Пример 7.
Проверим выполняются ли свойства у бинарного отношения заданного на множестве , если известно, что xy тогда и только тогда, когда .
Таким образом, .
-
Рефлексивность: для любого x X выполняется xx
для любого x X выполняется , значит рефлексивность выполняется.
-
Симметричность: для любых x, y X из xy следует y x
для любых x, y X из следует , так как умножение чисел коммутативно, значит симметричность выполняется.
-
Транзитивность: для любых x, y, z X из xy и yz следует xz
так как x, y, z X и выполняются неравенства и , значит x, y, z – это числа либо одновременно отрицательные, а произведение отрицательных чисел всегда больше нуля, либо одновременно неотрицательные, тогда выполняется неравенство , значит свойство транзитивности выполняется.
-
Так как выполняются свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности, то бинарное отношение обладает свойством эквивалентности.
Класс эквивалентности порожденный -4, состоит из чисел -4, -3, -2: ,, , т.е .
Ясно, что этот же класс порождается -3 и -2: .
Класс эквивалентности порожденный 1, состоит из 1, 2, 3: , , , т.е. .
Ясно, что этот же класс порождается 2 и 3: .
Таким образом, это бинарное отношение «быть одного знака». Множество X можно разбить на два класса – отрицательные и положительные числа.
-
Антисимметричность: для любых x, y X из xy и yx следует x=y.
существуют такие х и у, что если и ,то при этом , например, и , но при этом , значит свойство антисимметричности не выполняется.
-
Так как выполняются свойства рефлексивности и транзитивности, но не выполняется свойство антисимметричности, то бинарное отношение не обладает свойством частичного порядка.
Упражнения для выполнения
-
Составьте все упорядоченные пары из элементов множества .
-
Напишите такие упорядоченные пары элементов множества , в которых первый элемент больше второго.
-
Изобразите при помощи графа пары .
-
Дан граф для бинарного отношения (см. Рисунок 2), заданного на множестве , , если х делится на y:
Рисунок 2. Пример графа
Проверьте, все ли упорядоченные пары отмечены на графе для бинарного отношения .
-
Равны ли следующие упорядоченные пары:
-
<a, {a, b, c}, b, c > и <a, {a, b, c}, {b, c} >;
-
<a, {a, b, c}, b, c > и <a, {a, b, c}, b, c>;
-
<a, {a, b, c}, b, c > и <a, {a, b, c}, с, b>;
-
<a, {a, b, c}, b, c > и <a, {a, b, c}, a, b, c>.
-
-
Пусть , . Выпишите все элементы декартова произведения множеств:
-
;
-
;
-
;
-
.
-
-
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составьте все двухзначные числа. Как связано получившееся множество с декартовым произведением , где ?
-
Известно, что
.
Найдите множества Х и А.
-
Дано множество .
-
запишите все элементы декартового произведения множества ;
-
изобразите с помощью графа те упорядоченные пары множества , в которых:
-
-
первый элемент больше второго;
-
первый элемент меньше второго;
-
первый элемент меньше или равен второму;
-
первый элемент равен второму.
-
Запишите в виде прямоугольных таблиц все элементы декартового произведения , где
-
,;
-
, ;
-
, .
-
Какой можно сделать вывод о количестве элементов декартового произведения ?
-
Сколько элементов в декартовом произведении , если:
-
, ;
-
, ;
-
, .
-
-
Изобразите графически на плоскости бинарное отношение на множестве .
-
;
-
;
-
;
-
.
-
-
На Рисунок 3 изображены графы отношений и . Запишите эти отношения и и им обратные.
Рисунок 3. Графы отношений и
-
На множестве всех людей заданы отношения «быть сыном», «быть братом», «быть матерью», «быть другом». Назовите обратные им отношения.
-
Если , запишите бинарное отношение .
-
Даны множества и . На множестве заданы бинарные отношения и .
-
, если ;
-
, если а делится на b.
-
Запишите все упорядоченные пары, которые принадлежат бинарному отношению и .
