1.3. Обобщенный метод наименьших квадратов
При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется заменять традиционный метод наименьших квадратов (Ordinary Least Squares OLS) обобщенным методом (Generalized Least Squares GLS).
Обобщенный метод наименьших квадратов применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии. В этом разделе остановимся на использовании обобщенного МНК для корректировки гетероскедастичности.
Как и раньше, предположим, что среднее значение остатков равно нулю, а дисперсия их пропорциональна величине Кi, т. е.
(34)
где дисперсия ошибки при конкретном i-м значении фактора; 2 постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков; Кi коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением величины фактора, что и обусловливает неоднородность дисперсии.
При этом предполагается, что 2 неизвестна, а в отношении величины К выдвигаются гипотезы, характеризующие структуру гeтероскедастичности.
В общем виде для уравнения yi = a + b x + i при модель примет вид:
yi = + i xi + i. (35)
В данной модели остаточные величины гeтероскедастичны. Предположив в них отсутствие автокорреляции, перейдем к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходе i-го наблюдения, на . Тогда дисперсия остатков будет величиной постоянной, т.е. . Иными словами, от регрессии у по х мы перейдем к регрессии на новых переменных: и. Уравнение регрессии примет следующий вид:
. (36)
Исходные данные для этого уравнения будут иметь вид:
(37)
По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешенную регрессию, в которой переменные у и х взяты с весами .
Оценка параметров уравнения с преобразованными переменными дается с помощью взвешенного метода наименьших квадратов, для которого необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений вида .
Если преобразованные переменные х и у взять в отклонениях от средних уровней, то коэффициент регрессии b можно определить как
. (38)
Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности коэффициент регрессии b представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному методу наименьших квадратов с весами 1/К.
Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и для уравнения множественной регрессии.
Например, при рассмотрении зависимости сбережений у от дохода х по первоначальным данным было получено уравнение регрессии
у = 1,081 + 0,1178х.
Применив обобщенный МНК к данной модели в предположении, что ошибки пропорциональны доходу, было получено уравнение для преобразованных данных .
Коэффициент регрессии первого уравнения сравнивают со свободным членом второго уравнения, т.е. 0,1178 и 0,1026 оценки параметром b зависимости сбережений от дохода.
Обобщенный метод наименьших квадратов устраняет гетероскедастичность, если известна взаимосвязь ошибок регрессии (i) с фактором х (например, на основе рассмотренных тестов гeтероскедастичности). Иными словами, должны быть установлены коэффициенты пропорциональности Кi, что и приводит к взвешенному методу наименьших квадратов.