4. Проекция вектора на ось и на плоскость.

Определение. Проекцией точки на осьназывается точка- точка пересечения этой оси с плоскостью, проходящей через точку, перпендикулярно оси(рис. 2.17).

Определение. Геометрической проекцией вектора на осьназывается вектор, гдеисоответственно проекции Рис. 2.17 точек ина ось.

Пусть орт направления оси, тогда существует такое число, что вектор. Числоназываюталгебраической проекцией вектора на осьи обозначают прили пр.

Очевидно, пр=, где- угол между вектороми положительным направлением оси.

Имеют место следующие свойства: а) ; б). Рассматривая отдельноилегко установить свойство а). Второе свойство очевидно.

Определение. Проекцией точки на плоскостьназывается точка- точка пересечения этой плоскости и перпендикуляра, опущенного из точкина плоскость (рис. 2.18).

Определение. Проекцией вектора на плоскость

называют вектор , гдеипроекции точекина эту плоскость и обозначают её

Рис. 2.18 .

Свойства проекции вектора на плоскость:

а) (постоянный множитель можно выносить за знак проекции);

б) (проекция суммы равна сумме проекций).

Справедливость свойства усматривается из рисунка 2.18.

5. Различные виды произведений векторов.

5.1. Скалярное произведение двух векторов.

Определение скалярного произведения векторов

и его свойства.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними.

Скалярное произведение векторов иобозначается(или, или).

Если - угол между векторамии, то по определению.

Так как , то справедлива формула. Справедлива и формула.

Итак,

Скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного из этих векторов и проекции другого на направление первого.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами.

1). (коммутативный закон). Это свойство непосредственно следует из определения скалярного произведения.

2). (ассоциативный закон). ►Действительно, .◄

3). (дистрибутивный закон.) ►◄

4). .

Скалярное произведение векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

►Необходимость. Пусть , тогда, откуда либо один из векторов нулевой, либо. Если один из векторов нулевой, то ему можно приписать любое направление, и векторыиперпендикулярны. Если же, то уголпрямой и векторыиперпендикулярны.

Доказано, что из следует.

Достаточность. Пусть, тогда, а, следовательно,. Следовательно, изследует.◄

5). .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины этого вектора. ►Действительно, ◄

Скалярное произведение в координатной форме.

Пусть и.

Так как взаимно перпендикулярные орты, то,и, учитывая свойства скалярного произведения, имеем.

Скалярное произведение векторов ив координатной форме равно сумме произведений одноименных координат этих векторов, т.е. .

Применение скалярного произведения.

Скалярное произведение векторов применяется для нахождения длины вектора, косинуса угла между векторами, проекции одного вектора на направление другого и установления перпендикулярности векторов.

1) или.

2) .

3) .

4) .

● Пример 9. Дано: ,,,,.

Найти: а) длину вектора ;

б) значение параметра , при котором векторыиперпендикулярны.

Решение. а) ;

б) .=

, откуда .

При векторыиперпендикулярны.

● Пример 10. Даны два вектора ,, приложенные к одной точке. Найти вектор, перпендикулярный вектору, равный ему по длине, компланарный с векторами,и образующий с векторомострый угол.

Решение. Так как векторы ,,компланарны, а векторыинеколлинеарны, то векторможет быть разложен по векторами. Найдутся такие числаи, что. Тогда. Вектор, поэтому скалярное произведение.и.

Вектор образует с векторомострый угол, поэтому косинус угла между этими векторами положителен и., откуда.

Так как , то и , откуда. Учитывая, что , имееми.●