28. Линейные операторы. Действия над операторами

29.Собственные векторы и собственные значения оператора. Характеристический многочлен

Собственные векторы и собственные значения.

Ненулевой вектор х называется собственным вектором линейного оператора Ã, если найдется такое λ, что выполняется условие: Ã(х)=λ(х) (1)

λ – собственное значение оператора Ã.

В матричном виде имеем Ах=λх

Ах-λх=0

(А-λЕ)·Х=0 (2)

Матричное уравнение (2) имеет ненулевое решение, если определитель ∆ (А-λЕ) = 0 (3).

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением оператора Ã. А сам ∆ называется характеристическим многочленом оператора Ã.

Решая уравнение (3) находим собственное значение оператора Ã. Затем для каждого собственного значения находят собственный вектор решая уравнение (2).

30.Диагональная матрица в базисе собственных векторов

Диагональная матрица оператора Ã.

Пусть Ã имеет n-линейно-независимых собственных векторов (е₁,е₂,…е_n ) соответствующих собственным значениям (λ₁,λ₂,…λ_n). Тогда матрица оператора в базисе собственных векторов будет иметь диагональный вид.

А= λ₁ 0 …. 0

0 λ₂…. 0 - диагональная матрица оператора

…………..

0 ….. 0 λ_n

Верно и обратное утверждение: если А оператора Ã имеет диагональный вид, то все векторы этого базиса являются собственными векторами оператора.

31.Квадратичные формы

Квадратичной формой L =(х₁,х₂,….х_n) от n-переменных называется сумма ∑∑ a_ij x_i x_j

^{i j}

a_ij – некоторые числа для которых a_{ij =} a_ji

L(x₁,x₂,x₃) = x₁²+x₂²+x₃²+2x₁x₂+4x₂x₃-x₁x₃.

A = (a_ij)_nn – называется матрицей квадратичной формы, матрица симметрична относительно главной диагонали. A = 1 1 -0,5

1 1 2

-0,5 2 1

Тогда квадратичная форма в матричном виде записывается с помощью формулы L=X^TAX

32.Каноническая форма квадратичной формы

Каноническая форма квадратичной формы.

L = ∑ a_iix_i² –называется канонической формой

ⁱ⁼¹

(A_ij=0, i = j)

Матрица квадратичной формы в каноническом виде представляет собой диагональную матрицу

а₁ 0 …. 0

0 а₂…. 0

…………

0 … 0 а_n

Любую квадратичную форму с помощью линейных невырожденных образований можно перевести в канонический вид.

Квадратичную форму по разному можно перевести в каноническую форму, но при этом сохраняются некоторые общие свойства:

1) Закон инерции для квадратичной формы:

Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способов приведения к каноническому виду.

2) Знакоопределенность квадратичной формы не меняется от способа приведения к каноническому виду.

Ранг квадратичной формы равен числу неравных нулю коэффициентов канон. вида кв. формы.

33.Знакоопределенность квадратичной формы

Выделяют положительно, отрицательно, и знаконеопределенные формы. Определение: квадратичная форма L называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех переменных из которых хотя бы одна отлична от нуля выполняется условие: L(х₁,х₂,….х_n)>(<)0.

Существуют разные формы определения знака квадратичной формы.

Для того чтобы квадратичная форма L была положительно (отрицательно) определенной, нужно чтобы все собственные значения матрицы кв. формы были положительны (отрицательны).

Теорема 2. Критерий Сильвестра.

Для того чтобы квадратичная форма L знакоопределенной, необходимо и достаточно чтобы главные миноры матрицы кв. формы:

1) были положительны ∆₁>0, ∆₂>0, ∆_n>0 L>0

2) были отрицательны ∆₁<0, ∆₂>0, ∆₃>0 L<0