Saprikina_Analit_geometr

Мішані задачі на площину і пряму в просторі	41
Задача 2. Відомі вершини трикутника A(1; −1; 3),	B (3; − 4; 9)

і C (− 5; 11; 7). ЗнайтиканонічнірівняннябісектрисиAL внутрішньогокута привершиніA.

РІВЕНЬ В

Задача. Визначити, при яких значеннях a та b площини 2x − y +

+ 3z −1 = 0, x + 2 y − z + b = 0, x + ay − 6z +10 = 0: 1) маютьоднуспільну

точку; 2) проходятьчерезоднупряму; 3) перетинаютьсяпотрьохрізних паралельнихпрямих.

Практичне заняття № 4

Мішані задачі на площину і пряму в просторі

Короткітеоретичнівідомості

Кут α між прямою і площиною – це гострий кут між прямою та її проекцієюнаплощину. Якщопрямаіплощиназаданірівняннями x −l x0 =

=

y − y0

=

z − z0

, Ax + By + Cz + D = 0, то

m

p

sin α =

Al + Bm + Cp

A2 +B2 + C2

l2 + m2 + p2 .

(4.1)

Умова паралельності прямої та площини:

Al + Bm + Cp = 0.

(4.2)

a

n

Умова перпендикулярності:

||

A

=

B

=

C

.

(4.3)

a

n

m

l

p

42 Аналітичнагеометрія

Завдання для аудиторної роботи

РІВЕНЬ А Задача 1. Скласти рівняння площини, яка проходить через точ-

ку M 0 (− 2; 3; 0) та пряму L: x = 1, y = 2 + t, z = 2 − t.

Розв'язання. Спочатку зауважимо, що точка M 0 (− 2; 3; 0) не лежить на прямій L, отже задача має єдиний розв'язок. Пряма L проходить через точку M1 (1; 2; 2), її напрямний вектор a = (0;1; −1). Візьмемо на

площині довільну точку M (x; y; z). Оскільки вектори M0M , M0M1 та a компланарні(рис. 4.1), їхмішанийдобуток M0M × M0M1 a = 0. У ко-

x + 2

y − 3

z

= 0

ординатній формі

3

−1

2

x − 3y − 3z +11 = 0 – шукане

0

1

−1

рівнянняплощини.

a

M

Задача2. Скластипараметричнірівнян-

M1

ня

прямої,

яка проходить через точ-

l

M0

ку

A(2; 3;1)паралельноплощині x − y −1 = 0

	Рис. 4.1	і перетинаєвісьОу.	(0; y0 ; 0) – точ-
		Розв'язання. Нехай M0

ка, вякійпрямаперетинаєвісьОу, тодізанапрямнийвекторпрямоїможна взяти вектор M0 A = (2; 3 − y0 ;1). Нормальний вектор площини

x − y −1 = 0: n = (1; −1; 0). Зумови(4.2) паралельності прямоїтаплощини маємо n M0 A = 0 2 − 3 + y0 = 0 y0 = 1. Отже, шукані парамет-

ричнірівнянняпрямої: x = 2 + 2t , y = 3 + 2t ,

z = 1 + t .

Задача3. Знайтипроекціюточки M (3; − 4; − 2) наплощину, якапро-

ходить через дві паралельні прямі L :

x − 5

=

y − 6

=

z + 3

та L :

x − 2

=

1

13

1

− 4

2

13

=

y − 3

=

z + 3

.

1

− 4

Мішані задачі на площину і пряму в просторі	43
Розв'язання. З канонічних рівнянь прямих L1 і L2 маємо:		=
	a1

= a2 = (13;1; − 4) – напрямнівекторита M1 (5; 6; − 3), M 2 (2; 3; − 3) – точки, якіналежатьпершійтадругійпрямимвідповідно. Візьмемодовільну

точку M (x; y; z) на площині. Вектори M1M , M1M2 і a1 належать цій площині, тому M1M × M1M2 a1 = 0 (рис. 4.2). Рівняння площини має

	x − 5	y − 6	z + 3
вигляд	− 3	− 3	0	= 0, або x − y + 3z +10 = 0. Проекція Р точ-
	13	1	− 4	M0

киМ0 наплощину x − y + 3z +

+10 = 0 єосновоюперпендикуляра, опущеного з точки М0 на цю площину. Параметричні рівняння перпендикуляра запишемо враховую-

n
	a
P		M1
M2
L2	L1	M

чи, що M0 P || n = (1; −1; 3) :

	x = 3 + t,
	y = − 4 − t, Розв'язуючи систему
	z = − 2 + 3t.

