4.5 Аналитический метод исследования рычажных механизмов

Достоинства аналитического метода исследования рычажных механизмов: 1) возможность получения решения с требуемой точностью; 2) более простое выявление взаимосвязи между метрическими и кинематическими параметрами механизма; 3) применение вычислительных машин облегчает исследование и дальнейшее использование результатов.

Для примера рассмотрим центральный кривошипно-ползунный механизм (рис.4.6), у которого направляющая ползуна проходит через ось кривошипа А. Ползун 3 при своем движении занимает два крайних положения в точках С₁ и С₂. В этих положениях кривошип 1 и шатун 2 лежат на одной прямой.

Дано: метрическая схема механизма, то есть известны размеры всех звеньев и положение стойки.

Определить: положение и закон движения звеньев

Введем обозначения:

Положение звеньев полностью определяется положением кинематических пар. Координаты пары А равны нулю из за соответствующего выбора начала отсчета. Координаты пары В легко находятся из рис.4.6: Координаты пары С равны:

(4.1)

Теперь найдем углы . Из ΔАВС по теореме синусов:

(4.2)

(4.2а)

Рис.4.6 Расчетная схема кривошипно-ползунного механизма

Из (1) и (2) можно записать положение кинематической пары С в функции угла , то есть положения кривошипа:

.

Перемещение x, равное разности АС₁-АС, можно представить как

.

Скорость ползуна в виде аналога найдем путем дифференцирования по выражения (4.1):

,

(4.3)

где - аналог угловой скорости шатуна или передаточное отношение между звеньями 2 и 1.

Аналог угловой скорости шатуна 2 можно найти из (4.2а):

=.

(4.4)

Теперь найдем аналоги ускорений звеньев. Для ползуна из выражения (4.3) следует

,

(4.5)

где - аналог углового ускорения шатуна, то есть

.

(4.6)

Если известен закон движения ведущего звена, то из выражений (4.1)…(4.6) можно найти истинные законы движения звеньев механизма.

Из приведенных выкладок можно сделать вывод, что даже для простого механизма аналитическое решение может быть сложным и громоздким. Поэтому необходимо либо применять вычислительные машины, либо более простые и наглядные графические методы, либо формулы приближенного вычисления. Методы графического и приближенного анализа, даже при наличии компьютеров, не потеряли своего значения, например, для сравнительно быстрой оценки ожидаемого результата. Возможность упрощения вычислений покажем на таком примере.

Для машин обычно . Поэтому, разлагая соответствующие выражения в ряд и удерживая всего два члена (что достаточно с точки зрения точности вычислений при) получаем:

Вычисления по этим формулам достаточно просты и погрешность обычно не превышает 5%.

4.6 Определение скоростей и ускорений точек методом кинематических диаграмм

Пусть в масштабе построили траекторию точки М (рис.4.7а). По этой траектории на верхнем графике рис.4.7б построена кривая перемещений так, чтои так далее. Черезобозначен масштаб графика перемещений, который выбирается произвольно, исходя из удобства построения и размещения чертежа. Теперь покажем порядок графического дифференцирования графика перемещений, чтобы получить график скорости.

Рис.4.7 Схема построения кинематических диаграмм

Скорость является первой производной перемещения по времени. Из математики известно, что графически производная к кривой в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к кривой в этой точке. С достаточной для нас точностью касательную заменяем хордой на каждом интервале отрезков времени. Поэтому график перемещений уже представлен не плавной кривой, а прямыми отрезками – хордами и излагаемый здесь метод графического дифференцирования называется методом хорд.

Заменяя на каждом отрезке времени на оси абсцисс истинный график хордами, мы усредняем на этих участках значения скорости. Поэтому, получаемые ординаты будут откладываться посередине соответствующего участка.

Итак, выбираем произвольно полюсное расстояние Н и из точки р проводим лучи р-1’, р-2’, р-3’ и так далее. Эти лучи, во-первых, параллельны хордам соответствующих участков и, во-вторых, отсекают на оси ординат отрезки, равные усредненной первой производной перемещения по времени на соответствующем участке. Откладываем отрезок 01’ посередине первого интервала оси абсцисс на графике скорости; отрезок 02’ посередине второго интервала; отрезок 03’ посередине третьего интервала и так далее. Теперь полученные точки нужно соединить плавной кривой и для этого поступают следующим образом: через точки 1’, 2’, 3’, и так далее на графике скорости v проводят горизонталь и эти точки соединяют так, чтобы площади между кривой и горизонталью над ней и под ней были примерно одинаковые. Это правило помогает построить кривую на участках экстремумов, а в других местах кривой оно обычно выполняется автоматически. Этим же правилом объясняется то, что график скорости начинается не с нуля, а выше.

Теперь найдем масштаб, в котором получили график скорости. Значение скорости по нижнему графику рис.4.7б на первом интервале равно

Это же значение по верхнему графику равно

Приравнивая эти два выражения, получаем формулу для вычисления масштаба графика скорости по масштабам графика перемещений:

(4.7)

Если полученный график скорости тоже продифференцировать графически, то получим график ускорений в масштабе, определяемом аналогично формуле (4.7):

(4.8)

Вернемся теперь к произвольному выбору полюсного расстояния Н: чем больше это расстояние, тем крупнее получается искомый график, что и учитывается в масштабах.

И последнее: надо иметь в виду, что изложенный метод графического дифференцирования для получения кинематических диаграмм не является единственным.