Типовые расчеты ИТМО

Функция распределения вероятностей случайной величины X равна

0x, dt

x + 1

x ≤ −1;

∫−

3 ,

−1 < x ≤ 1;

x

1 3

=

F (x) =

f(t) dt =

2/3,

1 < x

≤

2;

∫

x

2

2

2

(x

2)

2

−

2 < x 3;

−∞

+

∫2

(t 2) dt = +

,

3

−

3

3

≤

3

1,

x > 3.

Чтобы найти медиану распределения достаточно найти решение уравнения F (x) = 1/2. В рассматриваемом примере нас интересует корень уравнения

x + 1		=	1	,	òàê êàê F (1) =	2	.	Следовательно, med(X) =	1	.
3			2
						3			2

Тест-проверка: F ′(x) = f(x), если существует производная функции распределения; найденная функция распределения F (x) является непрерывной

и монотонно не убывает; limx→−∞ F (x) = 0, limx→+∞ F (x) = 1. Следовательно, найденная функция является функцией распределения вероятностей распределения с заданной плотностью.

Задача 1.

Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

f(x) = ax2e−kx ãäå k > 0, 0 ≤ x < ∞.

Найти: а) коэффициент a è ìîäó mod(X);

б) функцию распределения случайной величины X; â) P{X (0, 1/k)}.

Задача 2.

Случайная величина X имеет функцию распределения

		0,			x ≤ 0;
			−			≤
					0 < x		2;
	F (x) =	x2/16,				≤
		x 7/4,			2 < x 11/4;
Найти: а) плотность
					x > 11/4.
		1,		f(x)				F (x)
	распределения				, построить графики				è	;
										f(x)

б) математическое ожидание EX, дисперсию DX и медиану med(X); â) P{X [1; 1, 5]}.

Задача 3.

Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

F (x) = A + B arctgx, −∞ < x < ∞.

33

Найти: а) постоянные A è B;

б) плотность распределения f(x), построить графики F (x) è f(x); â) ìîäó mod(X) и медиану med(X) распределения;

г) выяснить, существует ли EX.

Задача 4.

Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

f(x) =	0,	x ≤ 1;
	{A/x2,	x > 1.

Найти: а) коэффициент A;

б) функцию распределения F (x), построить графики F (x) è f(x); в) математическое ожидание EX, дисперсию DX и медиану med(X); г) вероятность попадания случайной величины X в интервал (2, 3);

д) вероятность того, что при четыр¼х независимых испытаниях случайная величина X ни разу не попад¼т на отрезок [2, 3].

Задача 5.

График плотности распределения случайной величины X ïðè |x| ≤ a представляет собой полуэллипс с большей полуосью a (a известно).

Найти: а) полуось b;

б) аналитическое задание f(x);

в) моменты EX, DX, ìîäó mod(X) и медиану med(X); г) вероятность P{a/2 < X < a}.

Задача 6.

Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

		0,	−	≤
			x ≤ −1;
F (x) =	A + B arcsin x,		1 < x	1;
			x > 1.
	1,

Найти: а) коэффициенты A è B, медиану med(X);

б) функцию плотности f(x), построить графики F (x) è f(x); в) математическое ожидание EX и дисперсию DX.

Задача 7.

Случайная величина X распределена по закону прямоугольного треугольника, в интервале (0, a).

34

Найти: а) аналитическое задание f(x);

б) функцию распределения F (x), медиану med(X); в) вероятность P{a/2 ≤ X < a};

г) моменты EX, DX.

Задача 8.

Функция распределения случайной величины X задана графиком

Найти математическое ожидание EX, дисперсию DX и медиану med(X).

Задача 9.

Случайная величина X подчинена закону равнобедренного треугольника на участке [−a; a].

Найти: а) аналитическое задание f(x); б) функцию распределения F (x); в) вероятность P{a/2 ≤ X < a};

г) математическое ожидание EX, дисперсию DX, ìîäó mod(X) и медиану med(X).

Задача 10.

Случайная величина имеет распределение Коши с плотностью

a

f(x) = 1 + x2 , ïðè − ∞ < x < ∞.