-
Дано множество . Бинарное отношение задано следующим образом:
Рисунок 4. Пример изображения упорядоченных пар не координатной плоскости
Выяснить свойства отношения .
-
Пусть и , если .
Рисунок 5. Пример изображения упорядоченных пар не координатной плоскости
-
проверить все ли упорядоченные пары отмечены на координатной плоскости;
-
выяснить свойства отношения . Какой вывод можно сделать в случае выполнения свойства бинарного отношения.
-
Дано множество . На множестве задано бинарное отношение :
-
изобразите упорядоченные пары с использованием графа;
-
какие свойства выполняются у бинарного отношения ;
-
как видно по графу выполнимость свойств бинарного отношения. Сформулируйте, как отображается каждое свойство бинарного отношения на графе.
-
-
Даны графы бинарных отношений:
-
какие из отношений рефлексивны и почему?;
-
Рисунок 6. Примеры граф
-
какие из отношений симметричны и почему?;
Рисунок 7. Примеры граф
-
какие из отношений транзитивны и почему?;
Рисунок 8. Примеры граф
-
какие из отношений антисимметричны и почему?;
Рисунок 9. Примеры граф
-
Дано множество . На множестве заданы бинарные отношения и .
-
, если ;
-
, если .
-
Запишите все упорядоченные пары, которые принадлежат бинарным отношениям и . Выясните свойства бинарных отношений.
-
Пусть . На множестве задано бинарное отношение .
Выпишите все пары, принадлежащие бинарному отношению и выясните, каким свойствам удовлетворяет данное бинарное отношение.
-
Исследуйте на свойства бинарное отношение на множестве (в случае невыполнения свойства привести пример).
-
М – множество натуральных чисел, , если х делится на у;
-
М – множество прямых на плоскости, , если прямая а перпендикулярна прямой b;
-
М – совокупность множеств, , если Ø.
-
-
Пусть Х – множество людей. На задано бинарное отношение : , если х является матерью у. Известно, что и . Верно ли утверждение: ?
-
Пусть Х – множество людей. На задано бинарное отношение : , если х и у знакомы. Будет ли транзитивно?
-
Пусть Х – множество студентов юридического факультета ЧИ БГУЭП. На задано бинарное отношение : , если х и у учатся на одном курсе. Выясните свойства бинарного отношения .
-
Исследовать бинарные отношения на множестве людей:
-
«быть братом»;
-
«любить»;
-
«быть отцом»;
-
«быть подчиненным»;
-
«быть в одной команде».
-
-
Проверить обладает ли бинарное отношение на множестве бинарными свойствами:
-
xy, если х делится на у;
-
xy, если делится на 4;
-
xy, если ;
-
xy, если ;
-
xy, если .
-
-
Дано множество . Доказать, что следующие отношения есть отношения эквивалентности, и построить соответствующее разбиение множества X:
-
xy, если ;
-
xy, если делится на 2.
-
-
Доказать, что следующие отношения есть отношения частичного порядка, и построить диаграммы частично упорядоченных множеств:
-
отношение на множестве-степени множества ;
-
отношение на множестве : xy, если y делится на x.
-
-
Являются ли следующие отношения функциями:
-
;
-
;
-
.
-
-
Задано бинарное отношение = {<2, 2>, <2, 4>, <1, 4>, <4, 1>, <4, 2>}.Найдите область определения, область значения и -1.
-
Найдите композиции и и укажите область определения и область значения:
-
, ;
-
, ;
-
, .
-
-
Заполните пустые ячейки в таблице:
Дано |
Связь |
Результат |
|
||
|
||
|
||
<a, {a, b, c}, b, c > |
|
<a, {a, b, c}, с, b> |
бинарное отношение на множестве |
|
|
|
|
|
бинарное отношение на некотором множестве |
|
|
|
||
|
|
|
бинарное отношение на некотором множестве |
|
|
|
|
1 При выполнении композиции вначале выполняется внутреннее бинарное отношение, после чего – внешнее.