фіз.-мат. наукО.М. Шихватов
2 |
ВидавництвоНУК, 2006 |
Розділ I
Типовий розрахунок №1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ІАНАЛІТИЧНАГЕОМЕТРІЯ
Завдання 1. Встановити, що система рівнянь має єдиний розв’язоктазнайтийого: а) задопомогоюоберненоїматриці; б) за формуламиКрамера; в) заметодомГаусса.
Варіант |
Система |
Варіант |
Система |
||
|
|
|
|
|
|
|
x + y – z = |
– 2, |
|
x + 2 y + z = 4, |
|
1 |
|
=1, |
2 |
|
|
4x – 3y + z |
3x – 5y + 3z =1, |
||||
|
2x + y = 5 |
|
|
2x + 7 y – z = 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y – z =1, |
|
x – 2 y + 3z = 6, |
||
3 |
|
|
4 |
|
|
8x + 3y – 6z = 2, |
2x + 3y – 4z = 20, |
||||
|
– 4x – y + |
3z = – 3 |
|
3x – 2 y – 5z = 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2 y + z = 5, |
|
x – y + 3z = 3, |
||
5 |
|
|
6 |
|
= 3, |
2x + 3y + z = 1, |
3x – 5y + z |
||||
|
2x + y + 3z = 11 |
|
4x – 7 y + z |
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y + z = – 2, |
|
x – y + z =1, |
||
7 |
|
|
8 |
|
|
4x + 2 y + z = – 4, |
2x + 3y – 2z = 6, |
||||
|
9x + 3y + z |
= – 8 |
|
x + y + 2z |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x – y + z = 7, |
|
2x + 3y + 2z = 9, |
||
9 |
|
|
10 |
|
=14, |
2x + y – z = 2, |
x + 2y – 3z |
||||
|
– x – 3y + 2z = 7 |
|
3x + 4 y + z |
=16 |
|
|
|
|
|
|
|
3
Продовження
Варіант |
|
Система |
Варіант |
|
|
|
Система |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
3x + 4 y + 2z = 5, |
|
3x + 2 y – z = 2, |
|||||||
11 |
|
|
= 4, |
12 |
|
|
|
|
= –10, |
|
2x – y – 3z |
5x – y + 3z |
|||||||||
|
x |
+ 5y + z = 5 |
|
4x |
+ y – 2z |
= 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y + z = 6, |
|
4x – 3y + 2z = 9, |
|||||||
13 |
|
|
|
14 |
|
|
+ 5y – 3z |
= 4, |
||
5x + 4 y + 3z = 22, |
2x |
|||||||||
|
10x + 5 y + z = 23 |
|
5x |
+ 6 y – 2z |
= 18 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x – y – z = 4, |
|
2x + 3y + 2z = 9, |
|||||||
15 |
|
|
|
16 |
|
+ 2y – 3z |
=14, |
|||
3x + 4 y – 2z =11, |
x |
|||||||||
|
3x – 2 y + 4z =11 |
|
3x |
+ 4 y + z |
= |
16 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y – 2z = – 3, |
|
x + 2 y + 4z = 31, |
|||||||
17 |
|
|
|
18 |
|
|
+ y |
+ 2z |
= 29, |
|
x – 2 y + z = 4, |
5x |
|||||||||
|
3x – y + 7z |
=13 |
|
3x – y |
+ z =10 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 y + z = 4, |
|
2x – 3y + z = – 1, |
|||||||
19 |
|
|
|
20 |
|
|
+ y + z |
= 6, |
||
3x – 5y + 3z =1, |
x |
|
||||||||
|
2x + 7 y – z |
= 8 |
|
3x |
+ y – 2z |
= |
–1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x – z =1, |
|
|
x + y + z = 2, |
||||||
21 |
|
|
=1, |
22 |
|
+ 3y + z = 4, |
||||
2x + 4 y – z |
x |
|||||||||
|
x – 8y – 3z |
= – 2 |
|
x |
+ y |
+ 3z |
= |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ y + z = 3, |
|
7x + 2 y + 3z =15, |
||||||
23 |
|
+ 4 y + z = 6, |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
5x – 3y + 2z =15, |
|||||||||
|
x |
+ y + 4z |
= 0 |
|
10x – 11y + |
5z = 36 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x – 3y – z = – 6, |
|
|
|
|
|
|
|
||
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 5 y – 3z = 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5x + 6 y – 2z =18 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання2. Встановити, приякомузначенніλ системамаєненульовірозв'язки. Знайтицірозв'язки.
