книги / Применение теории вероятностей в расчётах систем электроснабжения

откуда е0= 0,3024; е, = 0,4404, е2 = 0,2144; е3 = 0,0404; е4 = = 0i002. Составляя значения накопленных сумм вероятностей но (1.15) — (0,3024; 0,7428; 0,9572; 0,9976; 1), убеждаемся, что условие (1.16) выполняется при тх= 2.

В некоторых практических задачах электроснабжения тре­ буется вычислить характеристики наложений определенных участков графиков, например по активной мощности. В таких случаях под коэффициентом включения Кь следует понимать относительные длительности, участков, а под коэффициентом отключения Ко — относительные длительности остальных участков за время наблюдения Т».

2. МОДЕЛЬ «СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА»

2.1. КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Случайная величина (СВ) — понятие более общее, чем понятие СС, так как любому СС, как правило, ставится в соответствие СВ. Случайная величина: — Количественная ха­ рактеристика результата опыта. В общем случае СВ пред­ ставляют-значения U(t), изображенные на рис. 3 кружками и являющиеся ординатами графиков U(i). Таким образом, СВ есть описываемое статистическими закономерностями множество значений, которые в результате опыта могут при­ нимать заранее не известный вид. Различают три типа СВ: дискретные, непрерывные и смешанные.

Дискретной СВ называется случайная величина, прини­ мающая отдельные друг от друга значения, которые можно пронумеровать. Вероятность того, что дискретная СВ примет одно из возможных значений, равна вероятности появления СС, соответствующего этому значению. Примером дискретных СВ являются ординаты ступенчатых графиков нагрузки Рн \ изображенных на рис. 2 (кривые 1 и 2),

Непрерывной СВ называется случайная величина, возмож­ ные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток или всю числовую ось (от — оо до + о о ) . Она при­ нимает несчетное множество значений, поэтому вероятность появления любого значения равна нулю. Примером непре­ рывной СВ является бесчисленное множество ординат непцерывных графиков U(t), изображенных на рис. 3.

Смешанной СВ называется случайная величина, возмож­ ные значения которой непрерывно заполняют некоторый про­ межуток и принимают отдельные дискретные значения. Прн-

21

мером смешанной СВ служит нагрузка ЭП с непрерывным графиком за время /в, но работающего с паузами или участ­ ками холостого хода (кружки на рис. 9).

2.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Законом распределения СВ называется соотношение, уста­ навливающее связь между возможными значениями СВ и со­ ответствующими им вероятностями. Закон распределения за­ дается в табличной, графической и аналитической формах.

Для дискретной СВ табличная форма закона распределе­

ния называется рядом распределения. Ряд			распределения
представляется	таблицей попарных	значений	лу и	— дис­
кретных СВ и	их вероятностен. Для	условий	примера 10 со­

ставим ряд распределения. Положим, что каждый из ЭП име­ ет Я,юм=10 кВт и за время /в работает с коэффициентом за­

грузки	К з = 1 .		Тогда вероятности		отключенного состояния
всех	ЭП	е0,4	будет	соответствовать		нагрузка	0 кВт
(Ро,4 = 0 кВт),			а вероятностям включенного			состояния одного,
двух,	трех н		четырех	ЭП ei,4; £2,4; <?з.4‘, е4,4 будут соответ­
ствовать		Р,,4= 10 кВт,		/>2 ,4 = 20	кВт, / >3 ,4	= 30 кВт,	Р А,4=

= 40 кВт. Ряд распределения запишется в виде таблицы.

