OpenOffice

13. На втором листе рабочей книги самостоятельно постройте еще 2 гра-

фика: y = |x2+5x–10|, [–10;5], шаг 0,5

и

ln | x | +5, x ≤ −1
y = 5, x (−1;1)	, [–3;3], шаг 0,5.
ln(x) +5, x ≥1

31

Индивидуальные задания

Постройте графики функций.

			x −2					, x ≤ −2
1				2 , x (− 2;2)
	y = x5+x2–10, [–10;10], y = x
				−		x − 2				, x ≥ 2
	4

			cos(x), x ≤ −π
2	y = |tg(x)| x, [–1;1],	y =	16 − x2 , x (−π; π)
			sin(x), x ≥ π

.

± .

ln | x |, x ≤ −1

3

y = cos(x+x5)–2, [–2;2],

y =

1− x2 , x (−1;1) .

ln(x), x ≥1

2

, x ≤ 0

4

x

y = |x3+x –10|, [–2;2], y = 0, x (0;2π) .

sin(x), x ≥ 2π

ln | x |, x ≤ −1

5

y = ex–3, [–1;1],

y = 1−| x |, x (−1;1) .

ln(x), x ≥1

x

+ 1 + x2 , x < 0

6

y = ex·|x|, [–1;1],

y =

ex , x [0;1].

sin(x)

2

(x), x >1

2cos

ln | x |, x ≤ −1

7

y = cos(x3)–5, [–2;2],

− x2 , x (−1;1) .

y = 1

ln(x), x ≥1

x

−2

, x ≤ −2

8

y = x4–x2–х, [–5;5], y =

x2 , x (− 2;2) .

x

+ 2

, x ≥ 2

cos(x), x ≤ −5

9

y = |x|, [–10;10],

y =

16 − x2 , x (−5;5)

.

sin(x), x ≥ 5

32

9, x ≤ −3

10 y = |x|+5, [–10;10], y = x2 , x (−3;3) .

9, x ≥ 3

ln | x |, x ≤ −1

11 y = tg(x), [–1;1], y = x2 −1, x (−1;1) .

ln(x), x ≥1

1−

x + 4

, x ≤ −2

12

−

x

, x (−2;2) .

y = x3–2x2+5, [–10;10], y = 1

−

x −4

, x ≥ 2

1

−ln | x |, x ≤ −1

13

(−1;1) .

y = 3cos(x)·sin(2x+3), [–10;0], y = x2 −1, x

−ln(x), x ≥1

sin(x), x ≤ −π

14

y = |x2+2x-5|, [–3;3],

x

(−π; π) .

y = 0,

sin(x), x ≥ π

cos(3x), x ≤ −2

15

y = ex

2

-10, [–2;2], y =

| cos(x) |, x (−2;2) .

cos(3x), x ≥ 2

4 −

x + 2

, x ≤ −2

16

y = x3–5x–15, [–2;2],

2 , x (−2;2) .

y = x

−

x −2

, x ≥ 2

4

4, x ≤ −2

17

(−2;2) .

y = |tg(x)|, [–1;1], y = x2 , x

4, x ≥ 2

2, x ≤ −2

18

y = x3+5 |х|, [–5;5], y = x2 − x +5, x (−2;0) .

≥ 0

− x, x

−64, x ≤ −4

19

(−4;4) .

y = |3tg(x) cos(x)|, [–1;1], y = x3 , x

≥ 4

64, x

ln | x | +5, x ≤ −1

20

y = |x2+5x-10|, [–10;5], y = 5, x (−1;1)

.

ln(x) +5, x ≥1

33

Лабораторная работа № 9 Решение систем линейных уравнений в табличном процессоре

OpenOffice.org Calc

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть задана система линейных уравнений

a

x

+ a

x

2

+... + a

x

n

= b ,

11

1

12

1n

1

a21 x1

+ a22 x2

+... + a2n xn

= b2 ,

...

a

n1

x

+ a

n2

x

2

+... + a

nn

x

n

= b .

1

n

Неизвестные x1, x2, … , xn вычисляются по формулам:

xi = i , i =1,..., n ,

–определитель матрицы А,

i– определитель матрицы, полученный из матрицы А путем замены i-го столбца вектором b.

a

a

...

a

b

x

a

a

...

a

11

12

1n

1

1

11

12

1n

А = a21

a22 ...

a2n ,

B = b2

, X = x2

,

=

a21

a22

...

a2n

,

a

...

a

...

...

a

a

...

a

a

n1

n2

...

nn

b

x

n1

n2

...

nn

n

n

a11

a12 ...

b1 ...

a1n

a21

a22 ...

b2 ...

a2n

=

...

.

i

a

i1

a

i2

...

b ...

a

in

i

...

an1

an2 ...

bn ...

ann

Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

−5x1 + 2x2 +3x3 =1,x1 + 2x2 − x3 = −1,−2x1 +3x2 + x3 =1.

Запишем в табличном процессоре OpenOffice.org Calc матрицы, которые понадобятся нам при вычислениях:

34

i , i =1,..., n

Рис. 11. Исходные данные

Найдем определители , 1, 2, и 3, используя математическую функцию

MDETERM.

