Типовые расчеты ИТМО

Пример 3. Предположим, что случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами a è σ2, σ > 0. Пусть Y = −3X2, Z = 3X −

2Y + 5, T = 2X + 3. Найти EZ è cov(X, T ).

Решение. Напомним, что EX = a, DX = σ2. В силу линейности матема- тического ожидания имеем

EZ = E(3X − 2Y + 5) = 3EX − 2EY + 5 = 3a + 6E(X2) + 5.

Поскольку σ2 = DX = E(X2) − (EX)2, òî E(X2) = σ2 + a2, откуда

EZ = 3a + 6σ2 + 6a2 + 5.

Далее, используя свойства ковариации, получим

cov(X, T ) = cov(X, 2X + 3) = 2cov(X, X) = 2DX = 2σ2.

Пример 4. В условиях предыдущего примера при a = −1, σ2 = 2 найти

E|X + 1|.

Решение. Плотность распределения случайной величины X N (−1, 2)

	имеет вид:	1			(−		+ 1)2	).
						(t
	f(t) =	2√		exp
							4
			π

Для нахождения математического ожидания воспользуемся первой частью формулы (5):

∞

1

∫

|t + 1| exp(−(t + 1)2/4) dt =

E|X + 1| =

2√

π

−∞

−1

∞

1

∫

(t + 1) exp(−(t + 1)2/4) dt +

1

∫

(t + 1) exp(−(t + 1)2/4) dt.

= −

2√

2√

π

π

−∞

−1

√

Сделав в каждом из интегралов замену переменной y = (t + 1)/ 2, получим

1

∫0

E|X + 1| = −√π

−∞

2 = √

π

					∞
y exp(−y2		1			∫0		y exp(−y2/2) dy =
		/2) dy +	√
				π
∞
∫0	exp(−y2/2) d(y2/2)						2
					=	√			.
								π

43

Задача 1.

Функция распределения FX (t) случайной величины X имеет вид:

F		(t) =	1	exp( 2t),	t ≥ 0,
	X		{0,−	−	t < 0.

Случайные величины Y = 2/X è Z = 2X + 5 являются функциями от слу- чайной величины X.

Найти: а) функцию распределения FY (v) и плотность распределения fY (v) случайной величины Y ;

б) моменты EZ, DZ, cov(X, Z) .

Задача 2.

Функция распределения FX (t) случайной величины X имеет вид:

F		(t) =	1 − exp(−t),	t ≥ 0,
	X		{0,	t < 0.

Случайные величины Y = X2 è Z = −3X + 2 являются функциями от случайной величины X.

Найти: а) плотность распределения fY (v) случайной величины Y ; б) моменты EZ, DZ, cov(X, Z).

Задача 3.

Функция распределения FX (t) случайной величины X имеет вид:

F		(t) =	1 − exp(−3t),	t ≥ 0,
	X		{0,	t < 0.

Случайные величины Y = 2X +1 è Z = −2X2 −Y 2 −9XY +2X −1 являются функциями от случайной величины X.

Найти: а) функцию распределения FY (v) случайной величины Y ; б) математическое ожидание EZ.

Задача 4.

Функция распределения FX (t) случайной величины X имеет вид:

F		(t) =	1 − exp(−2t),	t ≥ 0,
	X		{0,	t < 0.

Случайные величины Y = 1 − exp(−2X) è Z = X2 + 2Y 2 − 2XY + 3Y − 1 являются функциями от случайной величины X.

Найти: а) функцию распределения FY (v) случайной величины Y ; б) математическое ожидание EZ.

Задача 5.

44

Случайная величина имеет стандартное нормальное распределение. Слу- чайные величины Y = −X2 è Z = −X2 + 2Y 2 − 3XY + 2X + 3 являются

функциями от случайной величины X.

Найти: а) плотность распределения fY (v) случайной величины Y ; б) математическое ожидание EZ.

Задача 6.

Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами a = 1, σ = 2. Случайные величины Y = (1 −X)/2 è Z = 3X2 −2Y 2 + XY −X + 4 являются функциями случайной величины X.

Найти: а) плотность распределения fY (v) случайной величины Y ; б) математическое ожидание EZ.

Задача 7.

Случайная величина X имеет стандартное нормальное распределение. Слу- чайные величины Y = X2 è Z = −X2 + 2Y 2 + 2XY + Y + 1 являются функциями от случайной величины X.

Найти: а) плотность распределения fY (v) случайной величины Y ; б) математическое ожидание EZ.

Задача 8.

Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами a = −1, σ = 3. Случайные величины Y = |X +1| è Z = −X2 +2Y 2/3−X +2Y +1 являются функциями случайной величины X.