Ряд распределения становится более наглядным, если его представить графически. Для этого но оси абсцисс отклады­ ваются значения дискретной СВ, а по осп ординат — вероят­ ности, соответствующие каждой дискетой СВ. График ряда распределения, заданного табл. 2.1, изображен на рис. 10. Для наглядности вершины ординат соединяют прямыми, хо­ тя в промежутках между дискретными СВ график не имеет

22

смысла. Полученная на рисунке фигура называется много­ угольником распределения. Сумма ординат вершин много­ угольника распределения равна единице:

		S	« м -1 .			(2,1)
		/=о
					Таблица 2.1
Ряд распределения дискретной СВ электрической нагрузки
		четырех электроприемников
Случайная	величина	Ph.4	Рм	Р,.Л	Ргл	Р...
(СИМВОЛ) X i
Случайная	величина	•Q	10	20	30	40
(численное	значение)
Вероятность		С\).1	<?1.4	<?1.4-	4	е* а
(символ)
Вероятность		0,3024	0,4404	0,2144	0,0404	0,0024
(численное	значеш/е)

Примером задания за­ кона распределения диск­ ретной СВ в аналитиче­ ской форме служит фор­ мула (1.17), представля­ ющая собой биномиаль­ ный закон распределения вероятностей.

Для непрерывной СВ ряд распределения не су­ ществует. Это объясняет­ ся тем, что вероятность

	любого	значения	непре­	Рис. ю
	рывной	СВ равна	0, в си­

лу чего многоугольник распределения вырождается в нуле­ вую горизонталь и не может быть использован.

Универсальной характеристикой СВ любого тина являет­ ся функция распределения. Функцией распределения СВ .v«

называется функция F (х„), выражающая вероятность прини­ жения значения СВ:

F(xn) =<?(.v<.v„).

23

Рис. 13

24

Текущие значения F(x„) получаются суммированием вероят­ ностей СВ, меньших хп. На рис. 11 представлена F (х„) ди­ скретной СВ электрической нагрузки четырех ЭП, построен­ ная по многоугольнику распределения (см. рис. 10). График F(xn) дискретной СВ представляет собой ступенчатую линию со скачками ет,п в точках Рт,п. На горизонтальных отрезках графика F(xn) СВ не принимает никаких значений. Функция распределения непрерывной СВ — непрерывная линия (рис. 12), а смешанной СВ — кусочно-непрерывная линия со скач­ ками в точках, соответствующих дискретным СВ (рис. 13). Функция распределения обладает следующими свойствами:

1) функция распределения F (хп) — функция положитель­

ная, возрастающая от 0 до 1;
2) функция распределения	F(xn)-*-0		при	хп->—	т. е.
F(xn) = F (—оо) =0;
3) функция распределения	/Г(л:,,)-И		при	хп-+-f	т. е.
F(xn) = F( + оо) = 1.
Функция распределения, как и вероятность, измеряется в
долях единицы. В работе [3]	F (хп)	также называют			инте­
гральной функцией распределения,		ннте/ральным законом

распределения и интегральной вероятностью, однако далее в конспекте лекций эти термины не используются.

Второй универсальной характеристикой СВ любого типа является плотность распределения. Плотностью распределе­ ния СВ называется функция f(x), выражающая вероятность попадания СВ на участок от ,v'i до .v*2 = .v'i-f Ах оси абсцисс при

Дх->-0 (см. рис. 12). Вероятность попадания СВ на участок A.v определяется разностью ординат F (хi + A.v) и F(.v'i)> разделив

которую на Ах,			получаем	плотность распределения:
		/ (л) = F' (*) = П т				f(v.+A.v)-f(.vi),_ _
				Аг-ъ.0		ЛХ
Текущие значения f(x)					по­
лучаются		графическим			или
аналитическим			дифференциро­
ванием F(x). На рис. 14 пред­
ставлена f(x) непрерывной СВ,
полученная		для	/г(х), изобра­
женной	на	рис.	12. Определе­
ние f(x)	распространяется				и
на дискретные СВ. В этом слу­
чае производная от F(x)				в точ­		ьначения непрерыбнаи С& х
ках х„ пропорциональна дель-
та-функции		Дирака 6 (л*—.v„) и				Рис. 14

25

равна епЬ{х—х„). Из записи дельта-функции видно,_4к како­ му значению аргумента она относится, поэтому для всех п значении СВ применяют условную запись в виде суммы:

f (х) =

2

е,б (.v—л*,).