P (2; − 3; − 5).

	Рис. 4.2
	x = 3 + t,
	y = − 4 − t,
		знайдемо
	z = − 2 + 3t,
	x − y + 3z +10 = 0,

2x + y + z + 3 = 0,

Задача4. Знайтикутміжпрямою x − y + z −1 = 0 таплощиною,

щопроходитьчерезточки M1 (0; 1; − 2) і M 2 (1; 2; 3) перпендикулярнодо

площиниOyz.

Розв'язання. З умови задачі випливає, що нормальний вектор площини n є перпендикулярним до векторів M1M2 = (1;1; 5) та i = (1; 0; 0).

44

Аналітичнагеометрія

i

j

k

= (0; 5; −1).

Отже,

=

1

1

5

Напрямний

вектор

прямої

n

1

0

0

i

2x + y + z + 3 = 0,

j

k

= (− 2; 1; 3). За

: a =

1

−1

1

формулою

(4.1)

x − y + z −1 = 0

2 1 1

шуканий кут між прямою і площиною sin α =

2

=

1

26 14

91

α = arcsin 1 .

91

РІВЕНЬ Б

Задача 1. Знайти точку Q, симетричну точці P (2; − 5; 7) відносно

прямої, що проходить через точки M1 (5; 4; 6) та M 2 (− 2; −17; − 8).

Розв'язання

1. Рівняння прямої L,

що проходить через точки M1 (5; 4; 6) та

M 2 (− 2; −17; − 8):

x = 5 + 7t, y = 4 + 21t, z = 6 + 14t.

2.Рівняння площини π , що проходить через точку P (2; − 5; 7) перпендикулярнодопрямоїL: x + 3y + 2z −1 = 0.

3.Знайдемо M0 – точку перетину прямої L і площини π :

	x = 5 + 7t,
	y = 4 + 21t,
		M 0	(3; − 2; 2).
	z = 6 + 14t,
	x + 3y + 2z − 1 = 0

Мішані задачі на площину і пряму в просторі	45

4. Оскільки точка M

0

є серединою відрізка PQ,

то 3 =

2 + xQ

;

2

− 2 =

− 5 + yQ

; 2 =

7 + zQ

Q(4;1; − 3) (рис. 4.3).

2

2

x − 3y − z + 4 = 0,

− 4 y + 3z − 2 =0

Задача2. ЗнайтиортогональнупроекціюпрямоїL: 2x

наплощину 3x + 2 y + z − 7 = 0.

Розв'язання. Шукана проекція

P

визначається перетином двох пло-

щин: заданої 3x + 2 y + z − 7 = 0 (π 1)

іплощиниπ

2, щоперпендикулярнадо

l M1

M0

M2

неї та містить задану пряму. Із за-

гальнихрівняньпрямоїL знаходимо

її напрямний вектор:

=

×

=

a

n1

n2

Q

i

π

j

k

=

1

− 3

−1

= −13i − 5

+ 2

. Одну

j

k

Рис. 4.3

2

− 4

3

з

точок

прямої

M0 (x0 ; y0 ; z0 )

знаходимо поклавши

y0 = 0:

x0 − z0 + 4 = 0,

x0 = − 2, z0 = 2

. Отже, M0 (− 2; 0; 2). На площині,

2x0

+ 3z0

− 2 = 0

щоміститьзаданупряму, візьмемодовільнуточку M (x; y; z) (рис. 4.4).

Оскільки вектори

= (x + 2; y; z − 2),

= (−13; − 5; 2)

і

= (3; 2;1)

M0M

a

n

компланарні, то

×

= 0 . Перейдемо до

координат:

M0M

a

n

46	Аналітичнагеометрія

M0

M	n

a

π1

π2

l

x + 2	y	z − 2		= 0, або 9x −19 y +
−13	− 5	2
3	2	1

+11z − 4 = 0. Шукана проекція визначаєтьсяперетиномплощин

9x −19 y +11z − 4 = 0,

3x + 2 y + z − 7 = 0.

