- •Ориентировочный план занятий
- •Определенные интегралы
- •Найти неопределенные интегралы:
- •Несобственные интегралы
- •Бесконечные произведения
- •Доказать равенства: 3051. .
- •Исследовать сходимость бесконечных произведений:
- •Эйлеровы интегралы.
- •Двойные и тройные интегралы
- •Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля.
- •*** Доп. Элементы дифференциальной
- •Кудрявцев (I) §24 № 1(1,2), 2, 5, 11(3), 12(1,2,3,4),13.20,21,27,48,51,52,76(3),77(1),78(1), 109(1), 110(1), 118,122,123,124(1,2).
- •Пространственные кривые
- •Экзаменационные вопросы по курсу
- •Первый курс. Второй семестр
Двойные и тройные интегралы
1.
Демидович. 39(06,08,13,16,18,19,24,27,30,31,
37,40,51,62. 57,67,71,74).
Вычислить интегралы:
3906..3908. .
3913. Найти среднее значение функции f (x ,y)=в квадрате.
Расставить пределы интегрирования в различном порядке:
3916.-треугольник с вершинами О(0,0);A(1,0);B(0,1).
19
3918.– трапеция с вершинами O(0,0);A(1,0);B(1,2);C(0,1).
3919. Определить пределы интегрирования по гдекруг
Изменить порядок интегрирования.
3924.. 3927..3930..3931..
Расставить пределы интегрирования в полярной системе координат.
3937.
3940.
Заменить двойные интегралы однократными, переходя к новой системе координат.
3951..3962..
Сделать замену переменных в двойных интегралах:
3957.(0 <a <b, 0 <u = x, v =
Вычислить:
3967..
3971..3974..
2.
Демидович 39(84,87,97), 40(07,09,18,21,36,
37,41,52,73)
Вычислить площади:
3984. xy =a, x + y =(a>0);
20
3987.(в полярных координатах)
3997. xy = a, xy = 2a, y = x, y =2x, (x > 0, y > 0).
Найти объёмы:
4007. z = 1+ x + y, z = 0, x + y = 1, x = 0, y =0.
4009., y= 1, z = 0.
4018. (переходя к полярным координатам)
4021.
4036. Найти площадь части поверхности az = xy, заключённой внутри поверхности
4037.Найти площадь поверхности тела ограниченного поверхностями
4046. Найти поверхность и объём тела, ограниченного поверхностями , (а > 0).
4052.Найти координаты центра тяжести однородной пластинки x + y= 2a. (a > 0).
4073.Определить силу притяжения однородным цилиндром , материальной точки Р(0,0,b), если масса цилиндра равна М, а масса точки m.
3
Демидович 40(77,78,82,83,91,92), 41(02,03,06,07,33,37,59).
Вычислить тройные интегралы:
4077., V.
4078.V.
4082.Расставить пределы интегрирования различными способами:
21
4083.Различными способами расставить пределы интегрирования:
Вычислить:
4091..
Указание: перейти в цилиндрическую систему координат.
4092.
Вычислить объёмы:
4102. z = x + y, z = xy, x + y =1, x = 0, y = 0.
4103.
4106..
4107. x2 + y2+ z2 = 2az; x2 + y2 z2.
Найти координаты центра тяжести тел, ограниченных поверхностями:
4133. ; z = c.4137. x2 + z2 = a2, y2 + z2 = a2, z 0.
Найти силу притяжения однородным цилиндром 2 + 2 a2, 0 h плотности 0 точки Р(0,0,z) c единичной массой.
Для заметок:
22
*** ДОП. МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И
КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.
Демидович. 41(61, 63, 74,76,79,96,97,98), 42(04,09,10).
Исследовать на сходимость несобственные интегралы с бесконечной областью интеграции(0m(x,y)M +);
4161..4163..
4174.Вычислить интеграл:.
4176.Переходя к полярным координатам вычислить:
.
Вычислить:
4179..4196..4197..4198..
Вычислить следующие многократные интегралы:
4204. a);
б).
4209.Найти объём n-мерной пирамиды:, (ai > 0,i= 1, 2,,n).
4210.Найти объём n-мерного конуса, ограниченного поверхностями:
; .
23