книги / Микронапряжения в конструкционных материалах

где (Oj, щ — границы множества направлений скольжения в пло­

скости . с	нормалью			пj.
Уравнение (4.83) определяет теорию, рассмотренную в работе
3°. Ч*г	=	If *о	=	?о О	~		/ (0)1	т = 0|	R = G (t — t'\	Rt X
					'	t
X (tit, n't,	It,	It);	f(t) =			J Q(t — О у (О dt'			(у — скорость	изме­
нения температуры).
Тогда	из	(4.82)	получим
(ст„г} =	Яа(1 —I (/)) + j						(п(, п’(,	lt> I]) Ры dQ\
t				a
Pm = \G (t- t')V n id t\
D
Зададим		функцию		G (x)			в виде	G (x) =	aae~&‘x. Тогда

Pnl + PoPnl — Й0Уп1-

При таком предположении приходим к теории ползучести, предложенной в работе [164].

4°. Рассмотрим вариант теории (4.82) при

Ф1^=Фа = (У7.1/ап1)я ,«(Тт.1)-

Тогда из (4.82) находим

■Ы = йщ ({o„t)/g(yni)y/m>

что соответствует теории, предложенной Д. Пеном и Д. Райсом [85].

Для конкретизации теории ползучести, учитывающей микро­ деформации, воспользуемся разрешающим уравнением, записан­ ным в форме (4~81). Дальнейшая детализация этого уравнения требует задания явного выражения для интенсивности разрешаю­ щих напряжений. Остановимся лишь на простейших предположе­ ниях, позволяющих описать основные закономерности ползуче­ сти поликристаллических металлов.

1. Рассмотрим случай, когда в (4.81) принято: = l,f — - - 1 + сё21 R = Rifat/., at/). Тогда из (4.81) следует

C tj/ - < T Q ( l - | - А 8 н ) - | - Ш 8 ц

| R (о&эд, С6/у) Е н

•

Равенство в последнем условии достигается для направлений активного микропластического деформирования ён g> 0. В пре­ делах этих направлений последнее соотношение можно разре­

141

шить относительно интенсивности скорости микропластической деформации. Имеем

ёи (к <7> t) —

а (о'ц) ац — ха— т е н J Ri (ач, а'ц) eH(a'u,t) dQ'

(4.84)

Записанное выражение имеет смысл только для тех направле­ ний а ц, для которых

(<п/> <*ti — та — т&в — J Ri (аца'ц) ви (а'ц, t) dQ' > 0.

а

Если же последнее условие нарушается, то микропластическое де­ формирование отсутствует и ён (ац, t) = 0.

Для макропластической деформации из (4.80) с учетом (4.84)' находим

<ё“/> =	J	[<*«> аП ~ Т (ац, t)Y'n« « dQ.		(4.85)
	Q
Рассмотрим также случай,			когда m = 0, ф =	ф4 = ф (ен),
R = Rx (ct{/, а'ц). Тогда из (4.81) находим
<ё?/> =	j	ф- 1 [ ^ ^ > - ] « « <*£J.		(4.86)
где
т (ац,	0	= То + т&в (ац, t)+	J Rt (ац , а'ц) г* (а'ц,	0 dQ'.
			Q

Зависимости (4.85) и (4.86) допускают, однако, только числен­ ную реализацию по алгоритму, подобному описанному в пара­ графе 3.12, и в силу этого обстоятельства представляются не­ удобными для проведения конкретных расчетов.

Определенный интерес может представить случай, когда в со­ отношениях (4.84) принято п = 1. Тогда для интенсивности ско­ рости микропластической деформации получаем

аё„ = (а’ц) ац — Т (ац, t),

(4.87)

а определяющие соотношения принимают следующий вид!

а&ц = Gnu (ah) — j Т (an,	t) att dQ,	(4.88)
где, как и выше, Gtjhi = J	dQ.

а

В предельном случае при а -*• 0 определяющие соотношения теории ползучести вырождаются в определяющие соотношения теории микродеформации.

142

Для определения области направлений активного микропластического деформирования Q из (4.87) находим

{v\l) ыц	Т (ап, t),	(4.WJ
т. е. область	направлений	активного микропластического ;ic |u.p-

мирования определяется из тех же условий, что и в теории п.м стичности.