Варіант |
Система |
Варіант |
Система |
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 y – (λ + 4)z = 0, |
|
3x – 2 y + z = 0, |
|
1 |
|
2 |
|
+ 15z = 0, |
2x + y – 5z = 0, |
5x – (10 + λ) y |
|||
|
x – y – z = 0 |
|
x + 2 y – 3z = 0 |
|
|
|
|
|
|
4
Продовження
Варіант |
|
Система |
Варіант |
|
|
Система |
|||
|
|
|
|
||||||
|
λx – y + 4z = 0, |
|
2x + 3y + z = 0, |
||||||
3 |
|
+ 2 y – z = 0, |
4 |
|
+ 4 y + (1 + λ )z = 0, |
||||
x |
x |
||||||||
|
5x + 3y + 2z = 0 |
|
3x |
+ 7 y + 3z = 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λx – 3y + 2z = 0, |
|
2x + y – 5z = 0, |
||||||
5 |
|
|
|
6 |
|
+ (5 – λ ) y – 3z = 0, |
|||
–2x + 6 y – 4z = 0, |
x |
||||||||
|
3x – 9 y + 3z = 0 |
|
x |
+ 2 y – 4z |
= 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x – 6 y + 7z = 0, |
|
4x + y + 3z = 0, |
||||||
7 |
|
|
|
8 |
|
+ 2y – z = 0, |
|||
5x – 14 y + 15z = 0, |
x |
||||||||
|
x |
+ (2 – λ) y – 3z = 0 |
|
5x |
+ (5 – λ ) y |
+ 2z = 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 3y + z = 0, |
|
5x + y – 2z = 0, |
||||||
9 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
3x + (8 – λ) y + 3z = 0, |
15x + 3y – (9 – λ )z = 0, |
||||||||
|
x |
+ 4 y + 2z = 0 |
|
x |
+ y – 10z |
= 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x – y – z = 0, |
|
x + 2 y – (5 – λ)z = 0, |
||||||
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
= 0, |
|
x – 2z = 0, |
x – 2 y + 2z |
||||||||
|
(1 – λ )x |
+ 2 y – 4z = 0 |
|
3x – 2 y + z |
= 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y = 0, |
|
5x + 5 y + z = 0, |
||||||
13 |
|
|
3z = 0, |
14 |
|
|
|
|
|
4x + y + |
x + 4 y + 2z = 0, |
||||||||
|
x |
+ 2 y – |
λz = 0 |
|
(5 – λ)x + 7 y + 3z = 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x – λy – 3z = 0, |
|
x + (4 – λ) y – 4z = 0, |
||||||
15 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
– 2x + 6 y + z = 0, |
4x + 5 y – 13z = 0, |
||||||||
|
3x – 6 y – z = 0 |
|
x |
+ y – 3z = 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x – z = 0, |
|
3x – y + 4z = 0, |
||||||
17 |
|
+ 2 y – 3z = 0, |
18 |
|
|
|
|
|
|
x |
(7 – λ )x + 3y + 2z = 0, |
||||||||
|
(4 + λ )x – 14 y + 15z = 0 |
|
6x |
+ 5y + z |
= 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
– y – z = 0, |
|
2x |
– y + z = 0, |
||||
|
|
|
|
|
+ 5 y – 5z = 0, |
||||
|
|
+ λy + 2z = 0, |
|
– (10 – λ)x |
|||||
19 |
x |
20 |
4x – 2 y + z |
= 0 |
|||||
|
3x + 7 y + 3z = 0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 y – 4z = 0, |
|
4x – 4 y + 3z = 0, |
||||||
21 |
|
|
|
22 |
|
+ (6 – λ) y – 3z = 0, |
|||
4x + 5 y – (13 – λ)z = 0, |
x |
||||||||
|
5x + 7 y – 16z = 0 |
|
x – 2 y + 2z |
= 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x – 3y + (5 + λ)z = 0, |
|
2x + 3y + z = 0, |
||||||
23 |
|
+ 2y – z = 0, |
24 |
|
+ 4y + 2z |
= |
0, |
||
x |
x |
||||||||
|
5x + 3y – 2z = 0 |
|
(2 |
+ λ )x + 7 y |
+ 3z = 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
Продовження
Варіант |
Система |
Варіант |
Система |
|
|
x + y – 5z = 0, |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
x – y + z = 0, |
+15z = 0 |
|
|
|
|
(λ – 3)x – 3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання 3. Встановити, які лінії визначаються заданими рівняннями. Знайтихарактеристикицихлінійтапобудуватиїх.
