13 Пространство решений О.СЛУ

Базис пересечения подпространств: пример (1)

Приведем пример. Пусть M1 и M2 подпространства в R4, порожденные векторами a1 = (1; 1; 0; 0), a2 = (0; 1; 1; 0), a3 = (0; 0; 1; 1) и b1 = (1; 1; 1; 1), b2 = (1; 0; 1; 1), b3 = (1; 0; 2; 0) соответственно. Используя алгоритм, указанный в лекции 7, легко проверить, что наборы векторов a1; a2; a3 и b1; b2; b3 линейно независимы. В силу леммы 1 из лекции 8 они являются базисами подпространств M1 и M2 соответственно. Система (11) в данном случае имеет вид t1a1 + t2a2 + t3a3 s1b1 s2b2 s3b3 = 0. Выпишем основную матрицу этой системы и приведем ее к ступенчатому виду:

01 1 0 1 0 0					1	00 1 0	0 1			1	1
1 0 0	1		1	1		1 0 0	1		1 1
B0 1 1 1 1 2C						B0 1 1 1 1 2C
B0 0 1		1	1	0	C	B0 0 1		1	1	0	C
@			1	1	A	@			1	1	A
00 1 0	0				1	00 1 0	0				1	:
1 0 0	1		1	1		1 0 0	1		1 1
B0 0 1 1 2 3C						B0 0 1 1 2 3C
B0 0 1		1	1	0	C	B0 0 0 0 3				3	C
@					A	@					A

Б.М.Верников

Лекция 13: Пространство решений однородной системы

Базис пересечения подпространств: пример (2)

Выпишем систему, соответствующую полученной ступенчатой матрице:

8	t2	s1	+ s2		+ s3		= 0;
>	t1			s2		s3	= 0;	(13)
		t3 s1		2s2		3s3	= 0;
>
<
>

>

:3s2 + 3s3 = 0:

Найдем фундаментальный набор решений этой системы. Ясно, что она имеет две свободные неизвестные s1 и s3. Положим сначала s1 = 1 и s3 = 0. Из четвертого уравнения имеем s2 = 0, из третьего t3 = 1, из второго t2 = 0, из первого t1 = 1. Положим теперь s1 = 0 и s3 = 1. Тогда из уравнений нашей системы последовательно вытекает, что

s2 = 1, t3 = 1, t2 = 0, t1 = 0. Итак, фундаментальная система решений системы (13) состоит из векторов (1,0,1,1,0,0) и (0; 0; 1; 0; 1; 1). Каждому из этих векторов соответствует вектор из M1 \ M2. Вектору (1; 0; 1; 1; 0; 0) соответствует вектор a1 + a3 = b1 = (1; 1; 1; 1), а вектору (0; 0; 1; 0; 1; 1) вектор a3 = b2 + b3 = (0; 0; 1; 1). Следовательно, в качестве базиса пространства M1 \ M2 можно взять набор векторов (1; 1; 1; 1), (0; 0; 1; 1).

Б.М.Верников

Лекция 13: Пространство решений однородной системы