Найти: а) коэффициент a;

б) функцию распределения F (x); â) ìîäó mod(X) и медиану med(X); г) вероятность P{X [−1, 1]};

д) выяснить, существует ли EX.

Задача 11.

Случайная величина X имеет экспоненциальное распределение с параметром

35

λ > 0, то есть распределение с плотностью

f(x) =	λe−x,	x ≥ 0;
	{0,	x < 0.

Найти: а) функцию распределения F (x);

б) вероятность P{X < EX} и медиану med(X).

Задача 12.

Случайная величина X имеет распределение с плотностью f(x) = a e−|x− | , ãäå α > 0 è β фиксированные параметры (распределение Лапласа).

Найти: а) коэффициент a;

б) функцию распределения F (x);

в) математическое ожидание EX, дисперсию DX, ìîäó mod(X) и медиану med(X) .

Задача 13.

Функция распределения случайной величины X имеет вид:

	1		x3
			−	0	,	x ≥ x0;
F (x) =				x3
x0 некоторое заданное						x < x0,
		0,

ãäå	положительное число. Найти математическое
ожидание EX, дисперсию DX и медиану med(X).

Задача 14.

Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

		1
		π√				,	x (−a, a);
f(x) =			a2	−	x2
ãäå a известное		0,					x / ( a, a),
							−

положительное число. Найти математическое ожидание EX, дисперсию DX, медиану med(X) и вероятность P{0 < X < 2a}.

Задача 15.

Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

{

f(x) =	a cos x,	x (−π/2, π/2);
	0,	x / (−π/2, π/2).

Найти: а) коэффициент a;

б) функцию распределения F (x);

в) математическое ожидание EX, дисперсию DX, ìîäó mod(X) и медиану med(X);

г) вероятность P{0 ≤ X < 3π/4}.

36

Задача 16.

Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

				x		0;
		A,
F (x) =		B sin2(x/2),		x	≤	(0, π];
Найти: а) коэффициенты			;
	A,			x > π.
		C,

B, C

б) плотность распределения f(x); в) вероятность P{0 ≤ X < π/2};

г) математическое ожидание EX, дисперсию DX, ìîäó mod(X) и медиану med(X).

Задача 17.

Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

				0,	x		0;
f(x) =			A/ cos2 x,		x	≤	(0, π/4);
Найти: а) коэффициент	A	;				≥
					x		π/4.
			0,

б) функцию распределения F (x);

в) математическое ожидание EX и медиану med(X); г) вероятность P{π/8 ≤ X < π/4}.

Задача 18.

Дана функция

				−	x		0;
		0,
f(x) =		λ(3x			x2), x	≤	(0, 3);
Найти: а) при каком λ			f(x)
					x		3.
		0,				≥
	функция				является плотностью распределения

вероятностей некоторой случайной величины X;

б) математическое ожидание EX, дисперсию DX, ìîäó mod(X) и медиану med(X).

Задача 19.

Дана плотность распределения случайной величины X:

				0,	−		x		0;
f(x) =			α(x x2			/3),	x	≤	(0, 3);
Найти: а) коэффициент	α	;						≥
							x		3.
			0,

б) функцию распределения F (x);

37

в) математическое ожидание EX, дисперсию DX, ìîäó mod(X) и медиану med(X).

Задача 20.

Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

{

a/x3, x (1, 4);

f(x) =

0, x / (1, 4).

Найти: а) коэффициент a;

б) функцию распределения F (x);

в) математическое ожидание EX, дисперсию DX и медиану med(X); г) вероятность P {3 ≤ X < 5}.

Задача 21.

Дана плотность распределения случайной величины X:

a

f(x) = ex + e−x .

Найти: а) коэффициент a;

б) функцию распределения F (x);

в) вероятность P{X ≥ 0}, ìîäó mod(X) и медиану med(X).

Задача 22.

Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

f(x) =	a sin x,	x (0, π);
	{0,	x / (0, π).

Найти: а) коэффициент a;

б) функцию распределения F (x);

в) математическое ожидание EX и дисперсию DX;

г) вероятность P{π/2 ≤ X < 3π/2}, ìîäó mod(X) и медиану med(X).

