Задание 3. Расчет балок на прочность при плоском изгибе
Стальная балка постоянного поперечного сечения нагружена двумя силами Р1 , Р2 и внешним изгибающим моментомМ(схемаана рис. 11 и 12) или силойР1 , моментомМ и распределенной нагрузкой интенсивностьюq(схемабна рис. 11 и 12).
Требуется:
– определить реакции опор, выполнив проверку полученных значений;
– построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, записав их аналитическое выражение для каждого из участков;
– определить положение опасного сечения балки и внутренние силовые факторы, действующие в нем;
– из расчета на прочность по нормальным напряжениям при изгибе подобрать для каждой схемы нагружения размеры поперечного сечения для трех вариантов изготовления балки (для схемы апоперечное сечение имеет вид круга диаметромd, прямоугольника с определенным соотношением высотыhи шириныb, двутавра, а для схемыб – кольца с заданным отношением внутреннегоdи наружногоDдиаметров, квадрата и швеллера);
– сравнить массы полученных для каждой схемы балок и выбрать наиболее экономичное сечение.
Геометрические характеристики сечений приведены в приложении.
Номер схемы соответствует последней цифре варианта, а номер строки в таблице 3 – первой цифре варианта.
Таблица 3
Исходные данные для расчета балки при изгибе
Первая цифра варианта |
P1, кН |
P2, кН |
M, к |
q, кН/м |
a, м |
b, м |
c, м |
h /b |
d/D |
[σ], МПа | ||
1 |
20 |
15 |
60 |
20 |
1,1 |
2,0 |
1,4 |
1,5 |
0,60 |
160 | ||
2 |
30 |
10 |
70 |
40 |
1,2 |
1,8 |
1,5 |
2,0 |
0,70 |
180 | ||
3 |
40 |
20 |
80 |
30 |
1,4 |
1,6 |
1,6 |
2,5 |
0,80 |
200 | ||
4 |
25 |
30 |
90 |
10 |
1,5 |
1,5 |
0,8 |
3,0 |
0,90 |
220 | ||
5 |
35 |
25 |
50 |
40 |
1,0 |
2,0 |
1,6 |
3,5 |
0,55 |
240 | ||
6 |
45 |
15 |
30 |
50 |
1,2 |
1,6 |
1,5 |
3,0 |
0,60 |
220 | ||
7 |
15 |
35 |
60 |
30 |
1,1 |
1,8 |
0,6 |
2,5 |
0,70 |
200 | ||
8 |
50 |
10 |
40 |
30 |
1,3 |
1,5 |
1,2 |
2,0 |
0,80 |
180 | ||
9 |
25 |
20 |
70 |
40 |
1,2 |
2,2 |
0,8 |
1,5 |
0,90 |
160 | ||
0 |
15 |
30 |
80 |
20 |
1,4 |
2,1 |
1,3 |
3,5 |
0,75 |
140 | ||
| ||||||||||||
| ||||||||||||
| ||||||||||||
| ||||||||||||
|
Рис. 11. Схемы нагружения балок
Рис. 12. Схемы нагружения балок
Пример выполнения задания.Дано: схема балки (рис. 13);
На изгиб работают балки, валы, оси и другие детали различных конструкций. В качестве примера можно привести межэтажные перекрытия зданий и сооружений, консольные балки балконов и козырьков, мостовые балки и т. п. В данной работе рассмотрен изгиб брусьев, имеющих хотя бы одну плоскость симметрии, а плоскость действия нагрузок совпадает с ней.
При поперечном изгибе в любом поперечном сечении возникают деформации растяжения и сжатия, сдвига. Основой расчета на прочность большинства балок является расчет по нормальным напряжениям. В отличие от деформаций при центральном растяжении и сжатии напряжения, возникающие при поперечном изгибе, неравномерно распределяются по площади поперечного сечения и зависят не только от его площади, но и от формы сечения. Поэтому для экономически обоснованного расчета необходимо выбрать рациональные размеры и форму сечения.
1. Определение реакций опор балки от заданной нагрузки.
Покажем внешние силы, приложенные к ферме: пары сил с моментами и; силуР; распределенную нагрузку интенсивностьюqи реакции опорАиВ(рис. 13).
Реакция в опоре А (шарнирно-неподвижная опора) раскладывается на две составляющие – ZА и YА; в точке В реакция направлена перпендикулярно поверхности установки катка – RB.
Составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:
Из этих уравнений ZА = 0 кН; YА= 30 кН;RB= 30 кН.
Для проверки правильности вычислений составим уравнение моментов сил относительно точки В:
то есть реакции опор найдены верно.
Расчетная схема балки приведена на рис. 14.
2. Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов .
Разбиваем балку на участки. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, моменты и начинает или заканчивает действие распределенная нагрузка. Рассматриваемая балка делится на три участка.
Запишем уравнения для определения внутренних силовых факторов для каждого из участков.
I участок():
Рис.15.УчастокI
Отсюда
На границах участка:
при м
при
II участок():
Рис. 16. УчастокII
Отсюда
На границах участка:
при
при
Так как поперечная сила Q2 на участке меняет знак, то эпюра изгибающего момента в этом сечении имеет минимум или максимум. ПриQ2= 0 координатам. Значение изгибающего момента в этом сечении:
III участок():
Рис. 17. УчастокIII
Отсюда
На границах участка:
при м
при
По полученным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 14).
3. Определение положения опасного сечения.
Опасное сечение расположено в том месте, где модуль изгибающего момента имеет максимальное значение. В рассмотренном примере оно расположено на границе второго и третьего участков, где
4. Определение расчетного осевого момента сопротивления сечения.
Из условия прочности по нормальным напряжениям
находим расчетный осевой момент сопротивления сечения балки с учетом того, что [σ] = 190 МПа:
Определение размеров наиболее распространенных сечений балок.
5.1. Круг:
5.2. Квадрат:
5.3. Прямоугольник с соотношением сторон h/b = 2:
5.4. Кольцо с соотношением α = d/D= 0,7:
5.5. Двутавр: по таблице сортамента прокатной стали (ГОСТ 8239 – 89) подбираем двутавровое сечение с моментом сопротивления большим или равным расчетному. В данном случае это двутавр №27, у которого
Сравнение масс полученных балок.
Для выбора наиболее экономичного варианта изготовления сравним массы балок различного поперечного сечения. При прочих равных условиях массы балок относятся так же, как и площади их поперечных сечений:
Таким образом, наиболее выгодной является балка двутаврового сечения, масса которой, а следовательно, и стоимость, в 4,39 раза меньше, чем у балки круглого сечения.