информ часть2

53

Если эти условия выполнены, а это означает, что в (a; b) содержится один корень x* уравнения (7.1), то из двух точек A(a; f(a)) и B(b; f(b)), лежащих на кривой y = f(x), выбирают ту, для которой значение функ- ции и второй производной одного знака. Пусть, например, это будет

точка В, т.е. f(b)×f''(b) > 0.

Первый шаг метода Ньютона состоит в том, что в точке В проводят касательную к графику функции y = f(x) и определяют точку, обозначим ее x1, пересечения касательной с осью Оx по формуле

			x = x	0	−	f (x0 )	,	(7.4)
	1					f '(x0 )
где для удобства обозначим x0 = b.
	На втором и последующих шагах выполняют те же действия, что и
на первом шаге, т.е. по формуле, аналогичной формуле (7.4)
xn	= xn−1 −	f (xn−1 )	, где n = 2,3,…, определяют точки (числа) x2, x3,
		f '(xn−1 )

… xn, являющиеся приближенными значениями корня x*. Процесс уточ- нения корня можно закончить, например, при выполнении условия |xn – xn-1| < e и |f(xn)| < e и положить x* » xn.

Задание к лабораторной работе

1.Для каждого из двух уравнений, заданных в варианте задания, оп- ределить аналитически и графически отрезок, содержащий корень урав- нения.

2.Вручную уточнить значение каждого корня, выполнив две итера-

ции.

3.Составить блок-схему и программу-процедуру для нахождения

корня каждого уравнения методом половинного деления и методом

Ньютона с точностью e = 0,001.

4. Вывести на экран и в файл приближенное значение корня каждого уравнения, вид уравнения, точность, число итераций.

Варианты

Вари-		Уравнения	Вари-	Уравнения
ант			ант
1	1)	( x + 2)×cos( x) = 1;	2	1) sin( x – p/3) – 2 x = 0;
	2) x3 – 3 x2 + 9 x – 8 = 0			2) x3 – 4 x – 1 = 0
3	1)	( x – 1)×lg( x + 2) = 1;	4	1) cos( x – 1) = x3;
	2) 2 x3 – x2 – 2 x + 3 = 0			2) x3 – 2 x2 + 3 x – 1 = 0
5	1) sin( x – 1) = 2 x3;		6	1) x cos( x) + 1 = 0;

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com

54

Вари-

Уравнения

ант

2) x3 – 4 x2 + x – 1 = 0

71) x×lg( x + 2) – 1 = 0;

2)x3 – x2 + 2 x – 4 = 0

91) x2 – 2cos( x) – 1 = 0;

2)x3 – x2 + 2 x + 1 = 0

111) e x + 2 x – 4 = 0;

2)x3 + 3 x2 –2 x + 1 = 0

131) lg( x) – x + 2 = 0; 2) 2 x3 + x2 – x – 2 = 0

151) x×cos( x – 2) = 1;

2)x3 + 3 x2 + 9 x – 8 = 0

171) x×lg( x + 3) = 1;

2) 2 x3 + x2 + 2 x + 3 = 0

191) sin( x) – 2( x + 1)3 = 0;

2)x3 + 4 x2 + x + 1 = 0

211) 1 + x×lg(2 – x) = 0;

2)x3 + x2 + 2 x + 4 = 0

231) x2 – 2sin(p/2 – x) – 1 = 0;

2)x3 + x2 + 2 x – 1 = 0

251) e – x – 2 x – 4 = 0;

2)x3 – 3 x2 + 2 x – 1 = 0

271) lg( x + 2) – x = 0; 2) 2 x3 – x2 + x + 2 = 0

291) ( x + 1)×lg( x + 3) – 1 = 0; 2) 4 x3 – 2 x2 + x – 1 = 0

Вари-	Уравнения
ант
	2) x3 – 2 x2 – 3 x + 2 = 0

81) x2 – 2sin( x) – 1 = 0;

2)x3 + x2 + 2 x – 3 = 0

101) e x + x – 2 = 0;

2)x3 + 2 x2 – x – 1 = 0

121) lg( x) – 2 x + 1 = 0; 2) 2 x3 – x2 – x + 2 = 0

141) e – x – 2 x + 1 = 0; 2) 2 x3 – x2 – x + 1 = 0

161) cos( x – p/3) – 2 x = 0;

2)x3 – 4 x + 1 = 0

181) cos( x) –( x + 1) 3 = 0;