Задача 23.

Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

f(x) =	−3x2/4 + 6x − 45/4,	x (3, 5);
{	0	x / (3, 5).

Найти: а) функцию распределения F (x);

б) математическое ожидание EX, дисперсию DX, ìîäó mod(X) и медиану med(X).

Задача 24.

Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

		π√	1		,	x (−3, 3);
f(x) =			9	x2
		0,	−			ïðè x / ( 3, 3).
						−

38

Найти моменты EX, DX и медиану med(X). Какое событие вероятнее: {X < 1} èëè {X > 1}?

Задача 25.

Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

		x		0;
	0,
F (x) =	ax3,	x	≤	(0, 1];
Найти: а) коэффициент a;
		x > 1.
	1,

б) плотность распределения случайной величины f(x);

в) математическое ожидание EX, дисперсию DX и медиану med(X); г) вероятность P{X (0.2, 0.8)}.

Построить графики функций f(x) è F (x).

Задача 26.

Плотность распределения вероятностей случайной величины X имеет вид:

f(x) =	A(4x	−	x2),	x (0, 4);
	{0,			x / (0, 4).

Найти коэффициент A, функцию распределения F (x), вероятность P{−2 ≤ X ≤ 3}, математическое ожидание EX, дисперсию DX, ìîäó mod(X) и медиану med(X).

Задача 27.

Случайная величина R имеет распределение Рэлея, то есть распределение с

плотностью	Are−h2r2 ,	r ≥ 0;
f(r) =
	{0,	r < 0,

ãäå h известное положительное число. Найти коэффициент A, математиче- ское ожидание ER, дисперсию DR, ìîäó mod(R) и медиану med(R).

Задача 28.

Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

{

f(x) =	c/x,	x (1/e, e);
	0,	x / (1/e, e).

Найти: а) коэффициент c;

б) функцию распределения F (x);

в) математическое ожидание EX, дисперсию DX и медиану med(X); г) вероятность P {e/2 ≤ X < 3e/2}.

Задача 29.

39

Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

{

f(x) =	c arctgx,	x (0, 1);
	0,	x / (0, 1).

Найти: а) коэффициент c;

б) функцию распределения F (x);

в) математическое ожидание EX и медиану med(X).

Задача 30.

Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

f(x) =	a cos2 x,	x	≤ π/2;
	{0,	|x|	> π/2.
		| |

Найти: а) коэффициент a;

б) математическое ожидание EX, ìîäó mod(X) и медиану med(X);

в) вероятность того, что в двух независимых испытаниях случайная величина X примет значения больше π/4.

Тема 7. Функции случайных величин.

Пусть X случайная величина, а g = g(x) борелевская (например, непрерывная) функция, определенная при любом значении x случайной величины X. Обозначим через Y = g(X) функцию от случайной величины X. Нас будет интересовать закон распределения случайной величины Y при условии, что закон распределения X и функция g = g(x) известны. Мы приведем неко-

торые общие сведения и рассмотрим примеры нахождения закона распределения при условии, что X непрерывная случайная величина, а g = g(x)

почти везде дифференцируемая функция. Пусть FX (u) è fX (u) функция распределения и плотность распределения случайной величины X, à FY (v) è fY (v) функция распределения и плотность распределения случайной ве-

личины Y . По определению FY (v) = P{Y < v}. Если функция y = g(x) монотонно возрастает и x = g−1(y) обратная функция, то

FY (v) = P{Y < v} = P{X < g−1(v)} = FX (g−1(v)).

В общем случае обозначим через Dv множество значений "x" случайной величины X, для которых y = g(x) < v: Dv = {x : y = g(x) < v}. Тогда

FY (v) = P{Y < v} = P{X Dv} = ∫	fX (t) dt.
Dv

40

Пример 1. Пусть X непрерывная случайная величина. Найти функцию

распределения FY (v) и плотность распределения fY (v) случайной величины

Y = X2.

Решение. Åñëè v ≤ 0, то множество Dv пусто: Dv = {x : x2 < v} = .

