Kucherenko_Teoriya_veroyatnosti_2014

Решение. Считаем, что имеем дело с повторением испытаний проводимых 500 раз. Так как число п=500 достаточно велико, а вероятность p=0.002 мала (причем npq=500 0.002 0.998 2<9), то воспользуемся

приближенной формулой Pn (m) Pm m e (формула Пуассона). np 1 m!

P500 3 13 e 1 0.0613.

3!

Пример 7. Найти закон распределения дискретной случайной величины

X – числа появлений «орла» при двух бросаниях монеты.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Возможные значения случайной величины: X=0, X=1, X=2 .

Вероятности этих значений находим по формуле Бернулли:

p P X 0	P (0) C0 p0q2									2!			0.50		0.52 0.25;
0	2		2					0! 2!
p P X 1 P (1) C1 p1q1					2!						0.51 0.51 0.50;
1	2		2		1! 1!
p P X 2	P (2) C2 p2q0									2!			0.52		0.50 0.25.
2	2		2						2! 0!
Записываем ряд распределения:
		X		0				1							2
		p		0.25				0.50							0.25
4
M X = pi xi .=0 0 . 2 5 + 1 0 . 5 0												+ 2 0 . 25 =1.
i =1
					4
D X M X 2 M X 2 xi2 pi													M		X 2 .
				i 1
= 02 0.25			12 0.50			22 0.25 12 0.5.
					31

X D X 0,5 0,7.

Пример 8. Случайная величина задана плотностью распределения

	1				/ 2,
		cos x,	x
f x	2
		0,			x		/ 2.

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Находим сначала математическое ожидание:

		1		/2
	m= xf x dx				x cos x dx 0
		2
				/2

(как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку).

Теперь вычисляем дисперсию и среднее квадратическоеотклонение:

1

/2

1

/2

D X x m 2

f x dx

x2 cos x dx

2 x2

cos x dx

2

2

/2

0

/ 2 2

/2

/ 2 2x cos x

/ 2

x2 sin x

x sin x dx x2 sin x

0

2 x cos x dx x2

sin x / 2 2x cos x / 2 2sin x / 2 2

2 2 8 ;

/2

4

4

0

X

2 8

.

D X

2

32

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа. 2004.–576с.

2.Вентцель Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей. – М.: Высш.

шк. 2004. – 166 с.

3.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Высшая школа, 2005.

4.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Высшая школа, 2004, 480 с.

5.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа. 1999. – 415 с.

33

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблица

значений

функции

34

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Таблица значений функции

		1	2		/ 2
(x)				e x
		2

35

		1	2		/ 2
Таблица значений функции (x)				e x
		2

(продолжение)

36

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Критические точки распределения 2

	Число	Уровень значимости
	степеней
		0.01	0.025	0.05	0.95	0.975	0.99
	свободы
	k
	1	6.6	5.0	3.8	0.0039	0.00098	0.00016
	2	9.2	7.4	6.0	0.103	0.051	0.020
	3	11.3	9.4	7.8	0.352	0.216	0.115
	4	133	11.1	9.5	0.711	0.484	0.297
	5	151	12.8	11.1	1.15	0.831	0.554
	6	16.8	14.4	12.6	1.64	1.24	0.872
	7	18.5	16.0	14.1	2.17	1.69	1.24
	8	20.1	17.5	15.5	2.73	2.18	1.65
	9	21.7	19.0	16.9	3.33	2.70	2.09
	10	23.2	20.5	18.3	3.94	3.25	2.56
	11	24.7	21.9	19.7	4.57	3.82	3.05
	12	26.2	23.3	21 .0	5.23	4.40	3.57
	13	27.7	24.7	22.4	5.89	5.01	4.11
	14	29.1	26.1	23.7	6.57	5.63	4.66
	15	30.6	27.5	25.0	7.26	6.26	5.23
	16	32.0	28.8	26.3	7.96	6.91	5.81
	17	33.4	30.2	27.6	8.67	7.56	6.41
	18	34.8	31.5	28.9	9.39	8.23	7.01
	19	36.2	32.9	30.1	10.1	8.91	7.63
	20	37.6	34.2	31.4	10.9	9.59	8.26
	21	38.9	35.5	32.7	11.6	10.3	8.90
	22	40.3	36.8	33.9	12.3	11.0	9.54
	23	41.6	38.1	35.2	13.1	11.7	10.2
	24	43.0	39.4	36.4	13.8	12.4	10.9
	25	44.3	40.6	37.7	14.6	13.1	11.5
	26	45.6	41.9	38.9	15.4	13.8	12.2
	27	47.0	43.2	40.1	16.2	14.6	12.9
	28	48.3	44.5	41.3	16.9	15.3	13.6
	29	49.6	45.7	42.6	17.7	16.0	14.3
	30	50.9	47.0	43.8	18.5	16.8	15.0