2)x3 + 2 x2 + 3 x + 1 = 0

201) 1 – x cos( x) = 0;

2)x3 + 2 x2 – 3 x – 2 = 0

221) x2 + 2sin( x) – 1 = 0;

2)x3 – x2 + 2 x + 3 = 0

241) e – x – x – 2 = 0;

2)x3 + 2 x2 + x + 1 = 0

261) lg( x + 1) – 2 x – 1 = 0; 2) 2 x3 + x2 + x – 2 = 0

281) e x + 2 x + 1 = 0;

2) 2 x3 + x2 – x – 1 = 0

301) sin( x + 1) = 2( x + 3)3;

2)x3 – x2 + 4 x – 1 = 0

Контрольные вопросы

1.Покажите геометрическую интерпретацию метода половинного деления.

2.Каким образом можно геометрически проиллюстрировать метод

Ньютона?

3.Каким образом определяют точку пересечения касательной с осью Оx в методе Ньютона?

4.Каким образом определяют интервал, содержащий корень урав- нения, в методе половинного деления?

5.При каком условии процесс уточнения корня можно закончить? Какие различные варианты условий можно задать в методе Ньютона?

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com

55

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8

Численное интегрирование

Цель работы: научиться использовать численные методы для нахо- ждения определенных интегралов.

Основные понятия

Для решения задачи численного или приближенного вычисления оп-

ределенного интеграла используют формулу

òb	f (x)dx,	(8.1)
a
где f(x) – интегрируемая в [a; b] функция.
Сначала отрезок [a; b] разбивается точками x0		= a < x1 < x2 < … <

< xn-1 < xn = b на n равных частей или частичных отрезков [xi; xi+1], где xi = x0 + i×h, i = 0, 1, …, n–1, h = (b – a)/n – длина частичного интервала. Затем интеграл (8.1) записывают в следующем виде:

b	x	x	x	x
ò f (x)dx = ò1		f (x)dx + ò2	f (x)dx + ... + òi+1 f (x)dx + ... +	òn	f (x)dx .	(8.2)
a	x0	x1	xi1	xn−11

Если на каждом из частичных интервалов [xi; xi+1] подынтегральную функцию y = f(x) заменить в (8.2)

1) на постоянную величину f(ξi), где ξi – произвольная точка из от- резка [xi; xi+1], то получим так называемую формулу прямоугольников

b			n−1		n−1
ò f (x)dx ≈ å f (ξi )h = hå f (ξi ) ;						(8.3)
a			i=0	− yi	i=0
2) отрезком прямой y = yi +			yi+1		(x − xi ), проходящей через точ-
			xi+1	− xi
ки (xi; f(xi)), (xi+1; f(xi+1)), то получим формулу трапеций
b	1	n
ò f (x)dx =		hå[y		+ y + 2(y + y +...+ y )];		(8.4)

a2 i=0

3)параболой y = ax2 + bx + c, проходящей через три точки (xi; f(xi)),n−1n0 1 2

(xi+1; f(xi+1)), (xi+2; f(xi+2)), при этом n = 2k, т.е. число частичных интерва- лов четно, то получим формулу Симпсона

b

f (x)dx =

h

[y

+ y

+ 4( y + y

+ ... + y

) + 2(y

+ y

+ ... + y

)].(8.5)

ò

2k

2k−1

2

4

2n−2

3

0

1

3

a

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com

56

Обозначим через ε абсолютную погрешность приближенного инте- грала (8.1), тогда для формул (8.3) – (8.5) имеют место, соответственно, следующие оценки:

ε≤ h2 b − a

24

ε≤ h2 b − a

12

ε≤ h4 b − a

180

max f ''(x) ;

x [a;b]

max f ''(x) ;

x [a;b]

max f (4) (x) .

x [a;b]

Задание к лабораторной работе

1. Каждый из интегралов, приведенных в варианте задания вычис- лить:

а) по формуле прямоугольников; б) по формуле трапеций; в) по формуле Симпсона,

разбив интервал интегрирования на n частей (n = 10) .

2.Сравнить между собой результаты вычислений и оценить погреш- ность вычисления, используя соответствующие приближенные оценки.

3.Вычислить приведенные в задании интегралы аналитически и найти в каждом случае абсолютную погрешность вычисления.

