КР_мат_ан_2_курс( у меня 27 вар)

3. Способы вычисления поверхностного интеграла первого рода.

Вариант 59

1. Представить	двойной	интеграл f x; y dx dy в	виде повторных с внешним
		D
интегрированием по	x и по y ,	если область интегрирования	D задана указанными линиями:

x1; y 3x; y x3 .

2.Найти массу пластинки D , заданной указанными линиями: D : x 2; y2 2x; y 0 , если

поверхностная плотность пластинки

7x2

y

.

4

2

3.

Найти

площадь

области

D ,

заданной

ограничивающими

ее

линиями:

x2 4x y2 0; x2 6x y2 0; y

x

; y 3x .

3

4.

Вычислить

тройной

интеграл

в

сферических

координатах:

z dx dy dz

, где

V

x2 y2

z2

V : x2 y2 z2 9; y 0; y x ; z 0 .

3

5. Вычислить координаты центра масс однородного тела V , ограниченного поверхностями:

y 3x2 z2 ; y 9 .

6. Вычислить массу дуги : y 2 2 arcsin

;

1

x 1

при заданной плотности x2

x .

x

4

7. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по формуле Грина: xdy ydx ,

где -

контур треугольника

ABC , A 1; 0 , B 1;0 , C 0;1 .

8. Найти производную скалярного поля:

u z2 2arctg x y

в

точке

M 1; 2; 1 по

направлению l i 2 j 2k .

9. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности S :

7x y 2z dS , где

S

S - часть плоскости P : 3x 2y 2z 6 , отсеченная координатными плоскостями.

10. Выяснить,

является ли векторное

поле a :

a

x

i

y

j

z

k

потенциальным,

y

z

x

соленоидальным или гармоническим.

Контрольные вопросы

1. Как вычислить массу тела с переменной плотностью?

2.Оператор Лапласа и его некоторые применения.

3.Способы вычисления поверхностного интеграла второго рода.

Вариант 60
1	1 x 1 2	f x; y dx dy .
1. Изменить порядок интегрирования: dx

0x

2.Вычислить площадь области D , ограниченной указанными линиями: y x2 2x; y x 2 .

3.	Вычислить	тройной	интеграл:	3x 4 y dx dy dz ,	где	V : y x;
				V
y 0; x 1; z 0; z 5 x2 y2 .
4.	Вычислить	центр масс	однородного	тела V , ограниченного	поверхностями:

x 6y2 z2 ; y2 z2 9; x 0 .

5.

Вычислить

массу

тела

V ,

ограниченного

поверхностями:

x2 y2

1; x2 y2

3z; x 0; y 0 , если поверхностная плотность тела 15x .

0 x

7

6.

Вычислить

массу

дуги : y

1 x2

arcsin x , где

при

заданной плотности

9

272 1 x .

7.Показать, что данное дифференциальное выражение: 3x2 2xy y2 dx 2xy x2 3y2 dy

является полным дифференциалом некоторой функции u u x; y . Найти эту функцию.

8. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности S : 2x 3y 2z dS ,

S

где S - часть плоскости P : x 3y z 3 , отсеченная координатными плоскостями.

3y2

9. Найти угол между градиентами скалярных полей,

u xy2 z и v

2 x2

6 2 z2 в

2

2

1

точке M 1;

;

.

3

6

10. Вычислить поток векторного поля

a : a x y z i 2y j x 2z k

через внешнюю

поверхность

пирамиды, образованную

плоскостью

P : x 2y z 2

и

координатными

плоскостями.

Контрольные вопросы

1. Как найти момент инерции и координаты центра тяжести некоторого тела?

2.Некоторые применения оператора Гамильтона.

3.Как найти момент инерции поверхности с помощью поверхностного интеграла первого рода.

Вариант 61

3

25 x2

f x; y dy .

1.

Изменить порядок интегрирования: dx

0

9 x2

2.

Вычислить двойной интеграл: 12xy 27x2 y2 dxdy , где D : x 1; y x2 ; y 3

; x 0 .

x

D

3.

Вычислить объем тела,

ограниченного

заданными

линиями:

2x 3y 12 0;

2z y2 ; x 0; y 0; z 0 .

4.

