vsshaya_matematika__chast__1

8 3x

2

3

158.

а) y

;

б) y 8cos

x sin2

x ; в)

y earcsin 1 8x ;

x

2

3x 4

5 x2

д) y 8 x 1 arctg

г) y ln 8

;

x

.

x3 15x

б) y 9

9x 3

3

159.

а) y

;

arccos 2 x

1

4x

2

;

x

3

9x 1

2

в) y 9lnarcsin

;

г) y ln 9

1 x2

;

д) y ctg9x sin9x .

x3 3x

x

160.

а) y

10 x3

;

б)

y 10arcctg3 x arcctg3x 4

;

в) y lntg

1

;

x4

8x

x

г)

y ln 3

10 3x2

; д)

x3 10x

161–170. Найти

dy

и

d 2 y

.

dx

dx2

161.

а) sin x arctg y 0;

б)

x t lnt,

y 3t 2 2t 3 .

163.

а) y 3 x ex

0;

б)

x arcsint,

3t t 3 .

y

165.

а) ln

ctg x 0;

5y 1

б)

x cos2 t,

y 5sin3 t.

167.

а) 7x sin7x y 2

0;

x arctg7t,

б)

y ln 1 49t 2 .

169.

а) ey x ln x 1 0;

x 9 sint t cost ,

б)

9 cost t sint .

y

y x ln x 1 x .

162.	а) x2 y 2 2y 0;
	б)	x 2 tgt,
		y 2 cost .
164.	а)					x ln x 0;
			4y 6
	б)	x ctgt,
		y 4 cos2 t .
166.	а) 6							x2	2x 0;
					4y 3
	б)	x 2cos2 t,
		y 6sin3 t.
168.	а) 8						tg x 0;
					4y 5
	б)	x 2t sin2t,
		y 8sin3 t.
170.	а) 10 x2 ex ey								0;
		x 10 t sint ,

б)

y 10 1 cost .

29

171–180. Вычислить приближенно с помощью дифференциала, со-

храняя два верных знака после запятой.

171.

172.

а) y 4 5x4

2x 3, x 1,92;

а) y 4 8x2 6x 9, x 2,88;

б) sin31 .

б) ctg42 .

173.

174.

а) y 3 3x2

8x 16, x 3,94;

а) y 4 x3

6x 7, x 4,06;

б) sin33 .

б) ctg44 .

175.

176.

а) y

5x2

4x 1,

x 5,08;

а) y 5 x2

2x 8, x 6,16;

б) cos59 .

б) tg46 .

177.

178.

а) y

3x2

6x 5,

x 7,05;

а) y 3 2x2 2x 13, x 8,15;

б) tg47 .

б) cos58 .

179.

180.

а) y

3x2

5x 2,

x 9,08;

а) y 3 x3

3x2 8, x 0,03;

б) cos91 .

б) sin29 .

181–190. Найти точки пересечения кривых и углы между кривыми в точках их пересечения. Сделать чертеж.

	181.	y	8		, x2 2x y 2		11 0.	182. y		8			, x2 4x y 2		8 0.
				x 1						x 2
	183.	y	8			, x2 6x y 2	3 0.	184. y		8			, x2 8x y 2		4 0.
				x 3						x 4
	185.	y	8		, x2 10x y2		13 0.	186. y		8	, x2 12x y2				24 0.
			x 5							x 6
	187.	y	8		, x2 14x y2		37 0.	188. y		8	, x2 16x y2				52 0.
			x 7							x 8
	189.	y	8		, x2 18x y2		69 0.	190. y		8				, x2 20x y2	88 0.
			x 9
										x 10

30

191–200. Разложить по формуле Тейлора функцию f (x) 1 в точке x0 . x

191.	x0	1.	192.	x0	2 .	193.	x0	3 .	194.	x0	4 .
195.	x0	5 .	196.	x0	6 .	197.	x0	7 .	198.	x0	8 .
199.	x0	9 .	200.	x0	10 .