Найти: а) плотность распределения fY (v) случайной величины Y ; б) математическое ожидание EZ.

Задача 9.

Плотность распределения fX (t) случайной величины X имеет вид (равномерное на промежутке [1, 4] распределение):

{

1/3, t [1, 4],

fX (t) =

0, t / [1, 4].

Случайные величины Y = FX (X), ãäå FX (t) - функция распределения слу- чайной величины X, è Z = −2X2 + Y 2 − 2XY + Y − 1 являются функциями

от случайной величины X.

Найти: а) функцию распределения FY (t) случайной величины Y ; б) математическое ожидание EZ.

Задача 10.

Плотность распределения fX (x) случайной величины X имеет вид (равномерное на промежутке [−2, 3] распределение):

{

1/5, x (−2, 3),

fX (x) =

0, x / (−2, 3).

45

Случайные величины Y = X2 è Z = −2X + 4 являются функциями от слу- чайной величины X.

Найти: а) функцию распределения FY (y) случайной величины Y ; б) моменты EZ, DZ, cov(X, Z).

Задача 11.

Плотность распределения fX (x) случайной величины X имеет вид (равномерное на промежутке [−1, 2] распределение):

{

1/3, x (−1, 2),

fX (x) =

0, x / (−1, 2).

Случайные величины Y = X2 è Z = 5X − 3 являются функциями от слу- чайной величины X.

Найти: а) функцию распределения FY (y) случайной величины Y ; б) моменты EZ, DZ, cov(X, Z).

Задача 12.

Плотность распределения fX (x) случайной величины X имеет вид (равномерное на промежутке [−2, 4] распределение):

{

1/6, x [−2, 4],

fX (x) =

0, x / [−2, 4].

Случайные величины Y = X2 è Z = −3X + 2 являются функциями от случайной величины X.

Найти: а) плотность распределения fY (y) случайной величины Y ; б) моменты EZ, DZ, cov(X, Z).

Задача 13.

Плотность распределения fX (x) случайной величины X имеет вид:

f (x) =	a sin x,	x (0, π),
X	{0,	x / (0, π).

Случайные величины Y = cos X − 2 è Z = −X + 1 являются функциями от случайной величины X.

Найти: а) постоянную a;

б) функцию распределения FY (x) случайной величины Y ; в) моменты EZ, DZ, cov(X, Z).

Задача 14.

Плотность распределения fX (x) случайной величины X имеет вид:

f (x) =	a/x4,	x ≥ 1,
X	{0,	x < 1.

46

Случайные величины Y = ln X è Z = 2X + 3 являются функциями от слу- чайной величины X.

Найти: а) постоянную a;

б) плотность распределения fY (x) случайной величины Y ; в) моменты EZ, DZ, cov(X, Z).

Задача 15.

Функция распределения FX (t) случайной величины X имеет вид:

F			(t) =	1			exp( 3t),	t ≥ 0,
		X	{0,−				−	t < 0.
Случайные величины			√			è	Z = −2X + 3		являются функциями от
				X
	Y =

случайной величины X.

Найти: а) плотность распределения fY (v) случайной величины Y ; б) моменты EZ, DZ, cov(X, Z).

Задача 16.

Функция распределения FX (t) случайной величины X имеет вид:

F		(t) =	1	exp( 4t),	t ≥ 0,
	X		{0,−	−	t < 0.

Случайные величины Y = ln(X/2) è Z = 2X − 4X2 + 3 exp X + 1 являются функциями от случайной величины X.

Найти: а) плотность распределения fY (v) случайной величины Y ; б) математическое ожидание EZ.

Задача 17.

Плотность распределения fX (t) случайной величины X имеет вид:

f (t) =	2 exp(−2t),	t ≥ 0,
X	{0,	t < 0.

Случайные величины Y = exp(−2X) è Z = 3X − 2 являются функциями от случайной величины X.

Найти: а) функцию распределения FY (y) случайной величины Y ; б) моменты EZ, DZ, cov(X, Z).

Задача 18.

Функция распределения FX (t) случайной величины X имеет вид:

F		(t) =	1	exp(	3t),	t ≥ 0,
	X	{0,−			−	t < 0.
Случайные величины Y		= exp(X) è Z = X2 − XY + 3Y − 1 являются
функциями от случайной величины X.

47

Найти: а) плотность распределения fY (v) случайной величины Y ; б) математическое ожидание EZ.

Задача 19.

Плотность распределения fX (x) случайной величины X имеет вид:

c fX (x) = 1 + x2 .