Вычислить тройной интеграл:

dx dy dz

, где V :

x

y

z

1 ;

x 0; y 0; z 0 .

x

y

z

5

V

16

8

3

1

16

8

3

5.

Найти массу тела, ограниченного заданными поверхностями, если

x; y; z

-

поверхностная плотность тела: V : 25

x2 y2 z2 ;

x2 y2

z; x 0; y 0; z 0;

2 x2 y2 .

6.

Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V , ограниченную

поверхностями: V : 4y x2

z2 ; x2

z2 16;

y 0 .

7.

Найти работу силы

F при

перемещении

вдоль

линии

от точки

M

к точке

N :

F x2 2y i y2 2x j , где - отрезок от точки M 4;0

до

N 0; 2 .

8.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

y dS

,

где K -дуга полукубической

K

x

4

параболы y2

x3 от точки

A 3; 2 3 до B 8;

32

3

.

9

3

9.

Найти поток векторного поля a через часть плоскости P , расположенную в первом октанте

(нормаль образует острый угол с осью OZ ): a x i y j z k;

P : x y z 1 .

10. Вычислить поверхностный

интеграл

первого рода по поверхности

S ,

где S -часть

плоскости P , отсеченная координатными плоскостями: 4x y 4z dS : P : 2x 2y z 4 .

S

Контрольные вопросы

1.Что называется двойным интегралом?

2.Какое поле называется скалярным?

3.Дайте определение криволинейного интеграла второго рода?

Вариант 62

1

3 y

2

2 y

1.

Изменить порядок интегрирования: dy

f x; y dx dy

f x; y dx .

0

0

1

0

2.

вычислить

площадь области

D ,

ограниченной заданными

линиями:

x2 y2

2y 0;

x2 y2 6y 0; y

x

; x 0 .

3

3.

Вычислить

объем

тела,

ограниченного

заданными

поверхностями:

3

y

5 x

; y

5x

; z 0; z

5

.

x

3

9

9

Вычислить тройной интеграл: 2x 3y z2 dx dy dz , где V :

1 x 0

4.

0 y 1 .

V

2 z 3

y

2

2

5.

Вычислить

тройной

интеграл

в

цилиндрических

координатах:

,

V

x y

V : x2 y2 2x; x z 2; y 0; x 0 .

6.

Вычислить

криволинейный

интеграл

первого рода:

xydl ,

где -

часть

окружности

x2 y2 9 , лежащая в первой четверти.

7.

Вычислить

криволинейный

интеграл

по формуле

Грина:

1 x 2

dx x 1 y 2

dy ,

где

: x2 y2 R2 .

8.

вычислить работу силы

F при перемещении вдоль кривой от точки

до точки

M

4;0

N 0; 2 :

F x2 2y i y2 2x j ,

где - отрезок прямой MN .

4

4

3

3

4

9.

Вычислить массу дуги при заданной плотности : : e

;

0;

; .

7

10. Найти поток векторного поля

a

через часть плоскости

P ,

расположенную в первом

октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ ): a x i y j z k

; P : 2x 3y z 1 .

Контрольные вопросы

1.Физический и геометрический смысл двойного интеграла.

2.Приведите определение производной скалярного поля по направлению.

3.Приведите основные свойства криволинейного интеграла первого рода.

Вариант 63

1.

Вычислить площадь области

D ,

ограниченной заданными

линиями:

D : x 4 x2 ; y x2 2x .

0 x 1

2.

Вычислить тройной интеграл: 3x2

2y z dxdydz , где V : 0 y 1 .

V

1 z 3

3.

Найти массу пластинки

D , заданной ограничивающими ее кривыми,

если

x; y -

поверхностная плотность пластинки D : x2 y2

1; x2

y2

9; x 0; y 0;

2x y

.

x2 y2

4.

Найти

объем

тела,

ограниченного

заданными

поверхностями:

x y 4; x

; z 0; z

3x

.

2 y

5

5.

Вычислить

тройной

интеграл в

сферических

координатах:

x dx dy dz

, где

x

2

y

2

z

2

V

V :1 x2 y2 z2 9; y x; y 0; z 0 .

6.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

dl

, где - отрезок прямой,

x

2

y

2

z

2

соединяющей точки A 1;1;1

и B

2; 2; 2

.

7.

