Algebra3
.pdfПри этом Z = θ0. Пересечение двух любых конгруэнций, отличных от θ0, нетривиально: θn ∩θm = θnm. Поэтому Z не изоморфно прямому произведению нетривиальных колец.
Однако, рассмотрим семейство всех θp Cong Z (в обозначениях предыдущего примера), соответствующих простым натуральным числам p. Это полное, но не независимое семейство (проверьте это), а все Z/θp Zp являются полями.
Отображение
Y
ϕ : Z → Zp, πp(ϕ(n)) = (n mod p)
p
является мономорфизмом, причем каждое из ϕ ◦ πp сюръективно. Таким образом, хоть Z и не разлагается в прямое произведение нетривиальных колец, оно «плотно» вкладывается в прямое произведение полей.
1.3. Подпрямое произведение алгебр. Пусть (Ai)i I —
семейство алгебр сигнатуры F. Подпрямым произведением
этого семейства алгебр называется любая такая подалгебра
Y
A Ai,
i I
что πi(A) = Ai для любого i I. Тот факт, что A является подпрямым произведением семейства (Ai)i I , обозначается
через
Ys
A = Ai.
i I
Это обозначение призвано не описать конструкцию алгебры A, а обозначить ее свойство.
Если некоторая алгебра A изоморфна некоторому подпрямому произведению данного семейства алгебр, то A часто также называют подпрямым произведением этого семейства.
Теорема 1.20. Пусть (Ai)i I — семейство алгебр сигна- туры F, A — алгебра той же сигнатуры. Тогда
Y |
|
|
полное семейство (θ )i I , |
s |
|
||
A i I |
Ai |
θi Cong A, Ai A/θi i. |
21
Доказательство. Отождествим A с изоморфной подалгеброй в прямом произведении. Рассмотрим θi = Ker πi∩ (A × A) Cong A. Тогда Ai A/θi по теореме о гомомор-
физмах. Выше уже отмечалось, |
что семейство (Ker πi)i I |
|||
является полным. |
Поскольку θi |
Ker πi, |
то (θi)i I также |
|
является полным. |
|
|
|
|
Рассмотрим |
|
|
|
|
|
A = |
A/θi |
|
|
|
b |
I |
|
|
и построим |
Yi |
|
|
|
|
|
A |
|
|
по правилу |
ι : A → b |
|
||
(ι(a))(i) = a/θi A/θi, a A, |
i I. |
Очевидно (легко проверить), что ι — гомоморфизм алгебр A → A. Если ι(a) = ι(b) для некоторых a, b A, то a/θi =
b/θ |
для любого i I. Поскольку (θ ) I — полное семейство, |
|||||
a = b. |
0 = ι( ) |
|
. |
построению |
πi( 0) = |
|
i |
b Обозначим A |
A |
A |
iПоi |
A |
|
A/θ т. е. A изоморфно подпрямому произведению семейства |
||||||
(A/θi,i)i I . |
|
b |
|
|
|
Определение 1.21. Говорят, что алгебра A подпрямо неразложима, если для любого семейства алгебр (Ai)i I такого,
что Ys
A Ai,
i I
найдется i I такой, что A Ai.
Теорема 1.22. Алгебра A является подпрямо неразложи- мой тогда и только тогда, когда любое полное семейство конгруэнций на A содержит A.
Доказательство. Пусть (θi)i I — полное семейство
конгруэнций на A. Тогда по теореме 1.20
Ys
A = A/θi.
i I
Так как A подпрямо неразложима, A A/θi для некоторого i I, т. е. θi = A.
22
Если
Ys
A Ai
i I
для некоторого семейства алгебр, то по теореме 1.20 существует полное семейство конгруэнций θi Cong A, i I, такое, что Ai A/θi. По условию найдется i I такой, что
θi = A, т. е. Ai A/θi A.
Теорема 1.23. Любая алгебра A является подпрямым про-
изведением некоторого семейства подпрямо неразложимых алгебр.
Доказательство. Если |A| = 1, то алгебра подпрямо неразложима и, формально, является подпрямым произведением семейства (A)i {1}.
