Algebra3

Доказательство. (1) Любой R#-подмодуль N R является также левым идеалом в R и наоборот: любой левый идеал I El R является R#-подмодулем. При этом фактор кольцо R#/R изоморфно кольцу целых чисел Z, которое является кольцом главных идеалов и, следовательно, нетерово. По предложению 5.15 нетеровость R и R# эквивалентны.

(2) Пусть X M — конечное множество порождающих модуля M, F = R-Mod#hXi — свободный унитальный R-

модуль, порожденный множеством X.	По теореме 5.9 F
R · · · R (число слагаемых равно |X|), а прямая сумма
нетеровых модулей — нетеров модуль.

Упражнение. Приведите пример, когда подкольцо или даже идеал нетерова кольца само таковым не является.

Теорема 5.19 (Гильберта о базисе). Пусть R — нетерово кольцо с единицей, R[x] — кольцо многочленов над R. То- гда R[x] — нетерово кольцо.

Доказательство. Пусть I — левый идеал в R[x]. Покажем, что I порожден конечным числом многочленов.

Обозначим через I0 множество всех старших коэффициентов всех многочленов из I, а также положим 0 I0. Очевидно, I0 El R: если

a, b I0, f = axn + . . . , g = bxm + · · · I, (n ≥ m)

то f + xn−mg = (a + b)xn + · · · I, и для любого c R

cf = caxn + · · · I.

Поскольку R нетерово, то найдутся a1, . . . , am I0, порождающие этот левый идеал,

fi = aixni + · · · I.

Обозначим n = max ni.

Для каждого k = 0, 1, . . . , n − 1 рассмотрим множество Jk всех старших коэффициентов всех многочленов из I степень которых не превосходит k:

a Jm axd + · · · I, d ≤ k

121

(полагаем 0 Ik). Очевидно, Jk El R, и пусть {akj | j = 1, . . . , mk} — конечное множество порождающих левого иде-

ала Jk. Выберем соответствующие многочлены fkj = akjxdkj +

· · · I.

Обозначим через B конечное множество многочленов

B = {f1, . . . , fm} {fkj | k = 0, . . . , n − 1, j = 1, . . . , mk}.

Покажем, что множество B порождает левый идеал I. Действительно, пусть I(B) — левый идеал R[x], порожденный множеством B. Поскольку B I, то I(B) I.

Допустим, существует f I \ I(B), выберем такой многочлен наименьшей степени d = deg f: f = axd + . . . , a I0. В частности, найдутся b1, . . . , bm R такие, что a = b1a1 +

· · · + bmam.

Если d ≥ n, то

Xm

f − (bixd−ni )fi I \ I(B)

i=1

имеет меньшую степень, что невозможно.

Если d < n, то элемент a лежит в одном из Ik, k ≤ d,

поэтому найдутся b1, . . . , bmk такие, что a = b1ak1 + · · · + bmk akmk . Аналогично предыдущему случаю, рассмотрим

mk
f − X(bixd−dkj )fkj I \ I(B),
j=1
который имеет меньшую степень, что невозможно.
Следовательно, I = I(B).

Следствие 5.20. Если R Rng# нетерово, то кольцо мно- гочленов R[x1, . . . , xn] нетерово.

Доказательство. Достаточно заметить, что R[x1, . . . , xn] (R[x1, . . . , xn−1])[xn] и применить индукцию по n.

Следствие 5.21. Конечно-порожденноекоммутативное (воз- можно, без единицы) кольцо является нетеровым.

Доказательство. Пусть R CRng, причем R = SgR(X),

X = {x1, . . . , xn} — конечное множество порождающих. Тогда R является гомоморфным образом свободного кольца

122

CRnghXi, которое по (5.1) изоморфно кольцу многочленов Z[x1, . . . , xn]0. Поскольку Z нетерово, то

Z[x1, . . . , xn] = Z[x1, . . . , xn]#0

нетерово по следствию 5.20, а по предложению 5.18 кольцо Z[x1, . . . , xn]0 также нетерово. Из теоремы 5.15(3) вытекает, что R нетерово.

Следствие 5.20 имеет важнейшее приложение в алгебраической геометрии. Для любого поля F кольцо многочленов F [x1, . . . , xn] нетерово, следовательно, для любого (возможно, бесконечного) набора многочленов fi F [x1, . . . , xn], i I, найдется конечный набор g1, . . . , gm F [x1, . . . , xn] такой, что

(fi | i I) = (g1, . . . , gm) E F [x1, . . . , xn].