Следовательно, F

(v) = P Y

D

v}

= 0, f

Y

(v) = F ′

(v) = 0 ïðè v

≤

0. Ïðè

Y

{

Y

v > 0 множество Dv имеет вид:

Dv = {x : x2 < v} = {x : −√

< x < √

}.

v

v

Отсюда при v > 0 получаем, что

FY (v) = P{X

2

< v} = P{−

√

√

√

√

v < X < v} = FX ( v) − FX (− v),

и, дифференцируя по v, получим выражение для плотности распределения случайной величины Y через плотность случайной величины X:

fY (v) =

dv

= dv

(FX (√v) − FX (−√v)) = 2√v (fX (√v) + fX (−√v)).

dFY (v)

d

1

Пример 2. Пусть случайная величина X равномерно распределена на промежутке [2, 6]. Найти функцию распределения FY (v) и плотность распределения fY (v) случайной величины Y = |3 − X|.

Решение. При v ≤ 0 множество Dv пусто: Dv = {x : |3 − x| < v} = . Следовательно, FY (v) = P{Y Dv} = 0, fY (v) = FY′ (v) = 0 ïðè v ≤ 0. Ïðè v > 0 множество Dv имеет вид:

Dv = {x : |3 − x| < v} = {x : 3 − v < x < 3 + v}.

Отсюда при v > 0

FY (v) = P{|3 − X| < v} = P{3 − v < X < 3 + v} = FX (3 + v) − FX (3 − v).

По условию случайная величина X распределена равномерно на отрезке [2, 6], а значит е¼ функция распределения имеет вид:

−

u

2;

FX (u) = (0u,

2)/4,

u

≤

(2, 6];

Заметим, что

, когда

, è

, когда

.

1,

u > 6.

2 < 3

−

v < 3

0 < v < 1

3

−

v

≤

2

v

≥

1

Следовательно,

F

X

(3

−

v) =

0,

v)/4,

v ≥ 1;

{(1

−

0 < v < 1.

41

Аналогично,	{
	(1 + v)/4,	0 < v < 3;
	FX (3 + v) =	v ≥ 3.
	1,

Таким образом,

0,

v/2,

FY (v) =

(v + 1)/4,

1,

v ≤ 0;

v (0, 1]; v (1, 3]; v > 3,

0,

fY (v) = 1/2,

1/4,

v < 0 èëè v > 3; v (0, 1);

v (1, 3).

Для нахождения моментов случайной величины Y = g(X) функции от непрерывной случайной величины X можно пользоваться следующими формулами для нахождения математического ожидания EY :

EY = E(g(X)) = ∫∞ g(u)fX (u) du =	∫∞ vfY (v) dv,	(5)
−∞	−∞

а также определением и свойствами моментов. В задачах этой темы требуется вычислять вторые начальные E(XY ) и центральные cov(X, Y ) =

E((X − EX)(Y − EY )) смешанные моменты. Второй центральный смешанный момент cov(X, Y ) называется ковариацией. В общем случае для нахож-

дения этих моментов необходимо знать совместное распределение случайных величин X è Y , то есть распределение случайного вектора (X, Y ). Â ñëó-

чае функциональной зависимости Y = g(X) достаточно знать распределение случайной величины X. Åñëè X непрерывная случайная величина, то

∫∞

E(X · Y ) = E(X · g(X)) = x g(x)fX (x) dx.

−∞

Следующие формулы справедливы при условии, что все входящие в них моменты существуют, то есть соответствующие интегралы абсолютно сходятся. Для вычисления моментов можно пользоваться линейностью математического ожидания: E(aX+bY +c) = a EX+b EY +c для любых случайных величин

X, Y и произвольных вещественных чисел a, b, c. Удобно использовать следующие свойства моментов:

D(aX + b) = a2 DX, a, b R; cov(X, Y ) = cov(Y, X) = E(XY ) −EXEY.

Отсюда

cov(aX + b, cY + d) = ac cov(X, Y ), a, b, c, d R; cov(X, X) = DX.

42