Варі- |
|
|
|
|
|
Рівняння |
Варі- |
|
|
|
|
|
Рівняння |
||||||
ант |
|
|
|
|
|
ант |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) x2 + 4y2 = 4; |
|
|
а) y2 = 5x + 10; |
|
||||||||||||||
1 |
б) 9x2 – 25y2 – 18x – 100y – 316 = 0; |
2 |
б) x = 5 – |
3 |
y 2 |
+ 4 y −12 ; |
|||||||||||||
|
в) x = –2 |
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||
|
|
|
в) 25x2 + 16y2 = 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
а) 16x2 + 25y2 + 32x – 100y – |
|
а) y + |
1 |
|
x |
2 |
+ 2x + 7 = 0; |
|||||||||||
3 |
– 284 = 0; |
|
|
4 |
6 |
|
|
||||||||||||
б) x2 = 2 – y; |
|
|
б) x = |
1 |
|
49 − y2 |
; |
||||||||||||
|
в) x = –2 y2 −1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) x2 – 4y2 = 16 |
|
||||||||
|
а) x2 = 16y + 2; |
|
|
а) x |
2 |
= –2y – 2; |
|
||||||||||||
|
б) x = – 5 + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
5 |
8 + 2 y − y 2 ; |
6 |
б) x = 9 – 2 y2 + 4y + 8 ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
в) 16x2 + y2 = 64 |
|
|||||||||
|
в) –x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
+ 4y = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а) y |
2 |
= 4x |
– 8; |
|
|
а) y2 = 2x + 1; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
7 |
б) x = –2 − 5 − 6y − y2 ; |
8 |
б) y = –1 + |
x 2 |
− 4x − 5 ; |
||||||||||||||
|
в) –x2 + 9y2 = –9 |
|
в) x |
2 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 9y = 36 |
|
|||||||
|
а) 16x2 – 9y2 – 64x – 18y + 199 = 0; |
|
а) x2 = 2y + 2; |
|
|||||||||||||||
9 |
б) x = 4 − 2y ; |
|
10 |
б) y = 1 |
– |
4 |
− 6x − x 2 ; |
||||||||||||
|
в) 9x2 + 4y2 = 36 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
в) 4x2 – 7y2 = –28 |
|
||||||||||||||||
|
а) x2 = 3y – 6; |
|
|
а) 9x2 – 16y2 + 90x + 32y – |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
– 367 = 0; |
|
|
|
||||||
11 |
б) x = – 4 |
y |
|
+ 6y ; |
12 |
б) y = x2 – 5; |
|
|
|||||||||||
|
в) x2 + 9y2 = 81 |
|
|
в) x2 + 6y2 = 24 |
|
6
Продовження
Варі- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рівняння |
Варі- |
|
Рівняння |
|
ант |
|
|
|
|
|
|
|
|
ант |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) 5x2 + 9y2 – 30x + 18y+ 9 = 0; |
|
а) y2 = –12 – 6x; |
|
|||||||||
13 |
б) x = –5 − y ; |
14 б) y = –7 + 2 16 + 6x − x 2 |
; |
||||||||||
|
в) 6x2 – 8y2 = –24 |
|
|
5 |
|
||||||||
|
|
в) –9x2 + 4y2 = 36 |
|
||||||||||
|
а) 16x2 – 9y2 – 64x – 54y – 161 = 0; |
|
а) y? – 6y + 14y + 49 = 0; |
|
|||||||||
15 б) x = 4 − y ; |
16 б) x = – 4 |
y2 + 9 ; |
|
||||||||||
|
в) x2 + 25y2 – 25 = 0 |
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
в) 4x2 + 7y2 = 28 |