Варианты

Вариант

Интегралы

1

2 3x2 + ex

π 4 arctg2x

а)

ò0

dx ;

б) ò0 1+ 4x2

dx

x3 + ex

2

π 4

0

x3 + 6

а)

ò x cos 2xdx ;

б) ò

dx

2

+ 5x − 6

0

−2 x

3

1 2

x3

3

ln(x + 3)

а)

ò

dx ;

б) ò

dx

x + 3

1− x

4

0

−2

4

π 2

5

x3 +1

а)

ò xsin xdx ;

б)

ò

dx

x

2

+ 3x + 2

0

3

5

2

x2

−π 2

а)

ò

dx ;

б)

òesin 3x cos3xdx

6

0 1

+ x

0

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com

57

Вариант

Интегралы

6

2

ln x

1/ 2

x3 − 2

а)

ò1

dx ;

б) ò0

dx

x3

x2 − 5x + 6

7

а) òe−x4 x3dx ;

б) ò

5x2

6

dx

1

1 2

0

0

1− x

8

2

4

1

x3 + 2

а)

ò x

ln xdx ;

б) ò

dx

x

2

− x − 2

1

0

9

π 12

2

dx

а)

ò5 4 − 5sin 2x cos2xdx ;

б)

ò

x ln

2

x

0

1

10

1

2x

1

x3 + 3

а) ò xe dx ;

б) ò

dx

2

+ x − 6

0

−2 x

11

9

ln x

3

dx

а)

ò

dx ;

б) ò

(1+ x)

x

x

3

1

12

а) ò x

dx −x ;

б) ò e x

dx

1

4

e

+ e

0

1

x

13

1

dx

π 2

а)

ò

;

б) òcos2 xdx

+

1

x

0

0

14

3

3x

1

x3 − 3

а) ò xe dx ;

б) ò

dx

x

2

+ 3x

+

2

1

0

15

π 4

1/ 2

dx

а)

òctg5xdx ;

б) ò

x

1− ln

2

x

0

0

16

8

dx

1

x3 + 3

а) ò1

;

б) ò0

dx

x + 3

x2 + x − 6

x2

17

2

π 30

1+ ln x

ò

dx ;

б) ò3

sin 5xdx

а)

2 − 3cos5x

1/ 2

x

0

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com

58

Вариант

Интегралы

18

π

0

x

3

+ 4

а)

òx ×arctg2xdx ;

б)

ò

dx

2

3

0

−2 x

- 4x +

19

π 2

4x

3

2

dx

а)

ò

+ cos x

dx ;

б)

ò

2

x(1+ ln

2

x)

0

x

sin x

1

20

а) ò1 xe−x / 2 dx ;

б) ò2

x3 + 5

dx

x

2

3

0

0

- 2x -

21

1/ 2

x

3

dx

4

e

2x

а)

ò

;

б) ò

dx

(1+ e

2x

)

2

8

0

1- x

1

22

π 2

2

x3 - 4

а)

ò xsin 3xdx ;

б)

ò

dx

x

2

- x - 6

0

1

23

3π / 4

ctg2x

2

e

1- xdx

а)

ò

dx ;

б) ò

2

2x

x

π / 4 sin

1

24

а)

ò3

x ln xdx ;

б)

ò

2 x3 - 5

dx

2

3

1

2

x

- 6x + 5

25

1

dx

2

а)

ò

;

б) ò xe2x dx

3

0 1

+

x

1

26

а) ò2 xe3x dx ;

б)

−ò2

x3 - 3

dx

2

2

0

−3 x

+ 3x +

27

π / 2

2

x

3

+ 4

а)

òx ×arctg2xdx ;

б)

ò

dx

x

2

3

0

1

- 4x +

28

π 4

1

x3 - 4

а)

ò xsin 3xdx ;

б)

ò

dx

2

- x - 6

0

−1 x

29

а)

ò3

x ln xdx ;

б)

ò

2 x3 - 5

dx

2

3

1

2

x

- 6x + 5

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com

59

Вариант				Интегралы
30	3			0			x3	− 5
	а) ò3		ln xdx ;	б) ò					dx
		x
						2	−	6x + 5
	2			−2 x

Контрольные вопросы

1.Покажите геометрическую интерпретацию формулы трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла.

2.Графически проиллюстрируйте формулу Симпсона и формулу прямоугольников.

3.Какой из методов приближенного вычисления определенного ин- теграла дает наименьшую абсолютную погрешность?

4.Какой из методов приближенного вычисления определенного ин- теграла дает наибольшую абсолютную погрешность?

5.Каким образом определяется задача численного интегрирования функции?

6.Влияет ли длина частичного интервала h на получаемое значение интеграла?