Если |A| > 2, то для любых a, b A, a 6= b, рассмотрим множество конгруэнций
¯ { | }
Θa,b = θ Cong A (a, b) / θ
это непустое множество A ¯ a,b частично упорядочен
(Δ
Θ
),
-
ное по обычному отношению включения . Любая возрастающая цепь
¯
θ1 θ2 . . . , θk Θa,b,
имеет верхнюю грань в этом же множестве:
[
θω =
k≥1
(необходимо убедиться, что объединение цепи конгруэнций является конгруэнцией, а то, что (a, b) / θω, очевидно). Сле-
довательно по лемме Цорна множество ¯ a,b содержит мак
, Θ -
симальный элемент θa,b Cong A, (a, b) / θa,b.
Семейство конгруэнций (θa,b)a,b A,a6=b является полным. Действительно, для любых a 6= b найдется конгруэнция θ = θa,b такая, что (a, b) / θ. Следовательно, по теореме 1.20
Ys
A A/θa,b.
a6=b
23
Убедимся, что каждая алгебра
Aa,b := A/θa,b, a 6= b,
подпрямо неразложима.
Допустим, что для некоторых a, b A, a 6= b, найдется полное семейство конгруэнций (ϑi)i I , ϑi Cong Aa,b, не содержащее Aa,b . Рассмотрим суперпозицию
τθa,b ◦ τϑi |
: A → Aa,b → Aa,b/ϑi, i I. |
|||
Для любого i I |
|
|
|
|
θi |
:= Ker(τθ |
a,b |
◦ τϑ |
) θa,b. |
a,b |
|
i |
|
Поскольку θa,b — максимальная конгруэнция на A, не содер-
жащая (a, b), то либо θi |
= θa,b, либо (a, b) θi |
. Первый |
|
a,b |
|
a,b |
|
случай невозможен: равенство ядер θi |
= θ означает, что |
||
|
a,b |
a,b |
|
Aa,b Aa,b/ϑi, т. е. ϑi = |
Aa,b . |
|
|
Следовательно, (a, b) θi для любого i I. |
Это озна- |
a,b
чает, что
(a/θa,b, b/θa,b) ϑi, i I.
Поскольку (ϑi)i I — полное семейство конгруэнций, a/θa,b = b/θa,b, т. е. (a, b) θa,b, — противоречие.
Пример 1.19 показывает, что кольцо целых чисел является подпрямой суммой конечных полей. Очевидно, что любое кольцо, являющееся полем, подпрямо неразложимо: единственные конгруэнции такого кольца A —
Упражнение. Докажите общий факт: любая простая алгебра является подпрямо неразложимой.
Упражнение. Покажите, что подпрямо неразложимая алгебра является декартово неразложимой. (То, что обратное неверно, показывает пример 1.19.)
Упражнение. Пусть A — множество функций N → {0, 1}, F = {f, g}, ν(f) = ν(g) = 1, F = (F, ν). Построим алгебру A = (A, FA) следующим образом:
fA(x) : i 7→x(i + 1), gA(x) : i 7→x(1), x A.
Докажите, что A подпрямо неразложима.
24
1.4. Алгебры, универсальные в классе. Пусть K —
некоторый класс алгебр сигнатуры F, U = (U, FU) — некоторая алгебра той же сигнатуры, 6= X U.
Определение 1.24. Алгебра U называется универсальной для класса K относительно X, если:
(1)U = SgU(X);
(2)для любой A K и для любого отображения α : X →
A существует гомоморфизм ϕ : U → A такой, что ϕ(x) = α(x) для всех x X.
Свойство универсальности можно наглядно выразить диаграммой:
Отметим, что сама алгебра U не обязана принадлежать классу K.
Предложение 1.25. Пусть U — алгебра, универсальная для класса K относительно множества X. Тогда для любой
алгебры A K такой, что A = SgA(Y ), Y A, |
|Y | ≤ |X|, |
|
существует эпиморфизм ϕ : U → A. |
|
|
Доказательство. Рассмотрим произвольную сюръекцию |
||
α : X → Y A. |
Тогда существует гомоморфизм ϕ : U → |
|
A такой, что Y |
Im ϕ. Следовательно, A = |
SgA(Y ) = |
Im ϕ. |
|
|
Предложение 1.26. Пусть U1, U2 — алгебры, универ- сальные для класса K относительно множеств X1 и X2 соответственно. Допустим, Ui K, i = 1, 2. Тогда из |X1| < |X2| следует, что U1 — гомоморфный образ U2, а если |X1| = |X2|, то U1 U2.
Доказательство. Пусть |X1| < |X2|. Тогда существует сюръективное отображение α : X2 → X1 U1, которое по свойству универсальности алгебры U2 может быть продолжено до гомоморфизма ϕ1 : U2 → U1. Поскольку U1 порождена множеством X1, гомоморфизм ϕ1 сюръективен.