(2.3)

/*=1

Таким образом, в точ­

ках,

соответствующих

значениям

дискретной

СВ,

j(x) обращается

в

бесконечность

(рис.

15),

но так, что

интеграл

от

нее

в

окрестностях точек

равен

вероятности

еп,

т. е. скачку F(xn). Плот­

ность

распределения

f(x)

СВ

любого

типа связана

с функцией

распределе­

ния

F (х)

соотношением

{3 ]

F(x) = ]f{x)dx.

(2.4)

—СО

I

Единица

измерения f ( x )'

обратна

единице

измерения

СВ: например, /( х) СВ нагрузки измеряется в кВт-1, а

на­

пряжения — в В-1. Плотность распределения f(x)

обладает

следующими свойствами:

J f ( x ) = d x = 1,

—СО12

1) плотность распределения

f(x)

положительна, так

как

F (хп) — неубывающая функция;

2) площадь под кривой f(x)

функции распределения

рав­

на

единице,

так как при х->оо 'F(х) =F(~1-сю) = 1.

Функция

распределения

F(x)

и

плотность распределения

/( х)

полностью описывают СВ. Однако в практических зада­

чах такое описание может оказаться трудно осуществимым. Поэтому используют числовые характеристики, отражающие существенные особенности распределений. В работе [3] эти числовые .характеристики называются моментами. В практи­ ческих задачах электроснабжения чаще всего употребляется начальный момент первого н второго порядка и центральный момент второго, третьего и четвертого порядка.

26

Начальный момент 1-го порядка — это среднее значение СВ. Среднее значение называют также математическим ожи­ данием, так как можно ожидать, что вокруг него будут груп­ пироваться возможные значения СВ. Операцию осреднения (нахождения математического ожидания или среднего значе­ ния) обозначают символом М, иногда вместо М применяется черта над обозначением СВ. Таким образом, для среднего зна­ чения используют три обозначения: хс, М[х], х. В дальней­ шем условимся обозначать среднее 'значение в более удобной записи — xc. Например, среднее значение активной нагрузки обозначается как Рс, а напряжения — Uc.

Среднее значение СВ определяется по следующим выра­ жениям [3]:

для дискретной СВ

п

		Х\в[-\-.Удgo +	+хпеп		2 X i€ i
	Хс —				/X	(2.5)
		£\+ **2+ ... + £«
						а
					2
					м
	для непрерывной СВ
			'0 0			( 2.6)
		Хс= ] xf (х) dx =		j xF' (х) dx\
		— оо	-	j л
				00
	для смешанной СВ
		хс— S х,е,- + J		xF'(x)dx.		(2.7)
		/=1	X..

При вычислении хс по выражению (2.7) первое слагаемое распространяется, на все дискретные СВ, второе — на не­ прерывные СВ. Вычисление хс по выражению (2.6) требует знания аналитического выражения / (х).

Начальный момент 2-го порядка — это квадрат эффектив­ ного (среднеквадратнческого) значения СВ. Квадрат эффек­ тивного значения СВ определяется по следующим выраже­ ниям [3]:

для дискретной СВ

х р е г ,

для непрерывной СВ

		зо
	Xs2= j X2f (x )dX\
для смешанной СВ		- 00
V2	S	x{2ei + °? x2f{x)dx.
Лэ
	i- 1	jr*

( 2.8)

( 2. 10)

27

В практических расчетах СЭС используется приведенное значение квадрата эффективной СВ, которое называется эф­ фективным значением. Приведение осуществляется по выра­ жению

л'э= Ул'э-\

(2.11)

Случайные величины х, полученные вычитанием из теку­ щих значении л* среднего значения (л*—,vc), называются цен­ трированными СВ. Моменты центрированной СВ называются центральными.