Заметим также, что представленные в этом п. 1 варианты чго­ рни ползучести приводят к описанию ограниченной ползучееi и, причем процесс необратимого деформирования прекращаем и, когда в условии (4.89) достигается равенство. Отсюда, в часто­ сти, следует, что диаграмма пластического деформирования мри одноосном нагружении представляет собой предельную криисю деформации ползучести. Некоторые особенности поведения при

сложном нагружении рассматриваемого варианта теории						пол \у
чести приведены		ниже.	ф2 =	1, TQ = TQ (1 ~	/)', где
2. Примем в		(4.81) фх =
i
J = J G (t — t') {оф ац dt.‘			и	R = Rt (ап, ап).
а
Тогда из	(4.81) получаем
(аг*/> ац <	та +	тгв (ац> t) + J		Rx (aiJy ац)ен (aih	t) dQ\	(4.90)

Отметим, что последнее неравенство отличается от условия течения (3.83), (3.84) теории микродеформации только тем, что процесс нагружения в данном случае определяется тензором при­ веденных напряжений (а?/), который зависит от всей предысто­ рии нагружения и определяется по формуле

t
( G *I) = о ц + То J G (t — t ) { G \I ) d t •	(4.91)
a

Отмеченное обстоятельство позволяет очевидным образом по­ строить определяющие соотношения теории ползучести наслед­ ственного типа. Они имеют такой же вид, как и соотношения тео­ рии пластичности, если в последних заменить девиатор (щ-/) на девиатор (от?/), определяемый по формуле (4.91). Имеем

Ai {ё"/> = ( G tiki--------1 F u F k i) С'1-9 - )

где
Giiki = J	d£l > Fii — J" ац dQ ,	|лАъ!= Ai\
a	а
		(I - i»4)

II.)

Для построения области направлений активного микропластического деформирования необходимо, как и в теории микродеформации, исследовать систему неравенств

<а?/> а,ц < Т (а,/, t),

t)> 0.

Функция интенсивности разрешающих напряжений при этом оп­ ределяется интегрированием соотношений для скоростей ее из­ менения, которые имеют вид

Из приведенных выше формул следует, что для построения процесса деформирования при мягком нагружении можно вос­ пользоваться теми же алгоритмами, что и в теории пластичности, если предварительно по заданной траектории нагружения по­ строить траекторию приведенных напряжений (а*/>. Когда же имеет место жесткое нагружение, то, как и в теории пластичности, удобно использовать вариант теории, записанный в пространстве деформаций. Имеем

{ои) = 2Glifki ({hi) — (в"/)),
Вг <*?/> = [QW ~ T T f e r V « ] <Ч«>'	(4.96)

о

Задача построения области направлений активного микропластического деформирования при жестком нагружении сводится к исследованию системы неравенств

(ь'и) ыц < Е {аи> 0» (Л?/> ан — П ^г^Г ^

^

(4-97)

Функция интенсивности разрешающих деформаций при этом оп­ ределяется интегрированием ее скорости изменения, которая, в свою очередь, задается по формулам

•	(z'il) aijt a(l = ±	ац\
В (ац, t) — ‘	В2 (ё?/) an -f- Ki,	ац ф- ± а ц \

•Л (чп)an+ в2($/)an+ 0 + ч)«I*; “</= —'

(4.98)

144

где положено

	4
*r = Tт Ъ в - Г ч М .	(4.99)

Таким образом, при жестком нагружении траектория нагру­ жения определяется соотношениями теории микродеформации, записанными в пространстве деформации, если в них тензор де­ формации заменить тензором приведенных деформаций определяемых по формуле (4.93). Отсюда очевидным образом сле­ дует, что разработанные в гл. 3 алгоритмы численных расчетов остаются в силе и для теории ползучести.

3. Остановимся теперь на варианте теории ползучести, когда

m = 0,		% = фг = 1.		R t(t— Г,	<хц) = Qi (t — Г) R2 (ац, а'ц).
В этом случае из (4.81) находим
(о'ц) «</ <		т0 +	Т] (ац, I),		(4.100)
где
Ti(alh	0	=	(а,у,	<х'ц)р (а?/, t)dQ’;
		t
Р Ы ,	о = J Q V -П Ьш (ам, t)dt.				(4.101)
		о

Условие течения (4.100) примечательно тем, что с точностью до обозначений еовпадает с условием течения (3.84), записанным для случая чисто пластического поведения. Отсюда следует, что построение рассматриваемого варианта теории ползучести может быть без особых затруднений осуществлено на базе формул, пред­ ставленных выше для теории микродеформации.

Так, в области активного микропластического деформирова­ ния из (4.100) находим

(а’ц) ati =: 1 1(ац, /).