Контрольная работа № 5

Приложения производной

201–210. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

201.

lim

x ln(x 1)

.

202.

lim

x2 cos2x 1

.

1 cos x

1 x ex

x 0

x 0

cos x 2x x 1 2

204.

e2 x 2x 1

203.

lim

.

lim

.

ln(x 1) sin x

x3 0,5x2

x 0

x 0

205.

5x

2 3x3

x4 3x

2

lim

.

206.

lim

.

x 1

2

x 0

sin2x 1

x 0 ln(x 1) sin x

207.

3x2 cos x 1

208.

3x3 4x2

lim

.

lim

.

x 0

ex x 1

x 0 x 1 ex

209.

lim

cos3x 1

.

210.

lim

5x2 2x3

.

x 0 ln(x 1) x

x 0 sin x ln(x 1)

211–220. Составить уравнение касательной и нормали к графику

функции в точке с абсциссой x0 .
201. f (x)		5		ln x ,	x0 1.	202. f (x)	ex	cos x ,	x0 0.
	5 x2					0,5

203.f (x) arcsin x 2ex , x0 0. 204. f (x) cos x 5ctgx , x0 2.

205.f (x) 3ex 2arcsin x, x0 0. 206. f (x) 5 5x3 3ln x, x0 1.

207.	f (x) 3ln x	4	,	x0 1.		208.	f (x) 3sin x 5arcsin x, x0			0.
		x
209.	f (x) 5 tg x 4 sin x , x0				.	210.	f (x)		9ln x , x0 1.
								4x

31

221–230. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [a;b].

221.	f (x)	e ln x	,			[1;e2 ].
		x
223.		x
	f (x) 3 cos												, [0;2].
					2					4
225.	f (x)	arcsin(2x x2 )												, [0;2].
		0,1
227.	f (x) 7ex2 2x 1,								[0;3].
229.						3			2					1
	f (x)	x 2							,						;3	.
							x							2

222.	f (x)	4x 2								1
								,			;4		.
			x		2					2
224.	f (x)	x2 4						,	[1;3].
			x
226.		3x 3								1
	f (x)							,			;4		.
										3
					x
228.	f (x) 2x2 4x 7 ,									[1;4].
230.
	f (x)		(x 1)2 1, [ 1;2].

231–240. Провести полное исследование функции и построить график.

231. f (x)

233. f (x)

235. f (x)

237. f (x)

239. f (x)

x3

(x 2)2 .

x2 x . x 2 x3

6 2x2 .

(x 1)2 . 2 x

x3

(x 1)2 .

232. f (x)	x3
			.
	x2
		3

234.f (x) (x 1)2 . x 1

236. f (x)	2x3	.
	2
	(x 1)

238.f (x) (x 2)2 . x 3

240. f (x) x3 x2 . (x 1)2

241–250. Даны три населённых пункта A , B и C , причём ABC 60 и AB S км. Из пункта A в пункт B выезжает автомобиль, движущийся со скоростью v1 км/ч; одновременно с ним из пункта B в пункт C выез-

жает поезд со скоростью v2 км/ч. В какой момент времени (от начала

движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим? Сделать чертёж.

	S	v1	v2		S	v1	v2
241.	200	80	50	242.	220	88	55
243.	260	104	65	244.	160	64	40
245.	320	128	80	246.	300	120	75
247.	140	56	35	248.	240	96	60
249.	280	112	70	250.	180	72	45

32

Контрольная работа № 6

Интегральное исчисление

251–260. Найти неопределенные интегралы. В а), б), в) результат проверить дифференцированием.

251.а)

в)

г)

253.а)

в)

г)

255.а)

в)

г)

257.а)

в)

г)

259.а)

в)

г)

1

2

x

sin х

dx; б)

dx;

cos2

x

x

(5x 6)cos2xdx;

(4x2 5x 6)dx

.