Найти

работу

силы

F : F x2

2y i y2 2x j

при

перемещении

вдоль

линии

: y 2

x2

от точки

M 0; 2 до точки

N 0; 2 .

8

yz2

x3

3

3

8.

Найти угол между градиентами скалярных полей:

u

и

v

6 y

3

6 z

в точке

x2

2

1 1

M2; ; .

2 3

9.Найти поток векторного поля a : a 2x z i y x j x 2z k , через внешнюю поверхность пирамиды, образованной плоскостью P : x y z 2 и координатными плоскостями.

10.Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности S , где S - часть

плоскости P , отсеченная координатными плоскостями: 4x y z dS , где P : x y z 2 .

S

Контрольные вопросы

1.Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

2.Дайте определение градиента и сформулируйте его свойства.

3.Вычисление двойного интеграла первого рода, если кривая интегрирования задана явно.

Вариант 64

Вычислить двойной интеграл: 18x2 y2

32x3 y3 dxdy , где D : x 1;

1.

y 3

x; y x2 ; x 0 .

D

2.

Найти

площадь

области

D ,

ограниченной

заданными

линиями:

D : x2 2x y2 0; x2 4x y2 0; y 0; y 3 x .

3.

Вычислить

объем

тела

V ,

ограниченного

заданными

поверхностями:

V : x y 4; y 2x; z 0; z 3y .

4.

Вычислить

тройной интеграл

в сферических

координатах:

y2 dx dy dz

, где

x

2

y

2

z

2

V

V : 4 x2 y2 z2

36; x 0; z 0; y

3 x .

5.

Найти массу тела, ограниченного заданными ее поверхностями, если

x; y; z -

поверхностная плотность V : x2 y2 z2

4;

x2 y2

4z2 ; x 0; y 0; 10z .

6.

Вычислить

массу дуги

: 1 sin ,

если

0

при

заданной

плотности

2

sin ; .

4 2

7.

Найти работу

силы F : F x y i 2x j

при

перемещении

вдоль

линии

: x2 y2 4, y 0 от точки M 2;0 до точки N 2; 0 .

3

8. Найти производную скалярного поля u : u

x2 y2

z2

2

в точке M 1;1;1

по направлению

вектора l i j k .

9. Вычислить циркуляцию векторного поля

a : a x z i z j 2x y k по

контуру

треугольника, полученного в результате пересечения плоскости

P : 2x 2y z 4 с

координатными плоскостями (при положительном направлении обхода контура).

10.

Вычислить поток

векторного поля a :

a 2y z i y x j x k

через внешнюю

поверхность пирамиды, образованной плоскостью

P : x 2y 2z 4

и

координатными

плоскостями.

Контрольные вопросы

1.Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

2.Какое поле называется векторным?

3.Вычисление криволинейного интеграла первого рода, кривая интегрирования задана параметрически.

	Вариант 65
1. Представить	двойной интеграл f x; y dxdy в виде повторного с внешним
	D
интегрированием по	x и внешним интегрированием по y , если область D задана указанными

линиями: D : y 0; y x; y 2 x2 .

2.

Вычислить

объем

тела,

ограниченного

заданными

поверхностями:

y

5

; y

5

x; z 0; z

5

3

.

x

x

6

18

18

3.

Найти массу пластинки

D ,

ограниченной заданными линиями: x 2; y 0; y2 2x , если

поверхностная плотность пластинки

7x2

y .

4

4.

Вычислить координаты центра масс однородного тела V , ограниченного поверхностями:

y2 z2 8x; x 2 .

5.

Вычислить момент

инерции однородного тела V ,

ограниченного

поверхностями:

z 2 x2 y2 ; z 2 относительно оси OZ .

6. Вычислить криволинейный интеграл первого рода: 2 ydl , где - первая арка циклоиды:

x 2 t sin t

y 2 1 cos t .

7.

Найти

работу

силы

F : F x3 i y3 j

при перемещении

вдоль

линии

: x2

y2

4 x 0; y 0

от точки M 2;0 до точки N 0; 2 .

8.

Найти угол между градиентами скалярных полей

u u x; y; z и

v v x; y; z

в точке

1

3

u x

2

3

4 6

6

3

M 2;

;

;

yz

; v

.

3

2

x

9 y

z

9.

