Тогда	вероятность всем старым связям не разорваться в				агрегате я=*
= 1 + р	равна
	1 — a (n—i)i	f ТТ Г	1 - а ( n - t ) t		у
	1—а ( / —i)i	J -Ц 1 l —a(p — i)i			J '
		1=1	л	'

Выражение для полной вероятности прочности образовавшегося агре­ гата имеет вид

^ Рт= ( ^ Р пГА .р "=		( ^ 5		) 2 [1 оь/р]2X
Ш	1—а ( п - i)i у	ТТ	Г	l - a ( n - i ) i	Т
	1—a ( i —i)i -I	■“	L	1—a(p —i)i	J

Поскольку	— мюмш юраметр, выражение 1 —<x(n—tn) m можно ап'
ирокшмшрошатпь эгшшшештой^ тогда для dnp/^o будем иметь
	1C	ехр { - а ( п - т ) т } .	(2)
	3.5
Ошмкепгащ, чпк®	тага®	аппроксимация оказывается	вполне ра-

зумшщ, лшгашшку «шкшшйчает получение бессмысленного ответа ^нрМ)< пщрш 5 ш шашшшг экспоненциально малую ошибку при п >

>шшаж{{/г^=Ж.

Иоятшшщя! щрадшжшшшунФ аппроксимацию, получаем

Щ л Г - ) ехр { —арIn).

Тагам ©(браэши,, тшршоть (шбэражшания долгоживущего агрегата п из аг-

1

%,^гн"=“2”	K i , p W itPn fifp =
Ц-р=п
	ехр { —a pln}fifP9
где КипР— константа скорости эффективных столкновений [4].
С к о р о с т ь р а с п а д а д о л г о ж и в у щ и х	а г р е г а т о в . Долгоживущие агрегаты

могут уходить единственным способом — через образование в конечном счете других долгоживущих агрегатов. Для нахождения константы ско­ рости этого процесса найдем вероятность того, что столкнувшиеся два агрегата 1\\ р (мы следим за распадом агрегата /) не распадаются с об­ разованием нового агрегата такой же длины /. Эта вероятность равна вероятности того, что. образовавшаяся связь является прочной, умножен­ ной на вероятность того, что связь р, отсчитанная от конца I агрегата

	л = /+ р , тоже не разорвется	(рис. 2).
		В случае, если мы рассматриваем столкно­
	вения с р < /, искомая вероятность будет:
	I
	шшшпттд	Wp,l=pl,pn (4к р Р )п 2
		Р<1	( < w
	Рис. 2. Схема для расчета			\ —а(п —р)р	у
	константы распада агрега­	( - f 5 - ) 2 [ l - a ( « - p ) p ] 2[
	тов.			1—« ( / —р)р	У

н е

В противоположном случае (/< р )	(<W)n2
Wi,v= Pi,Pn
l<v	М р2

	= ( " i s ) n - « ( « - / > ) p ] 2[	1 - g (n -p )p у
		1 —a	{p —l)l

Наконец, в случае p —l вероятность равна

W ,j=P ,j*=

) 2[ l - a / 2]2.

Теперь, замечая, что при столкновении I с р = 1 происходит уход из системы сразу двух агрегатов I, и используя аппроксимацию (2), можем записать скорость ухода агрегатов I в следующем виде:

г-i

» Г = X J \ - ^ T ) K i,pexp{-2ap(/+p)}fpfl+

	р - |	^
+ 2	N		exp { - 2 a / 2} ft2.
	, -yg- )( K I.P exp { - 2al (р + / fifP) } + 2 ( - у у )

Скорость двухстадийного образования агрегатов. В рассматриваемой трактовке процессов образования и разрушения агрегатов оказывается возможным еще один механизм образования долгоживущих агрегатов. Схематично этот процесс изображается следующим образом: /+p-»-rt*->- -+k + m. Возможность этого механизма непосредственно следует из уже ранее отмеченного факта, что растягивающие напряжения, действующие на каждую отдельную связь, в объединенном агрегате превышают нап­ ряжения, которые действовали на растяжение тех же самых связей в необъединенных агрегатах (см. рис. 1). Звездочка над п означает то, что агрегат п* является короткоживущим (т. е. живет не дольше одного его периода вращения вокруг центра масс в сдвиговом потоке).

Найдем скорость образования долгоживущих агрегатов в этом про­ цессе. Потребуем, чтобы короткоживущий агрегат п* = 1+р распадался с появлением т . Это требование заключается в следующем: все связи в агрегате п* прочные, кроме связей т и (п* —т ), одна из которых должна

	порваться. Вероятность того, что все связи,			кроме т и (гг*-т ), доста­
	точно прочны, есть			р-1
		1 —а(м* —t)t			1 —a(n * —i)i
	(W i.sY = Л ,Р"					О)
		' 1—а(/ —/)/	Г1Г[		1 —а(р —/)/ Г

где штрих у произведения означает исключение из произведений членов / = /п, i = n* —m. Чтобы получить интересующую нас вероятность, надо (3) домножить на вероятность распада хотя бы одной из связей т или (п* —т ) . Окончательное выражение должно иметь вид

			/—I	l - a ( / - / ) t J	И -
			П[i= 1			1 —a (n* —i)i
	WP,in'-+m=Pi,T		1	—a (n.*—t) t I2	ТТ		Г * » -
						1 —а (р —/)/
							(4)
В	(4) произведения уже не содержат штрихов; множитель, учитываю­
щий это,		перенесен в ХрЛт ’ которую будем				вычислять для	различных
случаев:		1) m<Cl, т^>р', 2) ш > /, р > ш ;			3)	ш < /, ш <р; 4)	т~>1, т > р ',
5)	p + l = 2m, р^1-