Центральный момент 1-го порядка				— среднее значение
отклонения х от среднего значения л*с СВ — равен нулю:
О	п*		п	п
хс=	2	(.V/—л'с) Ci— 2		2 л*се/=
	/= 1		/К1	/«=1
= л'с—.Те		2	е, = л'с(1— 2 е/)=л'с(1 — 1)=0.
	/==1		/=1

Центральный момент 2-го порядка — это дисперсия, обо­ значается Р[х]. Дисперсия СВ определяется по следующим» выражениям [3]:

для дискретной СВ

D\x] = 2 (а ,— л'с)2ег,		(2.12)
	/= |
для непрерывной СВ
В Д = ?	(x—xe)af{x)dx-t	(2.13)
- СО
для смешанной СВ
•?	QQ	(2.14)
D[x]= 2 (xi—xc)2e i + \ ( x —А'с)2f(x)dx.
/==1	xn

Дисперсия характеризует рассеивание СВ около среднего значения и имеет размерность квадрата размерности СВ. В практических расчетах используется приведенное значение дисперсии — среднее квадратическое отклонение о[х], име­ ющее размерность СВ. Приведение осуществляется по выра­

жению
а[х) —УЩ х\.	(2.15)

Дисперсия, среднее и эффективное значения СВ любого типа связаны между собой следующим соотношением |3|:

/Да] “ П\Х] —Аэ2—Ас2.

(2.16)

28

2.3. ПРИМЕРЫ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

2.3.1. Равномерный закон

Если п возможных значений дискретной СВ имеют одина­ ковые (равные) вероятности, то дискретная СВ подчиняется равномерному закону распределения. Вероятность дискретной СВ определяется по следующему аналитическому выражению

[3]:

e(-'v) =			4	- -		(2.17)
График			равномерного
закона		распределения					ве­
роятностен				дискретно й
СВ	представлен				на		рис.
16.	Если вершины					орди­
нат,	соответствующие						ве­
роятностям			каждой			диск­
ретной		СВ,		соединить
прямыми,			то	полученная
фигура		называется				пря­		Р п с. 16
моугольником				распреде­
ления. Числовые характе­
ристики		равномерного за­
кона -распределения							ве­
роятностен				дискретной
СВ	определяются				по вы­
ражениям [3]
хс=		2	Xi/n\			(2.18)
лг,“	| /	J / V		7 " . (2-19)
которые значительно про­
ще	выражений (2.5)						и
( 2. 8 )
П р и м е р				12.	Для графика			нагрузки четырех печен со­

противления, приведенного на рпс. 17, определить закон рас­ пределения и числовые характеристики графика нагрузки, а также построить функцию распределения нагрузки F{P). Вероятность каждой дискретной СВ нагрузки — 10, 20, 30 и 40 кВт:

	о						1
	2 t,		Л + ^4	1 + 1			2 и
е\о = -	/=1				0,25;	е2о=	/-в1
	Т„		Тп				Т„
				2 U	/г»
		0,25; £зо=		/=1			= 0,25;
Тн				т„	Ти	8
		9
		2 U
	£40—	/= 1	/з+ Лз		2	0,25.
		Тн	~Тн		8
Вероятности 4 возможных				значений	нагрузки (10, 20, 30 и
40 кВт)	одинаковые и равны 0,25. Следовательно, дискретная

СВ нагрузки подчиняется равномерному закону распределе­ ния. Числовые характеристики графика нагрузки определим

по выражениям		(2.18) и	(2.19):
		гг
		2 Pi		10+ 20 + 30 + 40 = 25 кВт;
	Рс —	/= 1
				4
	Р ,= \ /	Pi1/ п =	\/	104-20-+ 30-+ 40-'	= 27,4 кВт;
		alР ] = У		2 ( Р , - Рс)7 « =
				/ «1
_	(Ю—25)2 + (20— 25)- + (30—25)- + (40—25)2				= 11 | g кВт

Рис. 18

График закона распределения вероятностей нагрузки от четырех печей сопротивления представлен на рис. 18. Функ­ ция распределения равномерного закона распределения дис-

зо