Очевидно, что в этом случае набор a = (α1, . . . , αn) F n является решением системы уравнений {fi(x1, . . . , xn) = 0 | i I} тогда и только тогда, когда a является решением конечной системы {gi(x1, . . . , xn) = 0 | i = 1, . . . , m}. Таким образом, любая система алгебраических уравнений от конечного числа неизвестных эквивалентна конечной системе.

5.5. Вполне частично упорядоченные множества.

Лемма Хигмана. В этом разделе мы рассмотрим важное понятие комбинаторного характера и получим еще одно доказательство следствия 5.21.

Определение 5.22. Назовем частично упорядоченное мно-

жество (ч.у.м.) Q с порядком ≤ вполне частично упорядо-

ченным (в.ч.у.м), если в любой бесконечной последовательности элементов {qn}n≥0, qn Q, найдется пара индексов i < j таких, что qi ≤ qj.

Удобно называть последовательность {qn}n≥1 элементов ч.у.м. Q хорошей, если она удовлетворяет определяющему условию определения 5.22. В противном случае назовем эту последовательность плохой. Таким образом, в.ч.у.м. — это такое ч.у.м., в котором любая бесконечная последовательность хорошая.

123

Лемма 5.23. Для любого ч.у.м. Q следующие условия эквивалентны:

(1)Q является в.ч.у.м.;

(2)в любом непустом подмножестве Q′ Q найдется конечное (при этом большее нуля) число минималь- ных элементов.

Доказательство. (1) (2) Поскольку подмножество в.ч.у.м. само вполне частично упорядочено, достаточно показать, что Q обязательно содержит конечное число минимальных элементов. Если минимальных элементов нет совсем, то можно построить бесконечную строго убывающую последовательность, которая является плохой. Если различных минимальных элементов бесконечно много, то они сами образуют плохую последовательность.

(2) (1) Допустим, условие (2) выполняется, но Q содержит плохую последовательность {qn}n≥1. Тогда qi 6= qj при i 6= j, но множество Q′ = {qn | n ≥ 1} содержит конечное число минимальных элементов. Все эти элементы лежат в некотором конечном начальном отрезке последовательности, поэтому найдется m ≥ 1 такое, что в множестве Q′′ = {qk | k > m} Q′ нет ни одного минимального элемента множества Q′. Следовательно, для любого qk Q′′ (k > m) найдется qj Q′ такое, что qj < qk. Поскольку последовательность {qn}n≥1 плохая, здесь j > k, т. е. qj Q′′. Таким образом, для любого элемента qk последовательности {qn}n>m в ней найдется элемент qj, j > k, такой, что qj < qk. Это означает, что Q′′ содержит бесконечную строго убывающую последовательность, в которой нет ни одного минимального элемента. Полученное противоречие доказы-

вает утверждение леммы.
Лемма 5.24. Для любого ч.у.м.	Q следующие условия
эквивалентны:

(1)Q является в.ч.у.м.;

(2)в любой последовательности {qn}n≥1, qn Q най- дется бесконечная нестрого возрастающая подпо- следовательность.

124

Доказательство. (2) (1) Это утверждение тривиально.

(1) (2) Назовем элемент qm последовательности {qn}n≥1 терминальным для этой последовательности, если qm 6≤qn для любого n > m.

Любая последовательность в.ч.у.м. Q содержит лишь конечное число вхождений терминальных элементов (в противном случае они образуют плохую последовательность). Допустим, что для данной последовательности {qn}n≥1 все ее терминальные элементы имеют номер, не превосходящий некоторого m. Тогда qm+1 не является терминальным, и для него найдется n1 > m + 1 такое, что qm+1 ≤ qn1 . Элемент qn1 также не является терминальным, поэтому найдется n2 > n1 такое, что qn1 ≤ qn2 , и так далее. Продолжая этот процесс, получаем бесконечную нестрого возрастающую последовательность qm+1 ≤ qn1 ≤ qn2 ≤ . . . .

Следствие 5.25. Декартово произведение двух в.ч.у.м. от- носительно покомпонентного порядка является в.ч.у.м.

Рассмотрим ч.у.м. Q с порядком ≤ и определим на множестве Q всех непустых слов в алфавите Q бинарное отношение 4 следующим образом: a1a2 . . . an 4 b1b2 . . . bm тогда и только тогда, когда найдутся такие индексы 1 ≤ i1 < · · · <

in ≤ m, что ak ≤ bik для любого k = 1, . . . , n. Нетрудно заметить, что (Q , 4) — ч.у.м.

