vsshaya_matematika__chast__1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Забайкальский институт железнодорожного транспорта

Кафедра ¬Высшая математика и прикладная информатика±

М. В. Серёгина Л. В. Васяк Т. Э. Носальская

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Часть 1

Методические указания по выполнению контрольных работ

Чита

2010

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Забайкальский институт железнодорожного транспорта

Кафедра ¬Высшая математика и прикладная информатика±

М. В. Серёгина Л. В. Васяк Т. Э. Носальская

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Часть 1

Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов 1 курса заочной формы обучения инженерно-технических специальностей

Чита

2010

УДК 517 ББК В 11 C 32

Рецензент:

доцент кафедры ¬Фундаментальная и прикладная математика, теория и методика обучения математике± Забайкальского государственного гуманитарно-педагогического университета, канд. физ.-мат. наук

А. А. Забелин

Серёгина, М. В.

C 32 Высшая математика: метод. указания по выполнению контрольных работ для студентов 1 курса заочной формы обучения инженерно-технических специальностей. Часть 1 / М. В. Серёгина, Л. В. Васяк, Т. Э. Носальская. – Чита: ЗабИЖТ, 2010. – 38 с.

В работе приведены вопросы для самоподготовки, методические указания и задания к контрольным работам.

½ Забайкальский институт железнодорожного транспорта (ЗабИЖТ), 2010

План 2010 г.

Серёгина Марина Валерьевна, Васяк Любовь Владимировна,

Носальская Татьяна Эдуардовна

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Часть 1 Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов 1

курса заочной формы обучения инженерно-технических специальностей

***

Редактор О. Б. Кузнецова Подписано в печать 25.08.2010 г. Печать офсетная. Бумага тип. № 2.

Формат 60х84/16. Печ. л. 2,21. Тираж 400. Цена руб. коп.

***

672040, г. Чита, ул. Магистральная, 11, ЗабИЖТ

ВВЕДЕНИЕ

Математика является основой естественнонаучного знания инженера и имеет важное значение для успешного изучения и усвоения общетеоретических и специальных дисциплин, которые предусмотрены учебными планами различных специальностей.

Изучение математики интеллектуально обогащает студента, развивая в нем необходимую для будущего инженера гибкость и строгость мышления. В результате изучения математики у студентов развивается логическое и алгоритмическое мышление; они овладевают основными методами исследования и решения математических задач; кроме того, у студентов формируются умения самостоятельно расширять математические знания, правильно ориентироваться в практических заданиях, проводить математический анализ прикладных (инженерных) задач и применять математические знания для решения задач, связанных с будущей специальностью.

Настоящие указания предназначены для студентов-заочников инже- нерно-технических специальностей и содержат общие рекомендации по самостоятельной работе над курсом высшей математики, вопросы для самоподготовки и контрольные задания (десять вариантов) по следующим темам: элементы линейной алгебры; элементы аналитической геометрии на плоскости; элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве; введение в анализ (функция, теория пределов, непрерывность функции); производная и дифференциал; приложения производной; неопределенный интеграл; определенный интеграл и его приложения.

В соответствии с учебным планом студенты первого курса заочной формы обучения выполняют 6 контрольных работ. Работы № 1, 2, 3 выполняются в первом семестре, работы № 4, 5, 6 – во втором семестре первого курса.

Каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны номер контрольной работы, название дисциплины, группа, фамилия и инициалы студента, полный шифр зачетной книжки, дата отправки в институт. Вариант контрольных работ совпадает с последней цифрой учебного шифра. Номера задач для соответствующего варианта даны в таблице.

Решения всех задач и пояснения к ним должны выполняться самостоятельно, быть достаточно подробными и приводиться в последовательности, представленной в данной работе. При этом условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением. Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно и четко с указанием единиц масштаба, координатных осей и других элементов чертежа. Пояснения к задачам должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на

3

чертеже. Все вычисления, если не указано иного, не должны содержать приближенные значения. В конце каждой задачи должен быть записан ответ. Для замечаний преподавателя необходимо на каждой странице оставлять поля шириной 3–4 см.

Таблица

Номер		Номера задач для контрольных работ в первом семестре
вари-
			№ 1					№ 2					№ 3
анта
1	1	11	21	31	41	51	61	71	81	91	101	111	121	131	141
2	2	12	22	32	42	52	62	72	82	92	102	112	122	132	142
3	3	13	23	33	43	53	63	73	83	93	103	113	123	133	143
4	4	14	24	34	44	54	64	74	84	94	104	114	124	134	144
5	5	15	25	35	45	55	65	75	85	95	105	115	125	135	145
6	6	16	26	36	46	56	66	76	86	96	106	116	126	136	146
7	7	17	27	37	47	57	67	77	87	97	107	117	127	137	147
8	8	18	28	38	48	58	68	78	88	98	108	118	128	138	148
9	9	19	29	39	49	59	69	79	89	99	109	119	129	139	149
0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150
Номер		Номера задач для контрольных работ во втором семестре
вари-
			№ 4					№ 5					№ 6
анта
1	151	161	171	181	191	201	211	221	231	241	251	261	271	281	291
2	152	162	172	182	192	202	212	222	232	242	252	262	272	282	292
3	153	163	173	183	193	203	213	223	233	243	253	263	273	283	293
4	154	164	174	184	194	204	214	224	234	244	254	264	274	284	294
5	155	165	175	185	195	205	215	225	235	245	255	265	275	285	295
6	156	166	176	186	196	206	216	226	236	246	256	266	276	286	296
7	157	167	177	187	197	207	217	227	237	247	257	267	277	287	297
8	158	168	178	188	198	208	218	228	238	248	258	268	278	288	298
9	159	169	179	189	199	209	219	229	239	249	259	269	279	289	299
0	160	170	180	190	200	210	220	230	240	250	260	270	280	290	300

Выполненные контрольные работы предоставляются на регистрацию и дальнейшее рецензирование до начала экзаменационной сессии. В случае незачета контрольной работы студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования преподавателя и предоставить работу на повторное рецензирование. При этом все исправления выполняются в конце тетради в работе над ошибками.

