Ag1 = g1				æ	1 0 0 0ö
	Ag2 = g2		,	А	ç	÷
При этом					ç	0 1 0 0÷	. ▲.
	Ag = 2g			т.е. жорданова форма оператора :	ç	÷
					ç	0 0 2 1
	3	3				÷
	Ag4 = 2g4 + g3				ç	÷
					è	0 0 0 2ø

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И НАПОМИНАНИЯ

Def: Оператор А, действующий в вещественном линейном пространстве называется линейным, если "x, yÎV, "aÎR

1)A(x + y) = Ax + Ay

2)A(ax) = aA(x)

Def: Вектор xÎV, x ¹ 0 называется собственным вектором оператора А, если $aÎR такое, что Ax = ax и a при этом называется собственным значением оператора А.

1°. Собственные значения оператора А являются корнями характеристического уравнения det(A – lЕ) = 0. Наоборот, вообще говоря, неверно. Корень характеристического уравнения

является	собственным	значением оператора А только в случае,	когда этот корень
вещественен.
Def:	Оператор	А* называется сопряженным к оператору А,	если "х, yÎV, (Ax,
y) = (x, A*y).

2°. Каждый линейный оператор А имеет единственный сопряженный оператор, который также является линейным.

При доказательстве этой теоремы в комплексном пространстве используется понятие полуторалинейной формы. В вещественном пространстве используется понятие билинейной формы.

Def: Функция В(x, y) называется билинейной формой в V, если "x, yÎV, "a, bÎR:

1)B(a1x1 + a2x2, y) = a1B(x1, y) + a2B(x2, y)

2)B(x,b1y + b2y2) = b1B(x, y1) + b2B(x, y2)

3°. Для любой билинейной формы В(x, y) существует линейный оператор А такой, что В(x, y) = (Ax, y).

Aналогом эрмитовых форм в вещественном пространстве служат симметричные билинейные формы.

Def: Билинейная форма В(x, y) называется симметричной, если B(x, y) = B(y, x). Билинейная форма В(x, y) называется кососимметричной, если B(x, y) = ­B(y, x).

4°. Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососиметричной билинейной формы.

5°. Для того, чтобы билинейная форма B(x, y), заданная в вещественном евклидовом пространстве V, была симметричной необходимо и достаточно, чтобы оператор А в представлении B(x, y) = (Ax, y) был самосопряженным.

19

Т°. Все корни характеристического многочлена самосопряженного линейного оператора А в евклидовом пространстве – вещественны.

Пусть l = a + bi – корень характеристического уравнения det(A – lE) = 0. Пусть (aik)

– элементы матрицы оператора в некотором базисе {eik}, (aikÎR). Будем искать решение

системы	åaikzk = lzi , где l = a + bi. Система имеет решение i =1, 2, 3, …, n, ибо
	k

определитель системы равен 0. Пусть решение zk = xk + iyk ,					k = 1, 2, 3, …, n. Подставляя
в систему		и приравнивая вещественные		и мнимые части выражений, стоящих в левой и
правой частях равенства, имеем:			åaikyk	+ iåaikyk = (a + bi)(xi			+ yk ) ,
ïìåaikxk = axi - byi ,			k	k
				ìAx = ax - by,		.
í k		, или в векторном виде í
ï	åaikyk	= bxi + ayi		î Ay = ay + bx
î	k
	Умножим скалярно первое уравнение на y, а второе на x :
			(Ax,y) = α(x,y) − β(y,y)
			(y,Ay) = a(x,y) + b(x,x).
	Учитывая, что (Ax, y) = (x, Ay) (ведь А – самосопряженный)						имеем
	a(x, y) – b(y, y) = a(x, y) + b(x, x), т.е. b((x, x) + (y, y)) = 0 Þb = 0, т.е. l = aÎR

6°. У каждого линейного самосопряженного оператора А в n – мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов.

7°. В базисе из нормированных ортогональных собственных векторов матрица линейного самосопряженного оператора А имеет диагональный вид и по диагонали стоят собственные значения.

8°. В произвольном ортонормированном базисе матрица самосопряженного оператора будет симметричной (АТ = А). Верно и обратное. Этим вещественный случай отличается от комплексного: в комплексном случае оператор А является эрмитовым, когда матрица этого оператора эрмитова (т.е. aik = aki ).

§2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В комплексных унитарных пространствах рассматривались унитарные операторы, т.е. операторы, сохраняющие скалярное произведение ((Ux, Uy) = (x, y)), их аналогом в евклидовых пространствах являются ортогональные операторы.

Def: Линейный оператор P, действующий в евклидовом пространстве называется ортогональным, если "x, yÎV: (Px, Py) = (x, y).