Теорема 5.26 (лемма Хигмана). Если (Q, ≤) — в.ч.у.м., то

(Q , 4) — в.ч.у.м.

Доказательство. Допустим, в Q существуют плохие последовательности. Выберем среди них ту, в которой длина первого слова u1 наименьшая, и зафиксируем выбранное слово u1. Среди всех плохих последовательностей, начинающихся с u1, выберем ту, в которой длина второго слова u2 наименьшая, и зафиксируем выбранное u2. Далее рассмотрим все плохие последовательности, начинающиеся с u1, u2, и аналогичным образом выберем слово u3.

125

Продолжая описанную процедуру, построим бесконечную последовательность {ui}i≥1. Заметим, что эта последовательность плохая и длины слов ui неубывают. При этом однобуквенных слов в ней может быть лишь конечное чи-

сло. Поэтому найдется m ≥ 1 такое, что ui = aivi, ai Q, vi Q при i ≥ m, но ui = ai Q при 1 ≤ i < m.

Покажем, что множество {vi | i ≥ m} Q является в.ч.у.м. В противном случае найдется плохая последователь-

ность {vik }k≥1, причем можно считать, что m ≤ i1 < i2 < . . .

(из любого бесконечного подмножества элементов последовательности {vi}i≥m всегда можно выбрать бесконечную подпоследовательность со строго возрастающими номерами). Рассмотрим последовательность

u1, u2, . . . , um−1, um, um+1, . . . , ui1−1, vi1 , vi2 , vi3 , . . . . ( )

Начальный отрезок (длины i1 − 1) и хвост этой последовательности плохие, а если uj 4 vik то uj 4 uik по определению порядка 4. Следовательно, последовательность ( ) обязана быть плохой, что противоречит способу, которым мы выбирали ui1 (получилась плохая последовательность, начинающаяся на u1, . . . , ui1−1 и продолжающаяся словом vi1 , которое короче, чем ui1 ).

Таким образом, по лемме 5.24 в последовательности {vi}i≥m можно выбрать бесконечную нестрого возрастающую подпоследовательность

vi1 4 vi2 4 . . .

Последовательность первых букв {aik }k≥1 хорошая, поэтому найдутся n < k такие, что ain ≤ aik . Тогда, очевидно, uin =

ain vin 4 aik vik = uik .	Полученное противоречие доказывает
теорему.

Следствие 5.27. Конечно-порожденнаяассоциативная ком- мутативная алгебра над полем F является нетеровой.

Доказательство. Рассмотрим случай алгебр с единицей, хотя, как нетрудно заметить, для алгебр без единицы доказательство совершенно аналогично.

126

Достаточно показать, что теорема верна для свободной алгебры, т.е. для алгебры A = F [x1, . . . , xn] многочленов от конечного числа переменных.

Базис B алгебры A над полем F состоит из одночленов xm1 1 . . . xmn n , mi ≥ 0. Упорядочим алфавит {x1, . . . , xn} естественным образом, положив x1 < x2 < · · · < xn. Введем порядок deg-lex на множестве B, сравнивая их сперва по длине, а слова одинаковой длины — лексикографически. Обозначим это отношение через ≤. Очевидно, что (B, ≤) — вполне упорядоченное множество.

Допустим, в алгебре A есть бесконечная строго возраста-

ющая цепь идеалов I1 I2 . . . . ...............

127

§ 6. Представления конечных групп

Введем базовые определения и обозначения этого раздела. Пусть V — векторное пространство над полем F , GL(V ) — группа обратимых линейных преобразований этого пространства. Операция умножения на этой группе задана правилом (ϕ, ψ)(v) = ϕ(ψ(v)), ϕ, ψ GL(V ), v V .

Если dim V = n < ∞, то GL(V ) GLn(F ) — группе невырожденных матриц размера n × n над F .

Через c(F ) обозначим характеристику поля F .

Определение 6.1. Представлением группы G над полем F

называется пара R = (V, ρ), где V — векторное пространство над F , ρ: G → GL(V ) — гомоморфизм групп.

Представление (V, ρ) называется конечномерным, если dim V < ∞, точным, если гомоморфизм ρ инъективен.

Например, для любого векторного пространства V пара (GL(V ), id) является представлением группы GL(V ). Также пара R1 = (End(V ), µ), где End(V ) — пространство всех линейных преобразований V , µ(g): ϕ 7→gϕ, g GL(V ) End(V ) ϕ, является представлением группы GL(V ). Другое представление группы GL(V ) на этом же пространстве

End(V ) задано парой R2 = (End(V ), γ), где γ(g): ϕ 7→gϕg−1.