25
Если |X1| = |X2|, то α может быть выбрано биективным. Тогда по свойству универсальности алгебры U1 отображение α−1 может быть продолжено до гомоморфизма ϕ2 : U1 → U2:
Суперпозиции гомоморфизмов ϕ1 ◦ ϕ2 : U1 → U1 и ϕ2 ◦ ϕ1 : U2 → U2 действуют тождественно на порождающих множествах X1 и X2, следовательно, являются тождественными отображениями. Поэтому U1 U2.
Рассмотрим пример класса алгебр, в котором не содержится ни одной алгебры, универсальной для этого класса. Пусть K — класс полей, являющихся конечными расширениями поля рациональных чисел Q. Это класс алгебр сигнатуры
F= {+, −, 0, ·, 1, α˙ | α Q},
ν(+) = ν(·) = 2, ν(0) = ν(1) = 0, ν(−) = ν(α˙ ) = 1, α Q
(операция α˙ интерпретируется как умножение на скаляр из поля Q). Допустим, U — алгебра, универсальная для K относительно некоторого множества X 6= . Если U K, то любой элемент
x X алгебраический над Q. Пусть fx(t) Q[t] — минимальный
1
многочлен для x, n = deg fx. Рассмотрим A = Q(2n+1 ). Тогда
любое отображение α : X → A должно продолжаться до гомо-
1
морфизма алгебр ϕ : U → A. Но если взять α(x) = 2n+1 , то
1
0 = ϕ(fx(x)) = fx(ϕ(x)) = fx(2n+1 ), что невозможно, поскольку
1
минимальный многочлен для 2n+1 над Q равен tn+1 − 2.
Однако можно утверждать, что для любого класса алгебр K и для любого множества X 6= существует универсальная для K относительно X алгебра (которая может и не принадлежать самому классу K). Приведем конструкцию такой алгебры.
Рассмотрим X как множество переменных и обозначим через TF (X) множество всех термов сигнатуры F от переменных X. Напомним, что согласно определению
26
•x X является термом;
•если f F , ν(f) = n, t1, . . . , tn — термы, то f(t1, . . . , tn)
является термом;
•других термов нет.
Определим на множестве TF (X) структуру алгебры
TF (X) = TF (X), FTF (X)
следующим образом: для f F , ν(f) = n, положим fTF (X)(t1, . . . , tn) = f(t1, . . . , tn), ti TF (X).
Полученная алгебра называется алгеброй термов сигнатуры F, порожденной множеством X.
Предложение 1.27. Алгебра TF (X) является универсаль- ной для любого класса алгебр сигнатуры F относительно X.
Доказательство. Обозначим для краткости TF (X) через U. Равенство U = SgU(X) легко доказывается индукцией по длине терма. Рассмотрим некоторую алгебру A сигнатуры F и произвольное отображение α : X → A. Определим значение отображения ϕ : TF (X) → A на терме t по индукции:
•если t = x X, то ϕ(t) = α(x);
•если t = f(t1, . . . , tn), то ϕ(t) = fA(ϕ(t1), . . . , ϕ(tn)).
Очевидно, что это отображение является гомоморфизмом
U → A. |
|
Алгебра термов является, в частности, универсальной для класса всех алгебр сигнатуры F (из предложения 1.26 следует, что такая алгебра единственна с точностью до изоморфизма). Но для м´еньших классов алгебра термов заведомо избыточна.
Покажем, как для данного класса алгебр K можно упростить эту алгебру, сохранив универсальность для K. Пусть X 6= — некоторое множество. Рассмотрим
ΘK(X) = θ Cong TF (X) | ϕ : TF (X) → A K, θ = Ker ϕ .
27
Иными словами, ΘK(X) состоит из всех ядер гомоморфизмов из алгебры TF (X) во все алгебры класса K. Обозначим
\
θK(X) = θ
θ ΘK(X)
и положим
FK(X) = TF (X)/θK(X).
Замечание 1.28. Если класс K содержит хоть одну нетривиальную алгебру A (т. е. |A| > 1), то естественный гомоморфизм τθK(X) действует инъективно на X.
