для заочников 1 курс библиотека

1

Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет

им. В.Г. Шухова

по

выполнению

Белгород

2

2011

УДК 51

ББК 22.1 М 34

Составители:

канд. техн. наук, доц. Г.Л. Окунева

ст. преп. Т.Н. Лавриненко

ст. преп. С.В. Рябцева

Рецензент докт. физ.-мат. наук, доц. А.Г. Брусенцев

Методические указания по выполнению индивидуальных

М34 заданий при подготовке к промежуточным итоговым аттестациям для студентов 1 курса заочной формы обучения / сост.: Г.Л. Окунева, Т.Н. Лавриненко, С.В. Рябцева – Белгород:

Изд-во БГТУ, 2011. – 66с.

Виндивидуальных заданиях предложены стандартные упражнения и вопросы по теории по программам высшей математики первых двух семестров для студентов 1 курса заочной формы обучения.

Издание предназначено для студентов бакалавров всех направлений. Публикуется в авторской редакции.

УДК 51

ББК 22.1

© Белгородский государственный технологический университет (БГТУ) им. В.Г. Шухова, 2011

3

Содержание

Введение……………………………………………………………... 4

Контрольная работа №1……………………………………………. 5

Контрольная работа №2……………………………………………. 36

4

Введение

Изучение курсов высшей математики в ВУЗе помогает студенту ознакомится с основами математического аппарата, овладеть основными навыками его использования для решения теоретических и практических инженерных задач, развить логическое мышление и умение самостоятельно получать знания, используя научную литературу по математике и ее приложениям.

Самостоятельная работа с предлагаемыми заданиями позволяет повысить общий уровень математической подготовки, помогает развить умение применять математические знания на практике.

Методические указания для студентов 1 курса заочной формы обучения предназначены для самостоятельного изучения и подготовки к экзаменам по курсам высшей математики за первый курс. Выполненная индивидуальная работа является зачетной единицей при допуске к экзамену. Задания составлены в форме билета. Студент должен выполнить практическую часть предложенного билета и письменно ответить на вопросы билета.

Каждая контрольная работа снабжена основными теоретическими сведения приведены примеры выполнения некоторых заданий контрольных работ.

5

Контрольная работа № 1

Темы:

1.Матрицы и определители.

2.Аналитическая геометрия на плоскости.

3.Элементы векторной алгебры.

4.Аналитическая геометрия в пространстве.

				6
			Вариант 1
1.					мx-2y-3z = -4,
	Решить систему уравнений методом Гаусса п
					н2x+ y- z = 2,
					п
					о3x+3y-4z = 2.
2.	Вычислить определитель четвертого порядка:						1	3	-2	4		.
							3	2	1	6
							0	3	1	3
							2	1	5	1
3.	При каком l ранг матрицы равен 2				ж l		5l		-1ц
					А =з2l		l		10ч.
					з				-3	ч
					и -1 -2l					ш
4.	В	треугольнике	ABC , у	которого	А(1;-1),	B(4;3), C(5;1), найти
длины		сторон треугольника,		высоту АН , медиану					CM , площадь
треугольника.
5.	В	точке A(2;6),	лежащей на окружности				(x+2)2 +(y-3)2 = 25,

провести касательную к данной окружности.

6.Определить вид кривой и построить ее: 4x2 +9y2 +8x -32 = 0.

7.На параболе найти точку, фокальный радиус который равен 9. Уравнение параболыx2 = -12y .

8.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (1;-3;4)

перпендикулярно прямой x-1 = y = z +2 .

			2	-3	5
9.	Найти	sin	угла	B	треугольника		ABC ,	если
А(3;4;1), B(2;1;6), C(4;0;2) .
10.	Найти	объем		тетраэдра,		заданного	вершинами
A(0;0;1),B(2;3;5),C(6;2;3),D(3;7;2) .

Контрольные вопросы

1.Что называется определителем второго порядка?

2.Каким свойством обладают коллинеарные вектора на плоскости?

3.Что такое эллипс? Каковы его основные характеристики?

								7
							Вариант 2
1.	Дана матрица		ж1		2	3ц
		А =	з	3	2	1	ч . Найти 2А+ А2 -Е .
			з				ч
			з	2	1	3	ч
			и				ш
2.							м3x+2y- z = 4,		.
	Решить систему уравнений: п							- y+2z = 2,
							нx
							п
							о2x- y+3z = 4.
3.	Вычислить определитель четвертого порядка:										2	1	3	-2			.
											3	1	4		5
											3	-2	0		1
											4	3	2		1
4.	Составить		уравнение					касательных				к		окружности
(x-1)2 +(y+3)2 = 40 , перпендикулярных прямой 3x+ y-4 = 0.
5.	Через точку С(10;-8)				провести касательную к эллипсу									x2	+			y2	=1.
														25
															16

6.Определить вид кривой и построить ее: x2 +6y2 -6x+12y+13= 0.

7.Найти фокальный радиус точки M параболы y2 = 8x, если ее

абсцисса равна 8.

8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки

	ж		1	ц		ж		3	ц
	M1 з	2;-3;		ч	,	M2 з	3;5;		ч .
			2					5
	и			ш		и			ш

9.Найти векторное произведение векторов a ={3;4;1}, b ={-1;3;1}.

10.Показать, что точки A(5;7;-2), B(3;1;-1), C(9;4;-4), D(1;5;0)

лежат в одной плоскости.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение эллипса и его основных свойств.

2. Какие вектора называются коллинеарными?