Рис. 4.4 Задача3. Пірамідаобмеженаплощинами Оху і Oyz, площиною, що проходить через точку S (0; 0; 3) і пряму

x − 2	=	y	=	z	, а також площиною, яка проходить через точки	S (0; 0; 3)
− 4		3
			3

і A(0;1; 0) паралельно осі Ox. Скласти рівняння всіх граней піраміди, обчислитиоб'ємізобразитиїїграфічно.

Розв'язання. Рівняння площин Оху іOyz : z = 0 та x = 0 відповідно. Рівняння площини, що проходить через точку S (0; 0; 3) і пряму

x − 2

=

y

=

z

(рис. 4.5), одержуємо виходячи з компланарності векто-

− 4

3

3

рів

(точка M (x; y; z)

– довільна точка

z

SM

3

S

(2; 0; 0) належить

площини), SM0 (точка M0

прямій) і a (напрямний вектор прямої):

	A	C
3	O 1	3 y
4
4
2 3	B

xM 0

Рис. 4.5

x − 2	y	z		= 0 , або 3x + 2 y + 2z − 6 = 0.
− 2	0	3
− 4	3	3

Площина, що проходить через точки S (0; 0; 3) і A(0;1; 0) паралельно осі Ox:

Мішані задачі на площину і пряму в просторі	47

x	y	z − 3		= 0, або 3y + z − 3 = 0. Об'єм піраміди V				= 1	H ×
0	1	− 3					SABC
1	0	0						3

× S∆ ABC = 43 (куб. од.) .

Задача 4. Точка M (x; y; z) рухається прямолінійно та рівномірно з початкового положення M0 (11; − 21; 20) у напрямку вектора a =

= (−1; 2; − 2) зі швидкістю v = 12. Визначити, за який час вона пройде відрізок своєї траєкторії, що міститься між паралельними площинами

2x + 3y + 5z − 41 = 0, 2x + 3y + 5z + 31 = 0.

Розв'язання. Згідно із зауваженнями до рівнянь (3.6) (практичне за-

няття№3) законрухумаєвигляд x = 11 − λ t, y = − 21+ 2λ t,	z = 20 − 2λ t .
Оскільки швидкість v = 12, то (− λ )2 + (2λ )2 + (− 2λ )2	= 12 λ = 4

(оскільки λ > 0), азаконруху x = 11 − 4t, y = − 21 + 8t, z = 20 − 8t. Знайдемомоментчасу t1, вякийточка M (x; y; z) будезнаходитисянаплощині

2х + 3у + 5z – 41 = 0: 2(11 − 4t1 )+ 3(− 21 + 8t1 )+ 5(20 − 8t1 )− 41 = 0

t1 = 34 . Момент часу t2, в який точка M (x; y; z) буде знаходитися на площині 2х + 3у + 5z + 31 = 0: 2(11 − 4t2 )+ 3(− 21 + 8t2 )+ 5(20 − 8t2 )+

+ 31 = 0 t2 = 154 . Отже, час, за який точка M (x; y; z) пройде відрізок

своєїтраєкторіїміжплощинами2х+ 3у+ 5z – 41 = 0 та2х+ 3у+ 5z + 31 = = 0, становить t = t2 − t1 = 3.

48	Аналітичнагеометрія

РІВЕНЬ В

Задача 1. Скласти рівняння прямої L, яка паралельна прямій L0:

	x − 3y + z = 0,		x = 3 + t,
			y = −1+ 2t,
	x + y − z + 4 = 0	таперетинаєдвіпряміL1:
			z = 4t,

x

L2:

= − 2 + 3t, y = −1, z = 4 − t.

Розв'язання. Із загального рівняння прямої L0 знаходимо її напрямнийвектор a0 = (1;1; 2). Рівнянняплощиниπ 1, якапаралельнавектору a0

та містить пряму L1 має вигляд		x − 3	y +1	z		= 0 2 y − z + 2 = 0 .
		1	1	2
		1	2	4

