Пример моделирования дифференциального уравнения второго порядка

.

.

Пусть задано уравнение:

.

(222)

Программирование (процесс решения) заключается в следующем.

Анализируется возможность решения этого уравнения и единственность этого решения. Например, анализируется, заданы ли начальные условия, известны ли максимальные значения переменных величин. Анализируется возможность решения этого уравнения относительно старшей переменной.

Предположим, что начальные условия задачи:

, .

(223)

Уравнение решается относительно старшей производной:

.

(224)

Если уравнение решается относительно старшей производной и решение единственно можно переходить к составлению структурной схемы решения задачи.

Но бывают случаи, когда перед старшей производной входит коэффициент, зависимый от времени:

В этом случае уравнение невозможно формально решить относительно старшей производной, потому что возникает неопределенность.

,

(225)

так как, если a(t)  0 при t  0, то система становиться неустойчивой.

Обойти эту ситуацию можно, если ввести формально фиктивную более старшую производную.

	(226)
	(227)

Эта фиктивная производная характеризует скорость изменения старшей производной, существующей в реальной системе. Поэтому, если в дальнейшем при расчете коэффициента передачи соответствующей фиктивной производной выбрать максимально возможным для данной конкретной машины, то скорость изменения будет максимальна и эту производную можно будет исключить.

Поэтому в процессе решения при включении питания длительность переходного процесса по этой фиктивной производной будет минимальна и как бы через короткий промежуток времени в процессе решения задачи на модели вновь введенная фиктивная производная быстро исчезнет.

При составлении структурных схем решения подобных задач на АВМ используются следующие обозначения:

– суммирующий усилитель.

– интегрирующий усилитель, - начальные условия.

– интегрирующий усилитель с суммированием по входу.

– аналоговый инвертор.

Рис. 140. Условные обозначения решающих блоков

Порядок составления структурной схемы с учетом введенных обозначений следующий.

Сначала, считая формально, что правая часть уравнения известна, формируем левую часть.

Рис. 141. Предварительная схема формирования заданного уравнения

С учетом инвертирующих свойств сумматора получаем правую часть с противоположным знаком, считая известными.

Если в процессе решения задачи будет необходима информация о старшей производной заданного уравнения необходимо полученную величину проинвертировать. Теперь, считая, что левая часть известна, формируем правую часть уравнения. Поэтому, интегрируя, получим величину пропорциональную x^/. В решение уравнения она входит со знаком «–», поэтому инвертировать не надо.

Константа «2» – это величина, пропорциональная правой части заданного уравнения. Физически это означает какое-то внешнее воздействие на объект. Поэтому это моделируется с помощью отдельного устройства. Так как у нас это константа, то для ее моделирования с выхода источника питания через делитель напряжения формируется сигнал, рассчитанный через масштабные величины.

Если же правая часть исходного уравнения имеет вид функции от времени, то для ее моделирования используется специальное устройство машины. Например, блок нелинейных функций.

Если функция линейная, то для её моделирования используется интегратор. Полученную схему надо замкнуть соответствующим образом. Если нас не устраивает решение задачи в инверсном виде, то надо добавить инвертор.

После составления предварительной структурной схемы анализируется возможность её упрощения. Способы упрощения: если в процессе решения задачи нет необходимости в получении информации о старшей производной, то можно первый суммирующий усилитель Y₁ совместить с интегрирующим, то есть поставить интегрирующий усилитель с суммированием по входу. Схема будет иметь следующий вид:

Рис. 142. Скорректированная схема решения

Пояснения в соответствии с добавлениями: k₁₁, k₁₂, k₁₃, k₂₁, k₃₁, k₄₁ коэффициенты передачи усилителей по входам.

Обозначим коэффициенты передачи и переходим к их расчету исходя из масштабных соотношений.

.

(228)

Далее нужно рассчитать напряжения соответствующие начальным условиям:

.

(229)

После того, как все рассчитано, производится набор или коммутация этой схемы на машине и идет процесс решения задачи.

Контрольные вопросы

1. Особенности физического и математического моделирования.

2. Поясните смысл и назначение критерия подобия.

3. Назначение и сущность масштабных величин.

4. Расчет коэффициента передачи суммирующего усилителя.

5. Порядок моделирования дифференциальных уравнений.