17 Евклидово пространство

Неравенство треугольника

Используя теорему, можно доказать следующее соотношение, называемое

неравенством треугольника:

jx + yj 6 jxj + jyj:

(5)

Название этого неравенства объясняется тем, что оно обобщает известный факт из элементарной геометрии, также называемый неравенством треугольника: сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны. Доказывается неравенство треугольника просто. Используя теорему 1 и тот факт, что xy 6 jxyj (поскольку t 6 jtj для любого действительного числа t), имеем

jx + yj2 = (x + y)(x + y) = xx + xy + yx + yy = jxj2 + 2xy + jyj2 6

6 jxj2 + 2jxyj + jyj2 6 jxj2 + 2jxj jyj + jyj2 = (jxj + jyj)2:

Мы видим, что jx + yj2 6 (jxj + jyj)2. Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратный корень, получаем неравенство (5).

Б.М.Верников

Лекция 17: Евклидово пространство

Расстояние между векторами

Определение

Расстоянием между векторами x и y в евклидовом пространстве называется длина вектора x y. Оно обозначается через (x; y).

Отметим, что приведенное определение естественно. В самом деле, предположим, что в качестве евклидова пространства выступает обычное пространство с обычным скалярным произведением векторов. Представим себе, что все векторы откладываются от начала координат, и отождествим вектор с точкой, являющейся его концом. Тогда расстояние между двумя точками есть длина вектора, соединяющего их концы, т. е. длина разности векторов, соответствующих этим двум точкам (см. рис. 1).

		6A
		@		AB	=	~x	~y	= (~x;~y)
		s
		~y @j		j	j		j
			@
				@
		s		1sB-
		~x

Рис. 1

Б.М.Верников

Лекция 17: Евклидово пространство

Еще одно неравенство

Если x, y и z произвольные векторы, то

(x; y) + (y; z) > (x; z):

(6)

В самом деле, используя неравенство треугольника, имеем

(x; z) = jx zj = j(x y) + (y z)j 6 jx yj + jy zj = (x; y) + (y; z):

Неравенство (6) можно рассматривать как еще одно обобщение упоминавшегося выше неравенства треугольника из элементарной геометрии.

Б.М.Верников

Лекция 17: Евклидово пространство

Расстояние между точками

В обычном пространстве координаты вектора, отложенного от начала координат, совпадают с координатами точки, в которой этот вектор заканчивается. По аналогии, при рассмотрении евклидовых пространств нередко вместо слов ¾вектор с координатами (x1; x2; : : : ; xn)¿ говорят о точке с координатами (x1; x2; : : : ; xn). В частности, это позволяет говорить не о расстоянии между векторами, а о расстоянии между точками в евклидовом пространстве. Кроме того, становится возможным использовать для евклидовых пространств такие геометрические термины, как длины сторон или величины углов треугольника и т. п. Пусть A, B и Cточки в евклидовом пространстве, соответствующие векторам a, b и c соответственно. Тогда длина стороны AB в 4ABC это, естественно, расстояние между точками A и B, т. е. длина вектора a b. Исходя из аналогии с обычным пространством, за внутренний угол при вершине A в 4ABC принимают угол между векторами b a и c a. Длины других сторон и величины других углов в 4ABC определяются аналогично.

Б.М.Верников

Лекция 17: Евклидово пространство