Найти

поток

векторного

поля

a : a 2z x i x y j 3x z k

через внешнюю

поверхность

пирамиды,

образованную плоскостью

P : x y 2z 2

и

координатными

плоскостями.

10. Выяснить является ли векторное поле a : a : y z i 3xyz j z x k соленоидальным,

потенциальным или гармоническим.

Контрольные вопросы

1.Что называется областью интегрирования? Простая и сложная области.

2.Приведите формулу Остроградского-Гаусса.

3.Вычисление криволинейного интеграла первого рода, кривая интегрирования задана в полярных координатах.

Вариант 66

			3	0			2
1.	Изменить порядок интегрирования: dx						f x; y dy dx				f x; y dy .
			0	2		2	3		4 x	2
				4 x
	Вычислить двойной интеграл: 27x2 y2			48x3 y3 dxdy , где D : x 1; y x3 ; y
2.													x .
			D
3.	Вычислить	площадь	области		D ,		ограниченной				заданными	линиями:

x2 y2 4y 0; x2 y2 8y 0; y x; x 0 .

4.

Вычислить тройной интеграл

в сферических координатах:

x2 dx dy dz

, где

x

2

y

2

z

2

3

V

V : x2 y2 z2 16; z 0 .

5.

Вычислить

объем

тела

V ,

ограниченного

заданными

поверхностями:

x 192y; x 42y; z 0; z y 2 .

6.	Вычислить массу дуги : 2 1 cos , где				, если плотность cos .
					2			2
7.	Вычислить работу силы		F x y i x2 y j		при перемещении вдоль прямой				от точки
M 1; 2 до точки N 0;1 .
8.	Найти	поток векторного поля a :		a y 2z i x 2z j x 2y k через					внешнюю
поверхность		пирамиды, образованную		плоскостью		P : 2x y 2z 2	и	координатными
плоскостями.
9.	Вычислить циркуляцию		векторного	поля a : a x z i x 3y j y k по контуру
треугольника,		полученного	пересечением плоскости			P : x y 2z 2	с	координатными

плоскостями.

10. Выяснить является ли векторное поле a : a y z i x z j x2 y2 k

соленоидальным, потенциальным или гармоническим.

Контрольные вопросы

1.Что такое якобиан и его геометрический смысл?

2.Что такое дивергенция векторного поля?

3.Вычисление площади области, ограниченной заданной кривой, через криволинейный интеграл второго рода.

Вариант 67

Вычислить двойной интеграл: 24xy 48x3 y3 dxdy , где D : x 1;

y x2 ; y

1.

x .

D

2.

Вычислить массу пластинки, ограниченной линиями:

x2 y2 1;

x2 y2

4; x 0; y 0 ,

если поверхностная плотность пластинки

x 2 y

.

x2 y2

3z

3.

Вычислить

тройной

интеграл:

5x

dxdydz ,

где

V : y x;

2

V

y0; x 1; z 0; z x2 15y2 .

4.Вычислить координаты центра масс однородного тела V , ограниченного поверхностями:

V : z 9x2 y2 ; z 36 .

5. Вычислить криволинейный интеграл первого рода: x2 y2 z2 dl , где				-дуга кривой:
			0 t 2 .
x cos t; y sin t; z	3 t;

6.Найти работу силы F : F x y i x y j при перемещении вдоль линии : y x2 от точки M 1;1 до точки N 1;1 .

7.Найти производную скалярного поля: u x ln z2 y2 в точке M 2;1;1 по направлению

вектора l 2i j k .
8.	Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности				S , где S -часть
плоскости P : x 2y z 2 , отсеченная координатными плоскостями: 5x 2 y 2z dS .
				S
9.	Найти	поток векторного поля		a : a x z i 2y j x y z k	через внешнюю
поверхность, образованную плоскостью P : x 2y z 2 и координатными плоскостями.
10.	Найти циркуляцию		векторного	поля a : a 2y z i x y j x k по контуру
треугольника,		полученного	пересечением плоскости P : x 2y 2z 4		с координатными
плоскостями.

Контрольные вопросы

1.Перечислите основные свойства двойного интеграла.

2.Что такое ротор векторного поля и как его вычислить?

3.Вычисление работы силы F при перемещении вдоль линии с помощью криволинейного интеграла второго рода.