2. Физико-математическая классификация дифференциальных уравнений в частных производных

Многие задачи технической физики сводятся к дифференциальным уравнениям в частных производных. Поскольку методы решения⁹ дифференциальных уравнений различных типов имеют особенности, исследователю необходимо иметь четкое представление о классификации уравнений в частных производных.

При рассмотрении задач технической физики зависимая переменная Ф, как правило, является функцией трех пространственных координат (x,y,z) и времени t: Ф=Ф(х,у,z,t). Если искомая функция Ф не зависит от времени, задача называется стационарной, в противном случае – нестационарной. Задача, в которой искомая функция Ф зависит только от одной пространственной координаты, называется одномерной (1D). Если искомая функция зависит от двух пространственных переменных, задача называется двумерной (2D), если от трех пространственных переменных – трехмерной (3D).

Линейной системой дифференциальных уравнений называется система таких уравнений, в которые неизвестные функции и их производные входят линейно. В частности, следует отметить, что уравнения динамики вязкой жидкости (1, 3, 4) – нелинейные.

Система уравнений Эйлера (5) и основная система уравнений теории упругости (7) – линейные. Весьма важным является то обстоятельство, что для линейных систем (в отличие от нелинейных) доказан факт существования и единственности решения.

Однако, в тех случаях, когда выдвинутые гипотезы⁹ нельзя считать справедливыми, система уравнений, описывающая напряженное состояние тела, становится нелинейной, что резко усложняет процедуру получения решения. Так, в частности, отказ от гипотезы физической линейности, вынуждает нас использовать вместо системы уравнений (7) нелинейные уравнения теории пластичности. Если возникающие в теле деформации нельзя считать малыми, по сравнению с размерами тела, то вместо системы уравнений (7) приходится использовать нелинейные уравнения теории упругости.

Математическую классификацию уравнений в частных производных второго порядка обычно рассматривают на примере двумерного линейного стационарного уравнения:

(8)

где a(x,y), b(x,y), c(x,y), d(x,y), e(x,y), f(x,y), g(x,y) – известные функции координат х и у.

Дифференциальное уравнение (8) называется гиперболическим в области D={x_min<x<x_max, y_min<y<y_max} если во всех точках этой области определитель уравнения Δ(x,y)=b²-4·a·c>0. Уравнение (8) называется параболическим в области D, если в этой области Δ(x,y)=b²-4·a·c=0. Если же в области D значения определителя Δ(x,y)=b²-4·a·c<0, то уравнение (8) называется эллиптическим.

Вопрос о классификации систем дифференциальных уравнений представляется более сложным, поскольку в состав системы могут входить уравнения различного типа. Тем не менее, в качестве примера, можно указать, что, в случае движения несжимаемой жидкости, системы уравнений Навье-Стокса (1) и Рейнольдса (3) являются эллиптическими, а система уравнений Прандтля (4) относится к смешанному параболическо-гиперболическому типу. Рассматривая установившееся движение невязкой сжимаемой жидкости можно показать, что если скорость течения меньше скорости звука, то система уравнений будет эллиптической, а при скорости, превосходящей скорость звука, ‑ гиперболической.

Для того чтобы пояснить физический смысл приведенной классификации, следуя Патанкару [старый добрый Патанкар], введем понятия односторонних и двухсторонних координат.

Рассмотрим некоторую координатную линию L={x_min<x<x_max; y=const}. Если для любой точки координатной линии х₀L значения искомой функции Ф(х₀) зависят только от значений функции Ф(х^*, х^*< х₀) (т.е. от значений Ф в точках, находящихся слева от точки х₀), то координатная линия называется односторонней. Естественным примером односторонней координаты является время. Под воздействием “сильного” (напр., сверзвукового) течения жидкости вдоль координатной линии пространственная координата также может стать практически односторонней. Таким образом, для нахождения функции Ф(х), зависящей от односторонней координаты, в качестве начального условия достаточно задать её значение на границе, находящейся выше по потоку, Ф(х_min)¹⁰. Задачи, связанные с нахождением функций, зависящих от односторонних координат, называются маршевыми (эволюционными).

Координатная линия называется двухсторонней, если значения искомой функции в некоторой точке Ф(х₀), зависят от значений функции в точках, находящихся по разные стороны от точки х₀. Примером функции, зависящей от двухсторонней координаты, может служить закон распределения температуры по длине стержня, нагреваемого с двух сторон. Проблема отыскания функции, зависящей от двухсторонней координаты, сводится к рассмотрению граничной задачи, для решения которой должны быть заданы значения искомой функции на границах интервала Ф(х_min) и Ф(x_max)¹¹.

Математические термины параболический и эллиптический соответствуют концепциям односторонних и двухсторонних координат [Патанкар]. Первый термин означает одностороннее поведение, второй – двухстороннее. Особенность гиперболических задач заключается в том, что они, так же как и параболические, имеют одностороннее поведение, но не вдоль координатных направлений, а вдоль специальных линий, именуемых характеристиками.