Скорость изменения разрешающих напряжений определим по формулам (3.100), в которых, однако, функцию интенсивности скорости микропластической деформации следует заменить на р (аи , t). Тогда, повторяя выкладки, приведенные в параграфе 3.6., получаем выражение для функции р (ai}, t) в виде

АгР (аи , t) = (ru>аи -

Ftj <>«>,

(4.102)

где, как и выше,

{ги) = (а'ц) — А2 {рц)\ р = A3/A t; Flt = J а'ц dQ

145

(Рц) = J	t)a.'i,dQ’.
a

Из последнего выражения e учетом (4.102) (после интегрирова­ ния) следует

Ai (Ра) — (рам — ПнНГ

(4.103)

где, как и выше, обозначено

Gi/ki = j cL'tia'ki dQ'.

Q

Умножая правую и левую части (4.101) на а'ц и интегрируя по области направлений активного микропластического дефор­

мирования, находим t

(рц) — J j Q (t — О ёяа'и dt dQ".	(4.104)
a t.

Соотношения (4.103), (4.104), полностью решают задачу по­ строения определяющих уравнений теории ползучести при из­ вестной области й направлений активного микропластического деформирования. Для определения самой области й необходимо воспользоваться неравенством (4.101) и условием активности про­ цесса микродеформации в направлении а1}, которое имеет вид ё„ (<xjj, t) > 0. Очевидно, что для исследования этих неравенств необходимо знать интенсивность разрешающих напряжений Т (at}t 0» которая определяется интегрированием соотношений (3.100), в которых заменена функция ер (ati, t) на р (atl, t), по времени.

Указанные соотношения в учетом явного выражения для функ­ ции р (at), t) можно привести к виду

ФцЬ «I/,	«и = «и*.
ФФ <*ц+	«> « яФ

1

Г] ф ф ап + ф ф ait + (1 + Т)) х, ац = —а’ц,

146	(4.105)

где положено					S c y%
		ц	■PD (^иУ>
* — 1+ JAQ
(*ii) = (<*t)>— At (Pi))-
В	работе		[147]	приведены
экспериментальные				данные	ис­
следования влияния				предвари­
тельной пластической деформа­
ции	на	последующую ползу­
честь в нержавеющей стали 316.
На рис. 4.16 приведены на­
чальные		характеристики			пла­
стичности		и ползучести:
а — соотношение между эф­

фективным напряжением и эффективной деформацией при проиорциональном нагружении с постоянной скоростью деформации |е | = 5-10-* 1/мин.

_Экспернментальные точки □ , Д , О	отвечают соответственно случаям е =	О,
УЗ у/в, у = 0 .
б — зависимость деформации	ползучести от времени при	по­
стоянном напряжении.

Рис. 4.18

147

Экспериментальные точки	/, / / ,	I I I	соответственно отвечают постоянным
напряжениям о1} равным 160,	140 и	120	МПа.

На рис. 4.17 изображены кривые ползучести при растяжении после предварительной пластической деформации. Значками + , О, А обозначены экспериментальные точки после предваритель­ ной пластической деформации, соответственно равной: 0,28 % (ав = 140 МПа), 1 % (аА = 174 МПа), 2 % (<тА = 196 МПа).

На рис. 4.18 представлены данные о деформации ползучести,

следующей за сложным нагружением: а — ер = 1 %,	| бв | =
= 140 МПа; б — ер = 3 %, |а в | = 140 МПа. Сплошные	линии

отвечают теоретическим результатам. При проведении расчетов

были приняты	следующие	значения параметров: а0 = 0,6; п =
= 1,7; G (0 =	- ^ - ( 1 -	Ь = 0,012; а = 0,04.

Указанные параметры определялись из экспериментов на пла­ стичность и ползучесть, следующих из рис. 4.16; при этом исполь­ зовались рекомендации, изложенные в параграфе 3.8, и формула (4.91).

Как показывают приведенные результаты, теория, даже в про­ стейшем варианте, позволяет удовлетворительно описать опытные данные.

Г Л А В А 5

ОСНОВЫ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОСТИ

В предыдущих главах изучались вопросы связи напряжений и деформаций при изотермическом нагружении. Экспериментально хорошо известно, что все явления, протекающие при ползучести, существенно усложняются, если считать температуру изменяю­ щейся.

Именно поэтому любая феноменологическая теория, справед­ ливая при постоянной температуре, должна также отвечать на вопрос: как учесть влияние изменения температуры? Существуют различные способы обобщения теории пластичности и ползучести на случай переменной температуры. Укажем, в частности, работы [15, 42,, 43, 71, 81, 113, 114, 149, 152, 163, 1691.