37

ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Критические точки распределения Стьюдента

Число	Уровень значимости (двусторонняя
степеней	критическая область)
свободы
k	0.10	0.05	0.02		0.01	0.002	0.001
1	6.31	12.7	31.82		63.7	318.3	637.0
2	2.92	4.30	6.97		9.92	22.33	31.6
3	2.35	3.18	4.54		5.84	10.22	12.9
4	2.13	2.78	3.75		4.60	7.17	8.61
5	2.01	2.57	3.37		4.03	5.89	6.86
6	1.94	2.45	3.14		3.71	5.21	5.96
7	1.89	2.36	3.00		3.50	4.79	5.40
8	1.86	2.31	2.90		3.36	4.50	5.04
9	1.83	2.26	2.82		3.25	4.30	4.78
10	1.81	2.23	2.76		3.17	4.14	4.59
11	1.80	2.20	2.72		3.11	4.03	4.44
12	1.78	2.18	2.68		3.05	3.93	4.32
13	1.77	2.16	2.65		3.01	3.85	4.22
14	1.76	2.14	2.62		2.98	3.79	4.14
15	1.75	2.13	2.60		2.95	3.73	4.07
16	1.75	2.12	2.58		2.92	3.69	4.01
17	1.74	2.11	2.57		2.90	3.65	3.95
18	1.73	2.10	2.55		2.88	3.61	3.92
19	1.73	2.09	2.54		2.86	3.58	3.88
20	1.73	2.09	2.53		2.85	3.55	3.85
21	1.72	2.08	2.52		2.83	3.53	3.82
22	1.72	2.07	2.51		2.82	3.51	3.79
23	1.71	2.07	2.50		2.81	3.59	3.77
24	1.71	2.06	2.49		2.80	3.47	3.74
25	1.71	2.06	2.49		2.79	3.45	3.72
26	1.71	2.06	2.48		2.78	3.44	3.71
27	1.71	2.05	2.47		2.77	3.42	3.69
28	1.70	2.05	2.46		2.76	3.40	3.66
29	1.70	2.05	2.46		2.76	3.40	3.66
30	1.70	2.04	2.46		2.75	3.39	3.65
40	1.68	2.02	2.42		2.70	3.31	3.55
60	1.67	2.00	2.39		2.66	3.23	3.46
120	1.66	1.98	2.36		2.62	3.17	3.37
	1.64	1.96	2.33		2.58	3.09	3.29
				38

Электронное текстовое издание

Кучеренко Наталья Викторовна

Теория вероятностей

Подготовка к публикации

Ю.Л. Шляпников

Рекомендовано Учебно-методическим советом НТИ (ф) УрФУ Разрешено к публикации 26.06.2014

Электронный формат – pdf Объем – 1,0 уч.изд.л.

Нижнетагильский технологический институт (филиал) УрФУ

622031, г. Нижний Тагил, ул. Красногвардейская, 59

Информационный сайт НТИ (ф) УрФУ

http://nti.urfu.ru

39