(x 1)(4x2

4x 5)

2

1

cos х

3x

dx; б)

dx;

3 sin х

x

(3x 2)cos5xdx;

(x2 6x 7)dx

(x 3)(x2 5x 4).

sin2x

x 3x dx; б)

54

dx;

1 cos2 x

(2x 5)cos 4xdx;

(9x2 7x 3)dx

.

(x 5)(9x2 6x 2)

x

2

7

dx; б)

cosxsinхdх;

3x

(2x 5)cos3xdx;

(x2 5x 12)dx

(x 7)(x2 4x 5).

arctgx

9 x x dx; б) 1 х2 dx;

(4x 3)cos5xdx;

(x2 3x 12)dx

(x 9)(x2 4x 3).

252.а)

в)

г)

254.а)

в)

г)

256.а)

в)

г)

258.а)

в)

г)

260.а)

в)

г)

			2x	1					4xdx
						dx; б)					;
				x	2
									3 2x2

(2 5x)sin2xdx;

(x2 3x 3)dx

(x 2)(x2 2x 5).

4 3x dx; б) е х2 xdx;

(4x 7)sin3xdx;

		(4x2 13x 21)dx						.
(x 4)(4x2 12x 25)
		6		4x	3		(ln x)2
					dx; б)				dx;
			3				x
	x

(8 3x)sin5xdx;

(4x2 13x 4)dx

(x 6)(4x2 12x 10).

8 sin x x dx; б) хdxln х ;

(2 3x)sin 2xdx;

(x2 5x 2)dx

(x 8)(x2 6x 10).

xdx

10x cos x dx; б) 3х2 4;(7x 10)sin 4xdx;

(2x2 x 5)dx

(x 10)(2x2 2x 5).

33

261–270. Вычислить определенные интегралы.

	4													8															3										4
					dx											3 xdx																xdx										xdx
													262.																									264.
261.										.															.			263.									.									.
		1 x													1			3				x	2							1										1 x
	1													0															0					x 1					0
	7													5															3										6
						dx												dx													dx											x	2
265.												.	266.														.	267.							.			268.										dx.
		3													1
	0				x 1 1									2					х 1										0	3 x 1									2	1 x 2
	12					xdx								27				3
																						x
269.													. 270.													dх.
																3
						x 4 2											x		2			2
	3													8

271–280. Вычислить: а) площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми; б) объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Выполнить чертежи.

271.	а) у x2	4x 4 ,	y 1;
272.	а) у x2	6x 2 ,	y 2;
273.	а) у x2	8x 10,	y 3;
274.	а) у x2	10x 20 , y 4;
275.	а) у x2	2x 3,	y 5;
276.	а) у x2	8x 13,	y 6;
277.	а) у x2	6x 7 ,	y 7;
278.	а) у x2	4x 3 ,	y 8;

б) у 1 2cos x,

y 0,

0 x

.

2

б) у 1 2cos x,

y 0,

0 x

.

2

б) у 1 2sin x,

y 0,

0 x

.

2

б) у 1

2sin x,

y 0,

0 x

.

2

б) у 1 3cos x,

y 0,

0 x

.

2

б) у 1

3cos x,

y 0,

0 x

.

2

б) у 1

3 sin x,

y 0,

0 x

.

2

б) у 1

3 sin x,

y 0,

0 x

.

2

34

279.	а) у x2	2x 1,	y 9;	б) у 1	sin2x,	y 0,	0 x			.
							2
280.	а) у x2	2x 2,	y 10;	б) у 1	cos2x,	y 0,	0 x				.
							2

281–290. Решить задачи с применением определённого интеграла.

1)Скорость движения точки изменяется по закону v=v(t). Найти путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.

2)В спокойном состоянии пружина имеет длину 20 см. Сила в 50 Н растягивает пружину на 1 см. Найти работу, которую нужно произвести, чтобы растянуть пружину от a до b см.