Один из наиболее простых приемов состоит в том, чтобы счи­ тать параметры определяющих уравнений зависящими от темпера­ туры [15, 42, 149, 152]. В работе [163] предлагается ввести в оп­ ределяющие соотношения теории усредненную изотропную меру возникающих при теплосменах напряжений, которая зависит от истории изменения температуры. Существует точка зрения [81,

148

184], что необходимо использовать принцип температурно-вре­ менного соответствия или его модификацию. К сожалению, при­ ходится признать, что часто изучение влияния температуры на процесс неупругого деформирования методически проводят не­ правильно, ограничиваясь изучением напряженного или дефор­ мированного состояния в условиях различных, но постоянных температур. В этой связи большой интерес представляют прин­ ципиальные опыты [113, 114], позволившие впервые обнаружить эффект температурного последействия. Ниже кратко излагается точка зрения авторов на поставленную проблему.

6.1. ПОСТРОЕНИЕ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ВАРИАНТОВ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Естественный способ построения неизотермических вариантов пластичности состоит в том, что основные параметры определяю­ щих соотношений теории надо считать зависящими от темпера­ туры. Так, простейшие соотношения теории [81 ] примут вид

Оц = т (То, Т ) - £ - + а (Т) 8рф	г], = ot,/[2G (Г)],	(5.1)
<CTf/> — oci = m (Г) (е?у — (е?/)),		(5.2)
оо
<е ?/> — J е^Ф (то).		(5.3)
0

Ограничимся в дальнейшем одноосным случаем. Легко усмо­ треть, что связь напряжений и деформаций имеет при монотонном нагружении (Т = const) вид

(ер) -	m + а F ( (0> +*	<еР> ) ; <еу>- <а>/(20).	т = тоК (Т),
F' (т) = Ф(т).
Если а = 0, m =-2G, то
<а> =	2G ( (е) -	F [2G <е>//С (Г)] };	(5.4)

если m = 0, а = const, то

<8> = (o>/f2G (Г)] + —-F [(а)/К (Г)].

(5.5)

Если температура не меняется, то соотношения строго следуют принципу Мазинга. Известны различные попытки распространить указанный принцип на неизотермический случай [42, 124]. Осу­ ществим прямое нагружение при постоянной температуре Тл и условии (о) = о, тогда справедливо соотношение (5.5). Если

149

после достижения значения (а) = о0 дать обратное нагружение, то поведение кривой деформирования следует принципу Мазинга в форме

аДеР/(2Я) = F[(Aa/(2/Q].

Осуществим анализ поведения структурной модели среды, когда в некоторой точке обратного нагружения (a> = at при постоянном напряжении осуществляется переход к новой тем­ пературе Та, а затем проводится либо обратное, либо прямое нагружение.

Пусть сначала at = a0. Если произойдет убывание температуры (/С2 >■ /Ci), то дополнительных локальных пластических дефор­ маций не возникнет. Если же температура растет (/С2 < /СО, то растут как сами пластические деформации, так и область зна­ чений параметра т0, охваченная пластическими деформациями:

a <ер> =	K2F (а0/К2).			(5.6)
Если теперь осуществить		нагружение	da < О (/С* >	/СО» то
имеем
a <еР) =	KiF (о0//СО- (/Ci +	/Са) F [(a0 -	{0»/(/Сг + К3)1	(5.7)

Получился примечательный результат: при понижении тем­ пературы материал ведет себя по обобщенному принципу Мазинга (т. е. по схеме, указанной в работе 1124]). При (а) = —K2o0/Ki кривая деформирования выходит на опорную кривую:

a (Rp) = —K3F		(--0//СО-		(5.8)
Если же До <		0 , Ki > /С2, то	имеем
а (&р)=	K%F(ff0//CO — 2/CaF [(a0 — <ст»/(2/С2)],			(cr) > —o0; (6.9)
a (RP) =	—K3F (— <a>//C0. <a> <		—a0.	(5.10)

Таким образом, оказалось, что при повышении температуры материал следует принципу Мазинга, отвечающему температуре Тг (что соответствует схеме, предложенной в работе [42]).

Осуществим теперь нагружение da > 0. Тогда

а)	oi =ст,	/Ci>/<а,	a<ер) =K JF (<сг>/Са),	(5.11)
б) ох = о0,		КгЖ ъ	a(RP) -=(/Са—/Ci)Z7[«о> —о0)/(/С2—/Ci)] +
+	KiF (o0/Ki) (/Ci (a) < /Сасго).			(5.12)

Последний закон развития пластических деформаций при изме­ нении температуры был впервые теоретически описан в работе [711.

Следует заметить, что развитие пластических деформаций, со­ гласно формулам (5.7) и (5.12), вызвано «задержкой» пластичности в некоторых элементах структурной модели, поэтому закон изме-

150