|
||||||||||
|
а) x = 2y2 + 6y; |
|
а) 2x2 – 4x + 2y – 3 = 0; |
|
|||||||||
17 |
б) y = – 3 x 2 +1 ; |
18 б) x = 1 |
49 − y2 ; |
|
|||||||||
|
в) 4x2 + 9y2 = 36 |
|
7 |
|
|
||||||||
|
|
в) 9x2 – 16y2 = 144 |
|
||||||||||
|
а) x |
2 |
– y |
2 |
– 6x + 10 = 0; |
|
а) 4x2 + 9y2 – 8x – 36y + 4 = |
||||||
|
|
|
|
= 0; |
|
|
|||||||
19 |
б) y = |
|
|
− 7x ; |
20 |
|
|
||||||
|
|
б) y = – |
− 4x + 2 ; |
|
|||||||||
|
в) 9x |
2 |
+ 25y |
2 |
= 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
в) y2 – 9x2 = 9 |
|
||||||||
|
а) 16x2 + 25y2 – 32x + 50y – |
|
а) x2 – 9y2 + 2x + 36y – 44 = |
||||||||||
21 |
– 359 = 0; |
|
|
|
= 0; |
|
|
||||||
б) y = – 2x + 2 ; |
22 б) x = – − 3y ; |
|
|||||||||||
|
в) x2 – 4y2 = –16 |
|
в) 9y2 + 4x2 – 36 = 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
а) 4x2 + 3y2 – 8x + 12y – 32 = 0; |
|
а) x2 – 6x – 4y + 29 = 0; |
|
|||||||||
23 |
б) x = – 3y ; |
24 б) y = 2 |
x 2 + 9 ; |
|
|||||||||
|
в) – 5x2 + 9y2 = –45 |
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
в) 5x2 + 9y2 = 45 |
|
||||||||||
|
а) y2 – 10x – 2y – 19 = 0; |
|
|
|
|
25б) x = – 34 y2 + 16 ; в) 16x2 + y2 = 16
Завдання 4. Побудувати лінію, задану рівнянням у полярній системікоординат. Знайтиїїрівнянняудекартовійсистемі(додатня піввісь Оx співпадає з полярною віссю, полюс – з початком координат).
7
Варі- |
Рівняння |
|
ант |
||
|
||
1 |
ρ = 1 + cosϕ |
|
|
2 |
|
2 |
ρ = 3sinϕ |
|
|
|
|
3 |
ρ = cos2ϕ |
|
|
|
|
4 |
ρ = 3(1 + sinϕ) |
|
|
|
|
5 |
ρ = 2(1 – cosϕ) |
|
|
|
Варі- |
Рівняння |
|
ант |
||
|
6ρ = 3 cos2 ϕ
7ρ = 3 + sinϕ
8ρ = 2cos2ϕ
9ρ = 1 + cos2ϕ
10 ρ = 3cos22ϕ
Варі- |
|
Рівняння |
|||
ант |
|
||||
|
|
|
|
|
|
11 |
ρ = |
|
3 |
|
|
|
2 + sin ϕ |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
12 |
ρ = 2sin22ϕ |
||||
13 |
ρ = 4cosϕ |
||||
|
|
|
|||
14 |
ρ = 2 + sinϕ |
||||
|
|
|
|
|
|
15 |
ρ = |
|
1 |
|
|
|
2 + cos ϕ |
Записатирівняннязаданоїлініїуполярнихкоординатах(додатня піввісь Оx співпадає з полярною віссю, полюс – з початком координат) тапобудуватицюлінію.
Варіант |
Рівняння |
|
|
16 |
(х2 + у2) 2 = 20х3 |
17 |
(х2 + у2) 2 = 8у3 |
18 |
(х2 + у2)2 = 4(х2 – у2) |
19 |
(х2 + у2)2 = 16(х2 – у2) |
20 |
(х2 + у2) 3 = 4х2у2 |
Варіант |
Рівняння |
|
|
21 |
(х2 + у2) 2 = – 4х3 |
22 |
(х2 + у2) 2 = 18ху |
23 |
(х2 + у2) 3 = x4 |
24 |
(х2 + у2) 3 = y4 |
25 |
(х2 + у2) 3 = (х2 – у2) 2 |
Зразоквиконаннятиповогорозрахунку№1
Завдання 1. Встановити, що система рівнянь
x – 2 y + 2z = 5,
– 3x + 8 y – 10z = –25,
4x – 3y + z = 1
має єдиний розв'язок та знайти його: а) за допомогою оберненої матриці; б) заформуламиКрамера; в) заметодомГаусса.