3. Как перевести уравнение прямой в пространстве из общего вида

мAx+ B y+C z+ D = 0,				в канонический?
н 1	1	1	1
оA2x+ B2 y+C2z+ D2 = 0.

						8
						Вариант 3
1. Дана матрица		ж2		1	1	ц
	А =	з	1	2	1	ч . Найти A2 + AЧA-1 .
		з				ч
		з	1	1	2	ч
		и				ш

2.	Решить систему уравнений методом Гаусса:	м3x-4y+ z = 0,
		п				= 2,	.
		нx+2y- z
		п
		о-x- y+3z =1.
3.	Вычислить определитель четвертого порядка:			1	0	2	3		.
				2	-4	5	6
				3	1	-4	1
				0	2	3	1

4.Составить уравнения окружностей, касающихся двух

пересекающихся		прямых x-2y+4 = 0; x+ 2y = 0				и	проходящих			через
точку M (1;0;0).
5.	Определить вид кривой и построить ее: x2 -				1	y2 - x-		3	y-1= 0 .
				4			2
6.	Составить каноническое уравнение эллипса, если вершины
эллипса имеют координаты A1 (6;0), A2 (-6;0), B1 (0;2), B2 (0;-3).
7.	Докажите	параллельность	прямых	x =1+2t, y = -t, z =1+t и
мx+3y+ z+ 2 = 0,
н
оx- y-3z-2 = 0.
8.	Найти вектор коллинеарный биссектрисе угла А треугольника ABC ,
заданного вершинами A(1;3;5), B(3;5;6), C(4;7;5).
9.	Найти векторное произведение векторов a = 2i- 4j + 6k, b = -i+ 2 j -k .
10. В треугольнике ABC , где			A(4;-6), B(0;5), C(3;2), найти							длины
сторон, высоту AH , медиану AM и площадь треугольника.

Контрольные вопросы

1. Объясните, как решаются системы m линейных уравнений с n

неизвестными методом Гаусса.

2.Что такое скалярное произведение векторов? Перечислите основные свойства этого произведения.

3.Как найти точку пересечения прямой и плоскости в пространстве?

9

Вариант 4

1. НайтиАЧВ, если	ж 3		2	1ц		ж1		2	3	ц
	A = з	0	5	4	ч	, B = з	3	2	1	ч.
	з	-1 3		2	ч	з	2	3 1		ч
	и				ш	и				ш

2.	Исследовать систему на совместимость								мx+5y+4z =1,	.
									п
									н2x+10y+8z = 3,
									п
									о3x+15y+12z = 5.
3.	Вычислить определитель:		2	5	-1	4		.
			3	2	1	4
			0	5	3	6
			-7	1	2	5

4.	Найти уравнение и длину высоты треугольника ABC ,								уравнение
медианы				и		ее		длину, проведенных из вершины C ,	если
ж	1	ц		ж	2	ц	,	С(2;2).
Aз1		;1ч	, Bз1;1			ч
	2				3
и		ш		и		ш

5.Определить вид кривой и построить ее: x2 -9y2 + 2x +36y - 44 = 0.

6.Составить уравнение окружности, описанной около треугольника

со сторонами: 9x-2y-41= 0, 7x+4y+7 = 0, x-3y+1= 0 .

7.Найти направляющие косинусы вектора a = 4i -2 j +3k .

8. Найти вектор a , коллинеарный вектору b = 3i-2 j +8k , если его длина ar =12.

9. На плоскости2x-5y+5 = 0 найти такую точку M , чтобы прямая OM

составляла с осями координат равные углы.

10. Через точку					M (1;5;-1) провести прямую, перпендикулярную к
	x+1		y		z+2	мx = 2-3t,
прямым		=		=		и п		.
-1 3					-1	нy	= -1+t,
						п
						оz = -2t.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение определителей второго и третьего порядка. Какими свойствами они обладают?

2.Как найти расстояние от точки до прямой на плоскости?

3.Что такое проекция вектора? Как ее определить?

10

Вариант 5

1.	Решить систему матричным методом:				м2x+ y- z = 5,				.
					п			= -5,
					нx+2y+2z
					п
					о7x+ y- z =10.
2.	ж8 2цж5 7ц			ж3 -2ц
	Решить уравнение з	чз	ч	= X з	ч .
	и	3 4ши6 1	ш	и4 1 ш
3.	Вычислить определитель четвертого порядка:						3	2	4	-1		.
							3	0	-4	6
							-3	1	2	6
							5	6	-7	1

4. Доказать, что треугольник с вершинами А(1;1), B(2;1+ 3), C(3;41)

равносторонний. Найти его площадь.

5. Составить уравнение окружности, проходящей через точки A(5;0), B(1;4), если ее центр лежит на прямой x+ y-3 = 0.

6.	Определить вид	кривой	и	построить ее график:
4x2 +9y2 -8x-36y+ 4 = 0 .
7.	Даны точки M1 (1;2;3)	и M2 (3;-4;6). Найти направляющие косинусы
вектора M1M2 .
8.	Найти при каком значении k		точки	A(1;2;3), B(-1;4;0), C(-3;1;k),

D(-3;2;4) лежат в одной плоскости.

9.Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат

идве точки A(4;-2;1), B(2;4;-3) .

10.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2;3;1),

пересекающей прямую x-1 = y-2 = z и перпендикулярную к ней.

3 4 3

Контрольные вопросы

1.Как вычисляется определитель n -ного порядка?

2.Какие уравнения прямой на плоскости Вы знаете?

3.Что такое парабола? Какие виды парабол Вы знаете?