Непосредственно из определения следует, что если {ek} ортогональный базис в V, то {Pek} тоже ортогональный базис в V.

Т°. Чтобы линейный оператор P был ортогональным необходимо и достаточно, чтобы существовал оператор P–1 и выполнялось равенство P* = P–1.

Необходимость. Пусть P – ортогональный.

(P*Px, y) = (Px, Py) = (x, y) Þ((P*P – Е)x, y) = 0 ÞP*P = Е Þ(Px, Py) = (x, y) ÞP* = P–1. Достаточность. Пусть P* = P–1, (x, y) = (x, P–1Py) = (x, P*Py) = (Px, Py)

Def: Матрица называется ортогональной, если PTP = PPT = E.

20

Если е1, е2, …, еn ортонормированный базис в V, то оператор P будет ортогональным тогда и только тогда когда матрица оператора будет ортогональной.

В унитарном пространстве аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица, т.е. такая матрица U, что U*U = UU* = E. Здесь U* эрмитово сопряженная матрица,

т. е. U* = UT . Нетрудно показать, что в ортонормированном базисе матрица линейного оператора U унитарна тогда и только тогда, когда оператор U унитарен.

Рассмотрим ортогональное преобразование в одномерном случае "хÎV1, x = ae,

aÎR, тогда Pe = le Þ (Pe, Pe) = (le, le) = l2 (e, e) = (e, e), т.е. l2 = 1, l = ± 1, таким образом, в одномерном пространстве существует два ортогональных преобразования P+x

= x и P–x = – x.

Рассмотрим ортогональное преобразование в двумерном случае. Если P задается

æa bö

матрицей ç ÷ , то из условия PTP = PPT = E следует, что

çè c d÷ø

æa böæa cö æ				1 0ö		a2 + b2 = 1,			ac+ bd= 0,
ç	÷ç	÷ = ç		÷ Þ		2	2
ç	÷ç	÷	ç	÷
è c døèb dø è				0 1ø		c	+ d = 1,
æa cöæ a bö æ				1 0ö	Þ	a2 + c2 = 1,			ab+ cd= 0,
ç	÷ç	÷	= ç	÷		b2	+ d2	= 1,
èb døè c dø è				0 1ø

a2 = d2

2

2

ac+ db= 0

т.е. b2 = c2 ,

a

+ b

= 1,

ab+ cd= 0

.

Положив

a = cosj, b

= –

sinj,

получим

æ cosj

- sinj ö

, причем во второй строке надо брать либо оба минуса,

либо оба

P± = ç

÷

ç

÷

è ± sinj ± cosjø

плюса. При этом detP± = ± 1.

Ортогональная

матрица

P+

называется

собственной,

а

P− называется

несобственной.

В ортонормированном базисе {e1, e2} оператор P+ осуществляет поворот на угол φ в

плоскости {e1, e2}. Записав P−

= QP+, где

æ

1 0

ö

, можем сказать, что P− осуществляет

Q = ç

÷

ç

÷

поворот на угол φ в плоскости {e1, e2}

è

0 -1ø

(P+), а затем отражение относительно оси e1 (Q).

В общем случае в n­мерном евклидовом пространстве произвольный ортогональный оператор P в некотором ортонормированном базисе {е1, е2, …, еn} может быть записан в виде:

æ	1			ö
ç	1			÷
ç	...			÷
ç		-1	0	÷
ç				÷
ç		- 1		÷
ç		... cosj - sinj	1	÷ .
ç		1		÷
	0	sinj1 cosj1
ç				÷
ç				÷
ç			... cosjk - sinjk ÷
ç			- sinjk - cosjk ÷
ç			...	÷
è				ø

21

Таким образом, в некотором ортонормированном базисе действие ортогонального оператора сводится к последовательным поворотам и отражениям относительно координатных осей.

БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К СУММЕ КВАДРАТОВ В ОРТОГОНАЛЬНОМ БАЗИСЕ

Т°. Пусть B(x, y) – симметричная билинейная форма в евклидовом пространстве V. Тогда существует ортонормированный базис {ek} пространства V и существуют

lkÎR такие, что в указанном базисе квадратичная форма B(x,x) = ålkzk2 .

k

B(x, y) – симметричная билинейная форма Þ$A – самосопряженный такой, что B(x,

y) = (Ax, y) Þ для A ${ek} ортонормированный собственный базис Þ "xÎV,							x = åxkek ;
							k
		æ			ö	=
Ax = åxkAek = ålkxkek ÞB(x, x) = A(x, x) = ç			ålkxkek, ålkxkek ÷
k	k	è	k	k	ø