3)Треугольна пластинка с основанием a см и высотой b см погружена вертикально в воду так, что её вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Найти силу давления воды на пластинку.

	v(t)	a	b		v(t)	a	b
281.	6t 6t 2	21	42	282.	6t 3t 2	22	44
283.	18t 6t 2	23	46	284.	12t 3t 2	24	48
285.	30t 6t 2	25	50	286.	18t 3t 2	26	52
287.	42t 6t 2	27	54	288.	24t 3t 2	28	56
289.	54t 6t 2	29	58	290.	30t 3t 2	30	60

291–300. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

			dx					1			dx							xdx							6		dx
291. а)						;	б)								.	292. а)						;	б)								.
																										3
		x	2							1 x			2					2
0			2x 1					0								0		x		1					2		x 2
			xdx				1			dx									dx								2		xdx
293. а)				;			б)						.			294. а)								;	б)								.
	x	2							(x 1)			2					x	2
																													2
0		4x 8					1									0			2x 3								1		x 1

35

				xdx										1 dx													dx						e		dx
295. а)								;	б)												.		296.	а)					;	б)										.
																		x		2						x	2							xIn			2
		x	2		2x
0						1								0											0			1					1						x
													1															dx							1				xdx .
			xdx									2								dx			298.	а)						;			б)
																									0										0
297. а) 0						;			б)			0										.
																										x2		x 1									1 x4
	x2 4x 5														(2x 1)2
	xdx					1			3x	2							2
																												dx							4			cos xdx
299. а)					; б)															dx.
																							300.	а)	0						;		б)			0						.
	x	2	4						3
											x			2
0						0																				x2		x 1											sin2 x

36

		БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.	Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной ал-
гебры / Д. В. Беклемишев. – М.: Физматлит, 2006
2.	Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа /
Г. Н. Берман. – СПб.: Профессия, 2008
3.	Бермант, А. Ф. Краткий		курс	математического		анализа	/
А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. – СПб.: Лань, 2006
4.	Бугров, Я. С.	Дифференциальное		и	интегральное	исчисление	/
Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М.: Дрофа, 2007
5.	Бугров, Я. С.	Линейная	алгебра	и	аналитическая	геометрия	/
Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М.: Наука, 1984
6.	Данко, П. Е.	Высшая математика		в	упражнениях	и задачах	/
П. Е.	Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Айрис-пресс, 2008.						–

Ч.I

7.Демидович, Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / под ред. Б. П. Демидовича. – М.: Наука, 1978

8.Ефимов, В. В. Сборник задач по математике для втузов / под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. – М.: Наука, 1986

9. Клетеник, Д. В. Сборник задач по	аналитической геометрии	/
Д. В. Клетеник. – СПб.: Профессия, 2006
10. Минорский, В. П. Сборник задач	по высшей математике	/

В.П. Минорский. – М.: Физматлит, 2008

11.Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов / Н. С. Пискунов. – М.: Интеграл-пресс, 2009. – Т. I

12.	Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике
/ Д. Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2006
13.	Шестаков, А. А. Курс высшей математики / А. А. Шестаков,

И.А. Малышева, Д. П. Полозков. – М.: Высшая школа, 1987

14.Шипачев, В. С. Курс высшей математики / В. С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 1985

15. Шнейдер, В. Е. Краткий курс высшей математики. Т. I / В. Е. Шнейдер, А. И. Слуцкий, А. С. Шумов. – М.: Проспект, 2005

37

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………….. 3

1.ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ…………………………… 5

2.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ……………………………………………. 7

3.ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ……………………….. 18 Контрольная работа № 1. Линейная алгебра………………….. 18

Контрольная работа № 2. Аналитическая геометрия…………		20
Контрольная работа № 3.	Введение в математический
анализ…………………………………………………………………. 23
Контрольная работа № 4.	Производная и дифференциал…..	28
Контрольная работа № 5.	Приложения производной…………	31
Контрольная работа № 6.	Интегральное исчисление…………	33
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………………………………...		37

38