Студент допускается к экзамену тогда, когда все контрольные работы зачтены. Если в процессе изучения материала или при решении той или иной задачи у студента возникают вопросы, на которые он не может ответить сам, то можно обратиться к преподавателю для получения консультации.

4

1.ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

1 семестр

Линейная алгебра

1.Комплексные числа. Геометрическое истолкование комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра.

2.Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка.

3.Матрицы. Действия над матрицами. Обратная матрица.

4.Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы методами Крамера, Гаусса, методом обратной матрицы.

Аналитическая геометрия

1.Векторы. Линейные операции над векторами. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Базис. Разложение вектора по базису. Действия над векторами в координатной форме. Длина (модуль), направляющие косинусы вектора.

2.Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов. Геометрическое истолкование произведений векторов. Угол между векторами, условие коллинеарности, компланарности векторов.

3.Прямая линия на плоскости, основные виды уравнений. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

4.Плоскость, основные виды уравнений. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

5.Прямая линия в пространстве, основные виды уравнений. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

6.Взаимное расположение плоскости и прямой. Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

7.Общее уравнение кривых второго порядка. Канонические формы уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Их геометрические свойства.

8.Поверхности второго порядка. Канонические формы уравнений. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.

9.Полярные координаты, их связь с декартовыми. Построение точек

икривых в полярной системе координат.

5

Введение в математический анализ

1.Понятие функции. Способы задания функции. Свойства функции.

2.Числовая последовательность, предел числовой последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы функции. Предел функции в точке.

3.Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними, свойства бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.

4.Определения непрерывности функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва функций. Классификация точек разрыва.

2 семестр

Производная и ее приложения

1.Понятия приращения аргумента и приращения функции. Определение производной, ее физический и геометрический смысл. Основные правила дифференцирования функций. Производная сложной функции.

2.Производная параметрически заданной функции, неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.

3.Дифференцируемость функций. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

4.Производные и дифференциалы высших порядков. Физический смысл производной второго порядка.

5.Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

6.Формула Тейлора. Приложения формулы Тейлора.

7.Условия возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

8.Общая схема исследования функции. Построение графика.

Интегральное исчисление

1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Простейшие приемы интегрирования.

2.Замена переменной в неопределенном интеграле, интегрирование по частям.

3.Интегрирование рациональных дробей, иррациональных функций

итригонометрических выражений.

4.Определенный интеграл. Задачи, приводящие к определенному интегралу. Геометрический и механический смысл определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Формула НьютонаЛейбница.

6

5.Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям.

6.Несобственные интегралы I и II рода, их свойства и вычисление.

7.Применение определенных интегралов в геометрии и физике: вычисление площади, объема и площади поверхности тела вращения, длины дуги, пройденного пути, работы силы и др.

2.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Рассмотрим примеры решения некоторых задач.

	Пример 1. Дано	комплексное число a		8		. Требуется:
				3 i
	1) записать число a	в алгебраической, тригонометрической и показа-

тельной формах; 2) найти все корни уравнения z5 a 0 и изобразить их на комплексной плоскости.

Решение: 1) алгебраическая форма комплексного числа: a x y i , где x – действительная, y – мнимая части комплексного числа; тригонометрическая форма: a r cos i sin ; показательная форма: a r ei , где r – модуль, – аргумент комплексного числа.

					x
			cos				,
					r
Справедливы следующие формулы: r	x2 y 2 ,
				y
			sin	r		.

Все значения корня n-й степени из комплексного числа находятся по

формуле Муавра

2 k

2 k

k

n r cos

i sin

,

где k 0, n 1.

n

n

Для того чтобы представить число в алгебраической форме, умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю:

							8		i				8				i		8		i
		8						3								3				3
a																						2 3 2i .
		3 i				3 i 3 i									2 i 2					4
														3

7

Найдём модуль и аргумент числа a :

r 23 2 22 12 4 16 4 – модуль.

										2		3																		3
cos															,				cos												,												5
											4																	2																				– аргумент.
								2																	1																	6
sin											;								sin									;
								4																	2
Тогда a								4								5			i sin					5						– тригонометрическая форма;
												cos
																6							6
					5				i		– показательная форма комплексного числа a ;
a 4 e 6
2) найдём корни уравнения z5 a 0 , т. е. все значения z 5																																																												.
																																																										a
		5												5 6								5 6										5
0			4					cos										i sin															4		cos									i				sin					,
													5												5																6
																																																		6
		5											5 6 2																5 6 2												5									17							17
1			4 cos																		i		sin																			4					cos								i sin							,
																5																5																				30							30
		5												5 6 4																5 6 4											5											29							29
2			4					cos													i			sin																		4				cos									i	sin								,
																5																5																				30							30
		5												5 6 6																5 6 6											5											41							41
3			4					cos													i			sin																		4				cos									i	sin								,
																5																5																				30							30
		5												5 6 8																5 6 8											5											53							53
4			4					cos													i			sin																		4				cos									i sin								.
																5																5																				30							30
Изобразим												корни							уравнения												точками								на							комплексной										плоскости

(рис. 2.1).

8

Рис. 2.1. Корни уравнения z5 − a=0