Представление R1 является точным, представление R2, вообще говоря, нет: ядро гомоморфизма γ содержит все преобразования вида v 7→λv, λ F \ {0}.

Еще одним полезным примером представления симметрической группы Sn является пара (F n, ρ), где F n — арифметическое векторное пространство с каноническим базисом e1, . . . , en, ρ(σ): ei 7→eσ(i), σ Sn, i = 1, . . . , n. Это предста-

вление, очевидно, точное.

Определение 6.2. Пусть Ri = (Vi, ρi), i = 1, 2, — два представления группы G над F . Гомоморфизмом представлений R1 → R2 называется такое линейное отображение

ϕ: V1 → V2, что

ϕρ1(g) = ρ2(g)ϕ, g G.

128

Если ϕ — изоморфизм векторных пространств, то представления R1 и R2 называются эквивалентными (изоморфными).

Рассмотрим простой пример. Пусть G = hai — циклическая группа конечного порядка n = |a|, F = C. Предположим, R = (C1, ρ) — одномерное представление группы G.

Тогда ρ(a) = α C, α 6= 0, и

1 = ρ(e) = ρ(an) = (ρ(a))n = αn.

Следовательно, α = εk = exp(2πik/n), k = 0, . . . , n − 1, —

корень из единицы степени n.

Таким образом, любое одномерное представление однозначно определяется выбором корня из единицы εk. Легко заметить, что представления, соответствующие различным корням из единицы, не эквивалентны.

В дальнейшем нам понадобятся следующие конструкции. Пусть Ri = (Vi, ρi), i = 1, 2, — два представления группы G

над F . Сумма представлений — это пара

R1 R2 = (V1 V2, ρ1 ρ2),

(ρ1 ρ2)(g): v1 + v2 7→ρ1(g)v1 + ρ2(g)v2;

произведение представлений — это пара

R1 R2 = (V1 V2, ρ1 ρ2),

(ρ1 ρ2)(g): v1 v2 7→ρ1(g)v1 ρ2(g)v2,

где g G, vi Vi.

6.1. Неприводимые представления и теорема Машке.

Определение 6.3. Пусть R = (V, ρ) — представление группы

Gнад F .

(1)Подпространство U в V называется G-инвариантным (относительно представления R), если ρ(g)u U для любых u U, g G. Свойство G-инвариантности обозначается

через U ≤R V .

(2) Представление R называется неразложимым, если R 6 R1 R2, где Ri — ненулевые представления (dim Vi 6= 0).

129

(3) Представление R называется неприводимым (или простым), если V 6= 0 и V не содержит G-инвариантных подпространств U ≤R V , отличных от 0 и V .

Легко видеть, что представление R эквивалентно сумме представлений R1 · · · Rm тогда и только тогда, когда существуют Ui ≤R V такие, что V = U1 · · · Um и Ui Vi (как векторные пространства).

Очевидно, неприводимость представления влечет его неразложимость. Обратное, вообще говоря, не всегда верно. Примером может служить следующее представление группы

G = (Z, +, −, 0):

V = C2, ρ(n) = 0	1 , n Z.
1	n
Очевидно, что R = (V, ρ) — представление,		не являюще-
еся неприводимым: векторы вида (α, 0)T C2		образуют G-
инвариантное подпространство.

Но если бы R не являлось неразложимым, то нашлись бы G-инвариантные подпространства U1, U2, dim Ui = 1, такие, что C2 = U1 U2. Следовательно, существовал бы базис собственных векторов для всех преобразований ρ(n), n Z, что невозможно, поскольку ρ(n) имеет не диагональную жорданову форму при n 6= 0.

Всюду в дальнейшем в этом параграфе мы предполагаем, что G — конечная группа, c(F ) = 0 или c(F ) 6 |G| |.

Пусть Ri = (Vi, ρi), i = 1, 2, — два представления (конечной) группы G над F . Рассмотрим следующую полезную конструкцию, позволяющую превратить любое линейное отображение ϕ: V1 → V2 в гомоморфизм представлений

	ϕ¯ : R1 → R2.
	Положим		X
		1
	ϕ¯(v) =		ρ2(g)ϕ(ρ1(g−1)v), v V.
		|G|
			g G

Очевидно, что ϕ¯ — линейное преобразование. Легко проверить, что ρ2(γ)ϕ¯ = ϕρ¯ 1(γ) для любого γ G.

130