Действительно, если x1, x2 X, x1 6= x2, то найдется такое α : X → A, что α(x1) 6= α(x2). По универсальному свойству алгебры термов существует продолжение ϕ : TK(X) → A K, ядро которого лежит в множестве ΘK(X). Поскольку
ϕ(x1) = α(x1) 6= α(x2) = ϕ(x2), то (x1, x2) / θK(X).
В дальнейшем мы будем преимущественно рассматривать такие классы K, в которых содержатся не только тривиальные (одноэлементные) алгебры. Для таких классов можно отождествлять множество переменных X (как подмножество в алгебре термов TF (X)) и его образ X = X/θK(X)
в FK(X).
Теорема 1.29. Алгебра FK(X) является универсальной для класса K относительно X.
Доказательство. Если K содержит только тривиаль-
ные алгебры, то θK(X) = TF (X), т. е. алгебра FK(X) тоже тривиальна и, следовательно, универсальна для K.
Пусть K содержит не только тривиальные алгебры. Алгебра FK(X) является гомоморфным образом TF (X), следо-
вательно, порождается множеством X. Рассмотрим любую алгебру A K и произвольное отображение α : X → A. Поскольку X и X равномощны, α можно считать отображением из X в A. По универсальному свойству алгебры термов существует гомоморфизм ψ : TF (X) → A, продолжающий α.
28
Тогда θ = Ker ψ ΘK(X), следовательно, θ θK(X). По теореме о гомоморфизмах существует χ : FK(X) → A такой,
что τθK(X) ◦χ = ψ. При этом χ(x/θK(X)) = χ(τθK(X)) = ψ(x) = α(x).
Теорема 1.30. Алгебра FK(X) изоморфна подалгебре пря- мого произведения семейства алгебр из K.
Доказательство. Для каждого θ ΘK(X) выберем ту алгебру Aθ K, для которой существует гомоморфизм ϕθ :
TF (X) → Aθ с ядром, равным θ.
По предложению 1.10 существует такой гомоморфизм
Y
ϕ : TF (X) → Aθ,
θ ΘK(X)
что ϕ◦πθ = ϕθ. Поскольку семейство канонических проекций
πθ полное, |
\ |
θ |
|
Ker ϕ = |
Ker ϕθ = θK(X). |
|
ΘK(X) |
Действительно, если (p, q) Ker ϕ, то (p, q) Ker(ϕ ◦ πθ) = Ker ϕθ = θ. Обратно, если (p, q) Ker ϕθ = Ker(ϕ ◦ πθ),
но (p, q) / Ker ϕ, то (ϕ(p), ϕ(q)) Ker πθ для любого θ, что невозможно при ϕ(p) 6= ϕ(q).
По теореме о гомоморфизмах
FK(X) = TF (X)/ Ker ϕ B |
θ Y |
Aθ. |
|
|
ΘK(X) |
|
|
1.5. Многообразия алгебр.
Определение 1.31. Класс K алгебр сигнатуры F называется многообразием, если выполнены следующие три условия.
29
•Если A K, ϕ : A → B — эпиморфизм, то B K.
• |
Если A K, B A, то B K. |
iQ |
|
Если (Ai)i I — семейство алгебр из K, то |
|
• |
Ai K. |
|
|
|
I |
Иными словами: многообразие — это класс алгебр, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов, подалгебр и прямых произведений.
Теорема 1.32. Любое многообразие K содержит свобод- ную алгебру FK(X) для любого множества X 6= .
Доказательство. Непосредственно вытекает из теоре-
мы 1.30.
Любой (непустой) класс алгебр порождает многообразие следующим образом. Пусть K — некоторый класс алгебр сигнатуры F. Определим операторы J, H, S, P , преобразующие этот класс алгебр в классы J(K), H(K), S(K), P (K) соответственно:
J(K) = K {B | B A},
H(K) = K {B | ϕ : A → B, A K, ϕ(A) = B},
S(K) = K {B | B A, A K},
P (K) = K |
i I |
Ai | I =6 , Ai K . |
|
Y |
|
Очевидно, что K X(K) и если K1 K2, то X(K1)
X(K2) для X = J, H, S, P .
Рассмотрим суперпозиции этих операторов. Заметим, что для любого класса K выполнены следующие равенства:
HH(K) = H(K) J(K) K,
SS(K) = S(K) K,
JP P (K) = JP (K) J(K),
последнее вытекает из следствия 1.14: если A P P (K), то A JP (K); обратное вложение вытекает из P (K) P P (K). Кроме того, очевидно, что
SH(K) HS(K)
30