Случайные величины Y = 1/X è Z = arctgX являются функциями от слу- чайной величины X.

Найти: а) постоянную c;

б) функцию распределения FY (y) и плотность распределения fY (v) случайной величины Y ;

в) моменты EZ, DZ.

Задача 20.

Плотность распределения fX (t) случайной величины X имеет вид:

{

at2, t [−1, 2],

fX (t) =

0, t / [−1, 2].

Случайные величины Y = X2 è Z = 2X − 3Y 2 − 2XY + 4 являются функциями от случайной величины X.

Найти: а) коэффициент a;

б) функцию распределения FY (y) случайной величины Y ; в) математическое ожидание EZ.

Задача 21.

Плотность распределения fX;Y (x, y) системы случайных величин (X, Y ) имеет вид:

exp( 3x),		åñëè x		0 è y		[1, 4],
fX; Y (x, y) = {0	−	иначе.	≥

Случайные величины Z = |2Y −1| è T = 2X −Y/3 + 2 являются функциями от случайных величин X, Y .

Найти: а) плотность распределения fZ(z) случайной величины Z; б) дисперсию DT .

Задача 22.

Плотность распределения fX;Y (x, y) системы случайных величин (X, Y ) имеет вид:

6 exp(		2x		3y),	åñëè x		0 è y		0,
fX; Y (x, y) = {0	−		−		иначе.	≥		≥

Случайные величины Z = |2Y +1| è T = −3X +2Y −1 являются функциями от случайных величин X, Y .

48

Найти: а) плотность распределения fZ(z) случайной величины Z; б) дисперсию DT .

Задача 23.

Плотность распределения fX;Y (x, y) системы случайных величин (X, Y ) имеет вид:

		2			(x − 3)2
			exp				2y ,	åñëè y 0,
fX; Y (x, y) =		√2π	0		2	−	)	иначе.	≥
			(−
Случайные величины				è	T = −3X + Y/2			являются функциями
	Z = |X − 3|

от случайных величин X, Y .

Найти: а) плотность распределения fZ(z) случайной величины Z; б) дисперсию DT .

Задача 24.

Плотность распределения fX;Y (x, y) системы случайных величин (X, Y ) имеет вид:

		3			(x − 1)2
			exp				3y ,	åñëè y 0,
fX; Y (x, y) =		√3π	0		3	−	)	иначе.	≥
			(−
Случайные величины				è	T = 2X + Y − 5			являются функциями
	Z = |Y − 2|

от случайных величин X, Y .

Найти: а) функцию распределения FZ(z) случайной величины Z; б) дисперсию DT .

Задача 25.

Случайные величины X1 è X2 независимы и имеют распределение Бернулли, задаваемые рядами распределения:

X1	0	1	è	X2	0	1
P	1/2	1/2		P	2/3	1/3

Найти: а) закон распределения случайной величины Y = X1 + X2;

b) математическое ожидание E(2X12 − X22 + 2X1X2 + 4X2 − 3).

Задача 26.

Случайные величины X1 è X2 независимы и имеют экспоненциальное распределение, задаваемое плотностью распределения:

f(x) =	3 exp(		3x),	x ≥ 0,
	{0,	−		x < 0.

Найти: а) плотность распределения случайной величины Y = X1 + X2; б) математическое ожидание E(X12 − 4X1X2 + 2X2 − 2).

49

Задача 27.

Случайные величины X1 è X2 независимы и имеют распределение Пуассона с параметрами λ1 = 1 è λ2 = 2 соответственно.

Найти: а) закон распределения случайной величины Y = X1 + X2, б) математическое ожидание E(2X12 − 3X1X2 + 2X2 − 1).

Напомним, что случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром λ > 0, åñëè P{X = m} = exp(−λ) λm/m!, m = 0, 1, 2, . . ..

Задача 28.

Случайные величины X è Y независимы и имеют стандартное нормальное

распределение.

Найти: а) закон распределения случайной величины Z = X + Y ; б) математическое ожидание E(−3X2 + Y 2 + 3XY + 1).

50

Задача 29.

Определить функции распределения случайных величин Z1 = max(X, Y ) è Z2 = min(X, Y ), ãäå X è Y независимые случайные величины, имеющие функции распределения FX (t) è FY (t) соответственно.

Задача 30.

Плотность распределения fX;Y (x, y) системы случайных величин (X, Y ) èìå-

	åò âèä:	1		(−	x2 + y2	).
	fX;Y (x, y) =		exp
		2π			2

Найти: а) закон распределения полярных координат точки (X, Y ); б) дисперсию D(−3X + Y ).

Математическая статистика.