Рис. 12. Вычисление определителей

Корни уравнения найдем по формулам: xi =

В результате всех вычислений должны получиться следующие данные:

35

Рис. 13. Вычисление корней системы уравнений

Решение систем линейных уравнений матричным методом

Пусть дана система линейных уравнений

a

x

+ a

x

2

+... + a

x

n

= b ,

11

1

12

1n

1

a21 x1

+ a22 x2

+... + a2n xn

= b2 ,

...

a

n1

x

+ a

n2

x

2

+... + a

nn

x

n

= b .

1

n

Эту систему можно представить в матричном виде: А·Х=В, где

a

a

...

a

b

x

11

12

1n

1

1

А = a21

a22

...

a2n

,

B = b2

,

X = x2

.

a

...

a

...

...

a

n1

n2

...

nn

b

x

n

n

Умножим систему линейных алгебраических уравнений А·Х=В слева на матрицу, обратную к А. Тогда система уравнений примет вид:

А-1·А·Х=А-1·В.

Так как А-1·А=Е (единичная матрица), то получим Е·Х=А-1·В.

Таким образом, вектор неизвестных вычисляется по формуле: Х=А-1·В.

36

Пример 2. Решить систему линейных уравнений матричным методом.

−5x1 + 2x2 +3x3 =1,x1 + 2x2 − x3 = −1,−2x1 +3x2 + x3 =1.

Запишем в табличном процессоре OpenOffice.org Calc матрицу А и столбец свободных членов В:

Рис. 14. Исходные данные

Нам необходимо найти обратную матрицу А-1, для этого:

1.Выделите диапазон ячеек В8:D10.

2.Вставка ► Функция ► категория Массив ► MINVERSE.

3.В появившемся диалоговом окне заполните поле ввода Матрица. Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица, то есть В2:D4, нажмите кнопку ОК.

После всех преобразований получим следующие данные.

Рис. 15. Обратная матрица

Осталось найти вектор неизвестных по формуле Х=А-1·В, для этого:

37

1.Выделите диапазон ячеек G8:G10.

2.Выполните последовательность действий Вставка ► Функция ► категория Массив ► MMULT.

3.В поле для первой матрицы укажите диапазон В8:D10.

4.В поле для второй матрицы укажите диапазон G2:G4.

5.Нажмите кнопку ОК.

Врезультате должны получиться следующие значения:

Рис. 16. Вычисление корней системы уравнений

Самостоятельно сделайте проверку: для этого умножьте матрицу А на Х. В результате должен получиться столбец В.

38

1

2

3

4

5

6

7

8

Индивидуальные задания

Решите систему линейных уравнений: а) методом Крамера; б) с помощью обратной матрицы. Сделайте проверку.

2x1 + x2 +3x3 = 7,2x1 +3x2 + x3 =1,3x1 + 2x2 −5x3 = −9.

3x1 − x2 + x3 = 2,x1 +2x2 +4x3 = 6,5x1 + x2 +2x3 =12.

− x1 +2x2 + x3 = 5,2x1 −3x2 +3x3 =1,2x2 −5x3 = −9.

4x1 + x2 −3x3 = 2,x1 + x2 − x3 = −2,8x1 +3x2 −6x3 =12.

4x1 +7x2 −3x3 = −10,2x1 +9x2 − x3 = 8,− x1 +6x2 −3x3 = 3.

−3x1 + x2 +3x3 =10,2x2 − x3 = −4,

2x1 − x2 +3x3 = 3.

−2x2 −3x3 = −8,3x1 −4x2 +3x3 = −1,− x1 + x2 − x3 = 0.

3x1 + 2x2 + x3 = 3,5x1 −2x2 −2x3 = 3,x1 + x2 − x3 = −2.

	x	+ 4x	2	− x	3	= 6,
	1
9	5x2 −4x3 = −20,
	3x1 −2x2 +5x3 = −22.

3x1 +5x2 − x3 =10, 10 3x1 + x2 + x3 =15,

x1 + x2 − x3 = 4.

	2x		−3x				2	+ x				3		= −7,
		1
11	x1	+ 4x2 + 2x3 = −1,
	x	−4x			2		= −5.
	1
	4x + x				2		−3x				3		=10,
		1
12	x1	+ x2 − x3 = −2,
			+3x2 −6x3 =12.
	8x1
	2x +3x						2	+ 4x						3	= 3,
		1
13	7x1 −5x2 = 24,
	4x		+ x			3	= 39.
		1
	2x		− x		2		+ x			3		= 0,
14		1
	2x1 + x2 − x3 =1,
	x	− x		2		+ x			3	=			3.
	1

2x1 − x2 −6x3 = −15, 15 3x1 − x2 + x3 = −2,

− x1 +3x3 = 7.

	2x −7x + x = −4,
		1	2	3
16	3x1 + x2 − x3			=17,
	x	− x	+3x	= 3.
	1	2	3

39

−2x −5x = −12,

17−2x1 − x2 +3x3 = 7,− x1 + x2 + x3 = 4.

x1 +7x2 −2x3 = 3,

183x1 +5x2 + x3 = 5,−2x1 +5x2 −5x3 = −4.2 3

2x + x − x = 3,

193x1 − x2 + x3 = 6,− x1 − x2 + x3 = 3.

x1 +3x2 −2x3 = 6,

20x1 −2x2 + x3 = −3,2x1 − x2 + x3 = 3.1 2 3

40