Рівняння площини π 2, яка паралельна вектору a0			та містить пряму L2,
x + 2	y +1	z − 4
має вигляд 1	1	2 = 0 x − 7 y + 3z −17 = 0. Оскільки шу-
3	0	−1
				кана пряма нале-
	M			житьплощинамπ 1
				таπ 2 (якінезбіга-
	M2			ються), то її рів-
				няннямаєвигляд
	a
		2
a0		a1	π1		2x − z + 2 = 0,
					x −7 y	+3z −17 = 0
		M
		1		(рис. 4.6).
l0		a0
					Задача 2
		M
l1					1.	Довести,
				що найкоротшу
		l2		відстань між
				двома мимобіж-
		π2		ними прямими
Рис. 4.6					x − x1 = y − y1 =
					l1	m1

Мішані задачі на площину і пряму в просторі	49

=

z − z1

та

x − x2

=

y − y2

=

z − z2

можнаобчислитизаформулою d =

n

l

2

m

n

1

2

2

×

, де

= (l ; m ; n ),

=

a1

a2

M1M 2

=

(l

; m ; n

) і

= (x

− x ;

a

a

M

M

a1 × a2

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

2

1

y2 − y1; z2 − z1 ).

2. Знайти відстань між діагоналлю куба і діагоналлю грані, що не

перетинаєїї, якщореброкубадорівнює1.

Розв'язання

1. Вказівка. Розглянутипаралелепіпед, побудованийнавекторах a1, a2,

M1M 2 . Відстань d знайдемо як висоту цього паралелепіпеда: d = Vпар .

Sосн

2. Нехай куб розташований так, як показано на рис. 4.7. З умови

задачі випливає, що потрібно знайти							z
відстань між мимобіжними прямими ОВ
							O1			C1
та А1С. Напрямний вектор прямої ОВ:
a1 = (1;1; 0). Напрямний вектор пря-					А1 (1; 0;1)			B1
моїА1С: a2 = (−1;1; −1). Крімтого A1B =							O			С (0; 1; 0)
= (0; 1; −1)	– вектор,			що з'єднує точки,							y
які належать			цим	прямим. Отже,	A			В(1; 1; 0)
d = a1 × a2 A1B1					x
			= 1 .				Рис. 4.7
a ×	a	2	6
1
		Завдання для самостійного розв'язання
				РІВЕНЬ А
Задача 1. При якому значенні λ прямі					x + 2	=	y	= z −1	і	x − 3	=
					2		− 3	4		λ

= y 4−1 = z −2 7 перетинаються? Скласти рівняння площини, яка містить ціпрямі.

50

Аналітичнагеометрія

Задача2. ЗнайтиточкуQ, якасиметричнаточці P (3; − 4; − 6) віднос-

но площини, що проходить через точки M1 (− 6; 1; − 5),

M 2 (7; − 2; −1)

і M3 (10; − 7;1).

Задача 3. Скласти рівняння прямої, яка лежить у площині x + z = 0

і перетинаєпряму

x − 2

=

y − 8

=

z − 3

, аленемаєспільнихточокзпря-

3

11

2

мою x = 1 + t, y = 3 + 4t,

z = −1− t.

Задача 4. При яких значеннях l, В і С пряма

x − 5

=

y − 7

=

z +1

l

− 3

4

одночасноперпендикулярнадоплощини 3x − 2 y + Cz +1 = 0 тапаралельнаплощині 2x + By − 7z −13 = 0 ?

РІВЕНЬ Б Задача 1. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точ-

ку A(1; 1;1) та перетинає дві прямі:

x +1

=

y −1

=

z

x − 2

=

y + 2

=

z

і

.

2

1

3

3

2

1

Задача 2. Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через

точку M0

(3; − 2; − 4) паралельноплощині 3x − 2 y − 3z − 7 = 0 таперети-

нає пряму

x − 2

=

y + 4

=

z −1

.

3

− 2

2

Задача 3. Призма обмежена площинами Оху і Охz, площиною, що проходитьчерезточку A(1; 3; 2) перпендикулярнодоосіOy, площиною, яка проходить через вісь Oy і точку B (1; 0; 1), та площиною, що прохо-

дитьчерезпряму	x −1		=	y − 5	=	z −1	паралельноосіOy. Скластирівнян-
	2			− 5
					2

нявсіхгранейпризми, знайтиоб'ємізобразитиїїграфічно. РІВЕНЬ В

Задача 1. Написати рівняння спільного перпендикуляра до прямих

x + 7

=

y − 4

=

z − 4

(L ) і

x −1

=

y + 8

=

z +12

(L

).

3

− 2

3

1

1

2

−1

2