=	åålkxkxm(ek ,em) = ålkxkxmdkm = ålkx2k
	k m	k,m	k
		§2. ОДНОВРЕМЕННОЕ ПРИВЕДЕНИЕ ПАРЫ КВАДРАТИЧНЫХ
		ФОРМ К СУММЕ КВАДРАТОВ
	Т°. Пусть A(x, y) и B(x, y) – симметричные билинейные формы в вещественном
	линейном пространстве V. Пусть, кроме того, "xÎV, x ¹ 0, B(x, x) > 0, т.е.
	квадратичная форма B(x, x) положительно определена. Тогда в V существует
	базис {ek}, в котором:		A(x,x) = ålkz2 k;	B(x,x) = åz2k .
			k	k
		Рассмотрим билинейную форму B(x, y) полярную к квадратичной форме B(x, x).

Учитывая свойства B(x, x) в посылке теоремы, форма B(x, y), может задавать скалярное произведение в V (x, y) º B(x, y), теперь V стало евклидовым пространством Þ${ek} –

ортонормированный базис, в котором		A(x,x) = ålkz2k	, при этом в ортонормированном
базисе (x,x) = åz2k = B(x,x)		k
k

Две последние теоремы дают доказательство существования и способ построения канонического базиса квадратичной формы.

Этот способ не более сложен чем, скажем, методы Лагранжа или Якоби, рассмотренные ранее. Однако доказательство полезно тем, что иллюстрирует применение самосопряженных операторов и выглядит здесь достаточно мощно.

§3. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ

Рассмотрим произвольную дифференцируемую функцию f на некоторой гладкой поверхности S. Точка х0ÎS называется стационарной (критической) точкой, если в x0 производная f по любому направлению на поверхности S равна нулю.

22

= 2(lk - l)xk = 0, k = 1, 2, …, n.

Мы исследуем вопрос о стационарных (в частности экстремальных) точках и значениях квадратичной формы B(x, x) на сфере единичного радиуса в евклидовом пространстве V и о связи этих значений с собственными векторами и значениями самосопряженного оператора А, такого, что (Ax, y) = B(x, y). При этом единичной сферой в V назовем множество хÎV для которых (x, x) = ||x|| = 1.

Итак: пусть B(x, x) – квадратичная форма, B(x, y) – полярная ей симметричная билинейная форма, A – самосопряженный оператор: B(x, y) = (Ax, y), тогда в базисе из

собственных векторов оператора А : B(x,x) = ål x2 , здесь λ – собственные значения А.

k k k

k

Договоримся, что l1 ³ l2 ³ l3 ³ l4 ³ … ³ ln . Заметим, что в выбранном базисе уравнение единичной сферы таково: åk x2k - 1= 0.

Т°. Стационарные значения квадратичной формы B(x, x) на единичной сфере равны собственным значениям λk оператора А. Эти стационарные значения достигаются

на единичных собственных векторах еk оператора А.

Задача: найти точки экстремума B(x, x) при условии (x, x) = 1. Этo задача на условный экстремум.

Можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа:	L = ålkx2k - l(åx2k - 1).		Необходимое условие экстремума:
	k	k

åx2k

k

= 1 и ∂L ¶zk

Здесь lk – неопределенные множители Лагранжа.

Решение этой системы: l = lk , x1 = 0, ,xk−1 = 0, xk = 1, т.е. эти решения – xk+1 = 0, ,xn = 0,

собственные значения и собственные векторы оператора А.

Примечание: Числа λ1 и λn являются собственно наибольшим и наименьшим значением

l

£ B(x,x) £ l

1

B(x,

x)

на

сфере

(x,

x)

=

1,

т.е.

n

принципРэлея

,

lmax = sup(A(x,x)

(x,x))

supB(x,x)

ln £

A(x,x) (x,x)

£ l1

=

lmin = inf(A(x,x)

(x,x)) =

infB(x,x) .

x

=1

x =1

l

£ B(x,x) £ l

Неравенства

n 1

характеризуют, так называемый, принцип Рэлея.

принципРэлея

ln £ A(x,x) (x,x) £ l1

При этом, lmax = sup(A(x,x)

(x,x)) =

supB(x,x) ,

lmin = inf(A(x,x)

(x,x)) =

infB(x,x)

x =1

x

=1

Для нахождения наибольшего по модулю собственного значения оператора А, можно

å

å

æ l

i

ök

применить следующую процедуру: . v=

a e Þ Akv=

a

lke =lk

a ç

÷

e » a

lke ;

i i

i

i i

i å

i ç

÷

i

i

i i

i

i

i

è l1

ø

Ak+1v

»

a lk+1e

= l ; li

=

(Ak+1v)

® cons.

k

i

k

i

k

i

i

(A v)

A v

a

l

e

i

i

i

i

23