Методические указания

Задачи математической состоят в построении вероятностной модели соответствующей наблюдениям, полученным в результате статистического эксперимента. В предлагаемых далее задачах мы предполагаем, что наблюдения получены в результате независимых реализаций (измерений) неизвестной слу- чайной величины X. Все необходимые теоретические сведения могут быть

найдены в следующих книгах: учебное пособие под редакцией Смирнова В. П. "Элементы теории вероятностей и математической статистике" , СПбГИТМО, 2008 год , электронный вариант на сайте кафедры высшей математики , Бородин А. Н. "Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики" , издательство "Лань" , 2011 год , Чернова Н. И. "Математиче- ская статистика" , СибГУТИ, 2009 год. Мы же ограничимся рассмотрением примера, аналогичного предлагаемым заданиям.

Пример

Дана группированная выборка из стандартного нормального распределения:

-2.378	-1.862	-1.345	-0.829	-0.312	0.204	0.721	1.237	1.754	2.270
-1.862	-1.345	-0.829	-0.312	0.204	0.721	1.237	1.754	2.270	2.787
7	14	19	36	37	42	17	14	9	5

Построить точечные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности, при над¼жности γ = 0.95 построить соответствующие доверительные интервалы и, используя χ2-критерий Пирсона асимптотиче-

ского уровня значимости α = 0.05, проверить гипотезу о нормальности оценок. В первой строке таблицы указаны Xi, i = 1, ..., 10 левые границы ин-

51

тервалов группировки, во второй строке указаны Xi+1, i = 1, ..., 10 правые границы. В третьей строке указано количество элементов выборки, попавших на данный интервал. Например, на первый интервал (−2.378, −1.862)

попало 7 элементов выборки.

Решение. В качестве оценки математического ожидания генеральной со-
вокупности X обычно рассматривают статистику (то есть измеримую функ-
больших чисел, если ∑	EX существует, то выбороч-
цию выборки) ¯	n
Xn = (	i=1 Xi)/n выборочное среднее. Как следует из закона

математическое ожидание

ное среднее является состоятельной, несмещ¼нной оценкой математического ожидания случайной величины X. Можно убедиться в этом и непосред-

ственно, найдя математическое ожидание и дисперсию ¯

Xn. По центральной

предельной теореме ¯

Xn является асимптотически нормальной оценкой EX с асимптотической дисперсией ∆2E = DX. Неизвестную дисперсию генераль-

ной совокупности заменим е¼ состоятельной, несмещенной, асимптотически нормальной (с асимптотической дисперсией ∆2D = E(X − EX)4 − D2(X)) оценкой Sn2. Привед¼м оценку Sn2 и выборочную оценку дисперсии σn2:

		−	n
			∑i
2	1		¯	2
Sn	=	n 1	(Xi − Xn) ,
			=1

σn2 = n1 ∑n (Xi

i=1

¯2

−Xn) .

Привед¼нная в задании группированная выборка построена по выборке из

нормального распределения с параметрами a = EX = 0, σ2		= DX = 1
¯	= 0.0406,	2	= 1.104.
îáú¼ìà n = 200, и вычисления показали, что Xn		Sn

Для нахождения асимптотического доверительного интервала для параметра a = EX используем формулу:

¯

√

¯

√

(6)

Pn;a(a (Xn − t(1+ )=2∆E/

n, Xn + t(1+ )=2∆E/ n) ≈ γ,

ãäå

t β-квантиль функции распределения стандартного

нормально-

ãî

закона, то есть такое значение аргумента, что

Φ(t )

=

β, Φ(t) =

∫

закона. Решения уравнений вида Φ(t) = β найд¼м с помощью таб-

( −∞t

exp(−x2/2)dx)/√2π функция распределения стандартного нормаль-

íîãî

лицы значений функции Φ(t). Если, например, над¼жность

γ

= 0.95, òî

t(1+ )=2 = 1.96, откуда получим, что асимптотический доверительный интервал для реального значения a = EX имеет вид In;E = (−0.1050, 0.1863). Исходное значение EX = 0 в этот доверительный интервал попадает.

Аналогично, заменяя величину						2	4			2 статистикой
						∆D	= E(X − EX) − (DX)
2	n	¯ 4	4
∆n	= ( i=1(Xi	− Xn) )/n − σn (дополнительные вычисления показали, что
∆2	1688), получим асимптотический доверительный интервал над¼жно-
n	= 2∑.
ñòè 0.95 для дисперсии:
	2	− t(1+ )=2∆n/	√			2	√
	In;D = (Sn		n, Sn + t(1+ )=2∆n/ n) = (0.8999, 1.3081).

52