Рассмотрим случай 1) т < / , т > р : множитель, обусловленный сня­ тием штрихов у произведений и входящий в %p,i,m , есть

Г

\ —a ( l —m)m

I2

Г

1 - a (n *- tn ) (l- n * + m)

V

1-

1 —а (я* —т ) т

J

L

1 —а (я* —/я)/га

-I

Вероятность

того, что связь т

или (п* —т ) порвется в я*, равна

Г

Г

1 —а{п* —т ) т

I21

Г

1 —а(п* —т ) т ______I2

I

*■

1 —а (1—т ) т

J /

I'

1 —а ( / + т —я*) (я* —/га)

J

J j

Г_____ 1—а (п* —т ) т

I2 \

Г

1—а (п —т ) т

I2

I-

1 —а(1—п* + т ) (я* —т ) J /

L

1—а (l—m)m

J

(5)

Первый член в выражении (5) дает вероятность того, что порвется

	только т -я связь, а второй — только			(я* —/га)-я. Полное выражение для
	%p,i,т приобретает вид		>	ГГ
	%р,1,т	1 —а(1—т ) т			, - а (п - - т ) ( т - Р )
		\ —а{п* —т ) т	J	U.	1—а (п* —т ) т

Аналогичным образом получаем %р,1,т для других четырех случаев соотношений между р, /, т .

Для упрощения формы окончательного результата введем обот

значения		~\2 ~1;					]2J -1;
, ч	[ 1—а(х —т ) т		, ч	f 1 - а ( т —х)(п* —т )
	' в м =	{ ' ' ^ 0;		( 1	при	i = k;
			th	to	при	i=J=k.
		О, х<0;
Функция xp,i,m во всем диапазоне имеет вид
%p,l,m—(1 — бр,тп) (1 —6l,m) £ (1 — 6p+l,2m) {[gl (О +§2(Р) ]®							Р) +
+	[£i (p )+ g 2 (/) ] 0 (р - /) + tei (0 + g i (Р) ]Q (l-m )@ (p -m ) +
	+ tea ( О +g2(p)]®(tn —l)Q(m—p ) } + 25t+p,2m(l —&i,p) X
	X t e i ( O 0 ( ^ - P ) + g i ( p ) 0 ( P - O ]					] •	(6)

Теперь выражение для константы скорости образования долгоживу­ щего агрегата через распад короткоживущего агрегата с учетом аппрок­

симации (2)	имеет вид
	Gi,pn*-*m = Ki,p (- ^ г )	exp {-alpn}%p,i,m\
gi (х) = exp {2 а(я *- х)т ) - 1;		g2(х) = ехр{ 2 а ( п * - т ) х } - 1 .
% P ,i,m определяется формулой (6).
Скорость	двухстадийного прихода агрегатов длиной /га равна
»а ,т+ = 4 - £	Gi,Pn' ^ mfifp.

!,р

/+Р>7П

Кинетические уравнения. В нашем случае кинетические уравнения

сводятся к уравнению баланса агрегатов длины п:

		^2,п++ ^1,п = vn ;		(7)
	2iV	<-1
	о	К рл—р ехР { —	( t ~ р) t}%ptt-p,nfpft-p■+
	f = n + l	p = l
		Kp,n-p exp { —an(n —p ) p }fPfn-p =
		n—1
		= j^_j TCn.p exp {	2a (/i+ p )} fnfp +
		P = I
	N
+	TCn.pexp {- 2 a (n + p )n }/nfp + 2/Cn>nexp { - 2 a n 2}fn2.			(8)
	p*n+1

Если функция распределения имеет максимум при достаточно больших п (п ^ 1), то очевидно, что отбрасывание последнего члена в правой части уравнения не может внести в решение большую ошибку, поскольку это эквивалентно отбрасыванию всего лишь двух слагаемых из суммы. Для коэффициентов Ki,P может быть использовано выражение, рассчи­ танное по модели жестких столбиков [4], а %p,i,m задается формулой (6). Верхний предел суммирования N есть максимально возможное число эритроцитов в долгоживущем агрегате. При данной скорости сдвига оно

N2

определяется из условий 1=а-^- Вся зависимость от скорости сдвига в

уравнениях (8) содержится в а.

Полученные кинетические уравнения можно численно решать мето­ дом итераций. Таким образом, получены кинетические уравнения, позво­ ляющие рассчитывать функцию распределения агрегатов по длине.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Chien S., Jan К. Ultrastructural basis of the mechanism of rouleau formation —

Microvasc. res., 1973, vol. 5, N 2, p. 155—166.

2 Chien S. Blood rheology. — In: Quantitative cardiovascular studies. Baltimore,

1979, p. 241—287.

3. Попель А. С., Регирер С. А., Шадрина H. X. Об уравнениях кинетики агрегациоииых процессов в суспензии. — Прикл. математика и механика, 1975, т. 39, вып. 1,

с.130—143.

4.Зайко В. М., Зарецкая Ю. В. Определение констант скоростей эффективных

столкновений эритроцитарных агрегатов в крови. — Механика композитных материа­ лов, 1981, № 3, с. 522—526.

Научно-исследовательский институт	Поступило в редакцию 19.03.81
трансплантологии и искусственных органов
Министерства здравоохранения СССР, Москва