Розв’язання
Обчислимо визначник системи:
8
1 –2 2 ∆ = – 3 8 –10 = 8 + 80 +18 – 6 – 64 – 30 = 6;
4 –3 1
∆ ≠ 0, тому система має єдиний розв'язок.
а) Матричним методом розв'язок системи знайдемо за формулою
|
|
|
|
X = А–1 Н, |
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
де X = |
y |
– матриця-стовпець невідомих; |
||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
–25 |
|
– матриця-стовпецьвільнихчленів; А–1 – матриця, обер- |
|||||
H = |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нена до матриці системи |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
–2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
–3 |
8 |
–10 |
|
|
|
|
|
A = |
. |
|||
|
|
|
|
|
4 |
–3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Оберненаматрицяіснує, оскільки∆ = detА≠ 0. Знайдемооберненуматрицю. Дляцьогообчислимоалгебраїчнідоповненняусіх елементівматриціА:
A |
= |
|
|
|
8 –10 |
|
|
= –22; |
A |
= – |
|
|
–3 |
|
|
−10 |
|
|
= –37; |
A |
= |
|
|
–3 |
8 |
|
|
= –23; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11 |
|
|
–3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
– 4 |
|
1 |
|
|
|
|
13 |
|
|
4 |
–3 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
A |
|
= – |
|
–2 |
|
2 |
|
= –4; |
A |
= |
|
1 |
|
2 |
|
= –7; |
A |
= – |
|
1 |
–2 |
|
= –5; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
–3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
4 |
–3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A = |
|
–2 |
|
2 |
|
= 4; |
A = – |
|
1 |
|
2 |
|
= 4; |
A = |
|
|
1 – 2 |
|
= 2; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
8 |
–10 |
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
–3 |
|
–10 |
|
|
33 |
|
|
|
–3 |
8 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
|
1 |
|
A11 |
|
A–1 = |
|
A |
||
|
|
|||
|
|
|
|
12 |
|
det |
A |
A |
|
|
|
|
|
13 |
Тоді
A |
A |
|
|
1 |
– 22 |
– 4 |
4 |
|
||
21 |
31 |
|
= |
|
–37 |
– 7 |
|
|
||
A22 |
A32 |
|
|
|
4 |
. |
||||
6 |
||||||||||
A |
A |
|
|
|
– 23 |
–5 |
2 |
|
||
23 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
– 22 |
– 4 |
4 |
5 |
|
|
|
– 22 |
5 |
– 4(–25) + |
4 1 |
|
–1 |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
– 7(–25) + |
|
|
|
|
|
X = y |
= |
|
–37 |
– 7 |
4 |
|
|
–25 |
|
= |
|
–37 |
5 |
4 1 |
= |
–1 . |
||||||
6 |
6 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
– 23 |
–5 |
2 |
|
1 |
|
|
|
– 23 |
5 |
– 5(–25) + |
|
|
2 |
|
||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
Отже, х = –1; у = –1; z = 2.
б) За формулами Крамера
x = ∆∆x ; y = ∆∆y ; z = ∆∆z ,
де ∆ x = |
5 |
– 2 |
2 |
= –6; |
∆ y = |
1 |
5 |
2 |
= –6; |
–25 |
8 |
–10 |
–3 |
–25 |
–10 |
||||
|
1 |
–3 |
1 |
|
|
4 |
1 |
1 |
|
|
1 |
–2 |
5 |
|
∆ z = |
–3 |
8 |
–25 |
= 12; ∆ = 6. |
|
4 |
–3 |
1 |
|
Звідси маємо: х = −66 = –1; у = −66 = –1; z = 126 = 2.
в) Метод Гауcса
Прямийхід. Виключаємоневідомізрівняньсистеми, зводячиїї дотрикутноговигляду:
x – 2 y + 2z = 5 |
(I) |
|
x – 2 y + 2z = 5 |
||
|
–3x + 8y – 10z = –25 |
+ (I) 3 |
|
|
2 y – 4z = –10 |
|
|
||||
4x – 3y + z = 1 |
+ (I) (– 4) |
|
|
5 y – 7z = –19 |
|
|
|
|
|
|
|
10