Вычисление расстояния от точки до плоскости

Реферат

по алгебре и геометрии

Вычисление расстояния между линейными геометрическими объектами в пространстве

студента группы КБ-12

Никитченко Богдана

Вычисление расстояния от точки до плоскости

Первый способ

Расстояние от точки до плоскости находим по следующей формуле:

d= , где - длина вектора нормали N={A;B:C} плоскости α, а число есть результат подстановки координат точки M₁(x₁; y₁; z₁) в левую часть общего уравнения плоскости.

Пример ( Клетеник № 959(5)):

Вычислить расстояние d от точки M₅(9;2;-2) до плоскости 12y-5z+5=0.

Решение:

N= {0; 12; -5}

d= = 3

Ответ: 3

Второй способ

Составляем уравнение прямой L, которая проходит через точку М₁ и перпендикулярна к плоскости α.

Находим координаты  точки M₀(x₀; y₀; z₀) - точки пересечения прямой L и плоскости α.

Вычисляем расстояние между точками M₀ и М₁  по формуле:

d= M₀M₁ = (x₁-x₀)² + (y₁-y₀)² + (z₁-z₀)²

Пример ( Клетеник № 959(4)):

Вычислить расстояние d от точки M₄(3;-6;7) до плоскости 4x-3z-1=0.

Решение:

L:

4(4t+3) -3(-3t+7) =0

16t +12 +9t -21-1=0

25t=10

t=0,4

x₀= 4•0,4+3=4,6

y₀= - 6

z₀= -3•0,4+7=5,8

M₀(4,6; -6; 5,8)

d= = 2

Ответ: 2

Вычисление расстояния между параллельными плоскостями

Первый способ

Выберем любую точку на первой плоскости.

Применим формулу расстояния от точки до плоскости.

d=

Пример (Клетеник № 964(5)):

Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

30x-32y+24z-75=0 15x-16y+12z-25=0

Решение:

Пусть y=0 и z=0. Тогда подставив эти значения в первое уравнение, получим

x=2,5. Мы получили точку М(2,5; 0; 0) . Применим формулу расстояния от точки до плоскости: d= =0,5

Ответ: 0,5

Второй способ

Если плоскость α задана уравнением Ax + By + Cz + D₁=0 , а плоскость β задана уравнением Ax + By + Cz + D₂=0, то расстояние между параллельными плоскостями находим по следующей формуле:

d=

Пример( Клетеник №964(6)):

Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

6x-18y-9z-28=0 4x-12y-6z-7=0

Решение:

Умножив обе части второго уравнения на , получим 6x-18y-9z-10,5=0.

Применим формулу: d= =

Ответ:

Вычисление расстояния от точки до прямой в пространстве

Первый способ

Определим направляющий вектор прямой a ={ l; m; n}и вычислим его длину по формуле a =

Найдем координаты некоторой точки М₀(x₀; y₀; z₀), лежащей на прямой a. Вычислим координаты вектора M₀M₁={x₁-x₀; y₁-y₀; z₁-z₀}, найдем векторное произведение векторов a и M₀M₁ и его длину.

Найдем расстояние от точки до прямой в пространстве по формуле:

d(M₁;L)=

Пример (Клетеник №1063(1)):

Вычислить расстояние d от точки P(2; 3; -1) до прямой:

= =

Решение:

a = {3; 2; -2}

a = =

M₀(5; 0; -25) M₀P = {-3; 3; 24}

a x M ₀P = = 54i – 66j + 15k

a x M ₀P = =21

d= 21 =21

Ответ: 21

Второй способ

Составляем уравнение плоскости α , проходящей через данную точку М₁(x₁; y₁; z₁) перпендикулярно к данной прямой L.

Определяем координаты M₀(x₀; y₀; z₀) – точки пересечения прямой  L и плоскости α .

Находим расстояние от точки М₁до прямой L по формуле:

d= (x₁-x₀)² + (y₁-y₀)² + (z₁-z₀)²

Пример(Клетеник №1063(2)):

Вычислить расстояние d от точки P(2; 3; -1) до прямой:

Решение:

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку P(2; 3; -1) с вектором нормали a={1; 1; 4}.

(x-2) + (y-3) +4(z+1)=0

x+y+4z-1=0

Найдем точку пересечения прямой и плоскости

(t+1)+(t+2)+4(4t+13)-1=0

t+1+t+2+16t+52-1=0

18t=-54

t= -3

M₀(-2; -1; 1) - точка пересечения прямой   и плоскости.

d==6

Ответ: 6

Вычисление расстояния между параллельными прямыми

Выберем на одной из прямых любую точку.

Применим формулу расстояния от точки до прямой:

d(M₁;L)=

Пример(Клетеник № 1064):

Убедившись, что прямые параллельны, вычислить расстояние d между ними.

Решение:

Перейдем от общих уравнений прямой к каноническому.

Найдем точку M₀(x₀; y₀; z₀)

Пусть z₀=0. Тогда подставим это значение в общие уравнения прямой.

4x=54

x=13,5

y= -8,5

M₀(13,5; -8,5; 0)

a₁ =N₁ x N₂== -3i+j-4k

a ₁={-3,1,-4} a ₂={3,-1,4}

Векторы a₁ и a₂ коллинеарны. Следовательно прямые параллельны.

Из уравнения второй прямой находим M₁(-7; 5; 9).

M₀M₁={-20,5; 13,5; 9}

a₁ x M₀M₁==63i+109j-20k

a₁ =

a₁ x M₀M₁ =

d= =25

Ответ: 25

Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми находим по формуле: d(L₁;L₂)=, где a₁,a₂ – направляющие векторы прямых, M₁, M₂–точки на прямых L₁ и L₂.

Если числитель равен нулю, то прямые пересекаются.

Пример (Клетеник №1083(3)):

Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми: = =

Решение:

a₁ x a₂ = = -6i-9j-18k

a₁ x a₂ = 21

M₁(-5; -5; 1) M₂(9; 0; 2)

M₂M₁₌{14; 5; 1}

a₁ a₂ M₂M₁ = -84 – 45 -18 =147

d==7

Ответ: 7