7.Запишите формулу прямоугольников, формулу трапеций и фор-

мулу Симпсона.

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com

60

Приложение

Некоторые сообщения об ошибках периода компиляции

№	Сообщение			Комментарий
1	Out of memory			Выход за границы памяти
2	Identifier expected			Ожидается идентификатор
3	Unknown identifier			Неопределенный идентификатор
4	Duplicate identifier			Повторное описание идентификатора
5	Syntax error			Ошибка в синтаксисе (обнаружен недопус-
				тимый символ)
6	Error in real constant			Ошибка в вещественной константе
7	Error in integer		con-	Ошибка в целой константе
	stant
8	String constant exceeds			Строковая константа превышает	допусти-
	line			мые размеры
10	Unexpected end of file			Не найден конец файла
11	Line too long			Слишком длинная строка
12	type identifier expected			Не указан тип идентификатора
14	Invalid file name			Неверное имя файла
15	File not found			Файл не найден
16	Disk full			Диск заполнен
20	Variable identifier		ex-	Не указан идентификатор переменной
	pected
21	Error in type			Ошибка объявления типа
22	Structure too large			Структура слишком велика
23	Set base out of range			Базовый тип множества выходит за допус-
				тимые границы
24	File components		may	Компонентами файла не могут быть файлы
	not be files
25	Invalid string length			Неверная длина строки
26	type mismatch			Несоответствие типов
27	Invalid	subrange	base	Неверный базовый тип для типа диапазон
	type
28	Lower	bound greater		Нижняя граница описания типа	диапазон
	than upper bound			больше верхней

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com

				61
				Продолжение прил.
№	Сообщение			Комментарий
29	Ordinal type expected			Необходим порядковый тип
30	integer	constant	ex-	Необходима целая константа
	pected
31	Constant expected			Необходима константа
32	integer or real constant			Необходима целая или вещественная
	expected			константа
33	type identifier expected			Необходим идентификатор типа
34	Invalid	function result		Неверный тип результата функции
	type
35	Label	identifier	ex-	Необходим идентификатор метки
	pected
36	BEGIN expected			Необходим BEGIN
37	END expected			Необходим END
38	integer	expression	ex-	Необходимо выражение целого типа
	pected
39	Ordinal	expression		Необходимо выражение порядкового типа
	expected
40	boolean	expression		Необходимо выражение логического типа
	expected
41	Operand types do not			Типы операторов не соответствуют опера-
	match operator			ции
42	Error in expression			Ошибка в выражении
43	Illegal assigment			Неверное присваивание
44	Field	identifier	ex-	Необходим идентификатор поля
	pected
50	DO expected			Необходим DO
54	OF expected			Необходим OF
57	THEN expected			Необходим THEN
58	TO or DOWNTO ex-			Необходимы ТО или DOWNTO
	pected
59	Undefined forward			Неопределенное опережающее описание
60	Too many procedures			Слишком много процедур
61	Invalid typecast			Неверное преобразование типа
62	Division by zero			Деление на ноль

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com

					62
					Продолжение прил.
№	Сообщение				Комментарий
63	Invalid file type				Неверный файловый тип
64	Cannot	read or write			Невозможно считать или записать перемен-
	variables of this type				ные этого типа
65	Pointer	variable		ex-	Необходима переменная-указатель
	pected
66	String	variable		ex-	Необходима строковая переменная
	pected
67	String	expression		ex-	Необходимо выражение строкового типа
	pected
74	Constant		and	case	Тип констант и тип выражения оператора
	types do not match				CASE не соответствуют друг другу
75	Record	variable		ex-	Необходима переменная-запись
	pected
76	Constant out of range				Константа выходит за допустимые границы
77	File variable expected				Необходима файловая переменная
78	Pointer	expression		ex-	Необходимо выражение ссылочного типа
	pected
79	integer or real expres-				Необходимо выражение целого или вещест-
	sion expected				венного типа
80	Label not		within	cur-	Метка не находится внутри данного блока
	rent block
81	Label already defined				Повторное определение метки
85	«;» expected				Необходима «;»
86	«> expected				Необходимо «:»
87	«,» expected				Необходима «,»
88	«(» expected •				Необходима «(»
89	«)» expected				Необходима «)»
90	«=» expected				Необходимо «=»
91	«:=» expected				Необходимо «:=»
92	«[» expected				Необходима «[»
93	«]» expected				Необходима «]»
94	«.» expected				Необходима «.»
95	«..» expected				Необходимо «..»

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com