пым. В точке поверхности с однозначно определенной нор­ малью это условие может быть удовлетворено лишь в том

случае, если p t совпадает с направлением нормали. Следо­ вательно,

А =	(2.9а)
где К— неопределенный, но неотрицательный	множитель,

В углу или на ребре, где направление нормали не един­ ственно, направление pi не определено. Однако если при

приближении точки напряжений к рассматриваемой сингу­ лярной точке градиент функции текучести будет стремиться к конечному числу линейно независимых предельных значе­ ний, то

(2-96)

где dfJdQi — линейно независимые градиенты, и каждый из

множителей Ха неотрицателен, но в других отношениях про­ изволен.

Итак, заключаем: если дана выпуклая функция /, то по­ ведение идеально-пластического материала определяется ра­ венством (1.8) [или в более общем случае равенством (2.3)], связывающим упругие и пластические деформации зависи­ мостями (2.1), устанавливающими условия упругого и пла­ стического поведения, и уравнениями (2.9), определяющими закон пластического течения. Равенство (2.9а) было впервые без доказательства постулировано Мизесом [2.3]. Иные сооб­ ражения для вывода (2.9) были даны Хиллом [2.4] и Тома­ сом [2.5].

§ 3. Постановка задачи

Соотношения (2.9), полученные в предыдущем параграфе, относятся к классу соотношений, называемых законами тече­ ния, так как они выражают зависимость между напряже­ ниями и скоростями деформаций. В общем случае они при­ водят к трудно разрешимым математическим задачам, для упрощения которых было сделано много предложений. Одно

из	таких предложений	(привлекшее значительное внимание
в	литературе) состоит	в замене соотношений (2.9) некото­

рой конечной зависимостью между напряжениями и дефор­ мациями.

Если говорить о такой замене как о математической ап­ проксимации, то ценность ее может обсуждаться только

в связи с точностью ее предсказаний в частных задачах. Од­ нако многие авторы сделали следующий шаг, утверждая, что связывающий напряжения и деформации деформационный закон является правильным с физической точки зрения. Это утверждение будет явно ошибочным, если рассматривать разгрузку: как было показано во введении, в этом случае даже при простом растяжении будет отсутствовать однознач­ ное соответствие между напряжениями и деформациями1).

Ф и г . 4. Зависим ость окончательной деф орм аци и от пути нагруж ения.

Поэтому защитники деформационной теории обычно ограни­ чиваются историями нагружения, не содержащими разгрузку.

Легко, однако, показать, что даже при отсутствии раз­ грузки закон (2.9) может предсказать два различных значе­ ния деформаций при одних и тех же напряжениях. Так, на фиг. 4 рассмотрим путь нагружения ОА'В, причем А'ВА" представляет собой регулярную часть поверхности текуче­ сти, имеющую в каждой точке единственную нормаль и нену­ левую кривизну. Когда точка напряжений движется вдоль А'В, каждое приращение пластической деформации должно быть ортогонально А'В, так что результирующая полная де­ формация p 't должна лежать слева от нормали n t в точке В .

С другой стороны, если точка напряжений попадает в то же

конечное	положение В, двигаясь			вдоль ОА"В, то результи-
9 При	одноосном растяж ении		м ож но	предполагать, что конечная з а ­
висимость	м еж ду	напряж ениями и	деф орм ациям и		сущ ествует, но	меняет
свою ф орм у при		каж дом переходе	от нагруж ения		к разгрузке.	В этом
случае дол ж н а быть известна вся			история нагруж ения. — Прим.			ред.

рующая полная деформация pi должна лежать справа от tii. Таким образом, полная деформация в В должна зависеть от пути нагружения; следовательно, никакая деформацион­ ная теория не может дать тот же результат, что и (2.9). В точности такие же соображения можно привести и для упрочняющегося материала или материала, функция теку­ чести / которого зависит не только от напряжений, но и от других величин, например от скоростей деформаций.

Прежде чем перейти к другим вопросам, следует заме­ тить, что предшествующее доказательство будет неприме­ нимо, если участок А'ВА" является плоским. В гл. 3 мы уви­ дим, что в этом случае действительно можно воспользоваться некоторым ограниченным деформационным законом. Другие частные случаи совпадения рассматривались Эдельманом [3.1] и Хандельманом и Уорнером [3.2]1).

Так как зависимость между напряжениями и деформа­ циями не однозначна, очевидно, абсурдно формулировать краевые задачи путем задания только мгновенных значений напряжений и деформаций. Вместо этого необходимо задать надлежащие комбинации граничных смещений, усилий и мас­ совых сил как функций времени, начиная от состояния, сво­ бодного от напряжений. С математической точки зрения оче­ видно, что это эквивалентно заданию всюду в теле суще­ ствующего состояния напряжений и деформаций, вместе со скоростями изменений нагрузок и скоростями на границе, а также скоростями изменений массовых сил всюду в теле.

Точная формулировка этой задачи и			вопроса		о единствен­
ности ее решения будет приведена в §			11.
]) В опрос о расш ирении		законной области	применения		деф орм ацион ­
ной теории рассм атривался недавно Будянским			(/. Appl. Mechanics, 26,
1959, 2 ), Работновы м	Ю. Н .	(Прикл. матем. и мех.,		23,	1959, №	1) и
Клюшниковым В. Д .	(Прикл.	матем. и мех., 23,	1959,	N° 4 ). — Прим.		ред.

Г л а в а 2

ТЕОРИЯ УПРОЧНЯЮЩИХСЯ ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ

§ 4. У словие текучести и закон течения

Упругое поведение упрочняющихся тел является таким же, как и упругое поведение идеально-пластических тел. От­ сюда следует, что условия начальной текучести у них должны быть одинаковы. Действительно, разница между ними свя­ зана только с механизмом продолжающегося пластического течения и с тем обстоятельством, что мгновенные условия те­ кучести будут зависеть от пластической истории материала. При установлении условий для продолжающегося пластиче­ ского течения нам нужно, следовательно, заменить условия

(2.1) следующими:
для	пластического поведения:		/ = / с и / > 0 ,		(4.1а)
для	упругого поведения / < / с		или /< ; 0.		(4.16)
Здесь		функция / зависит от пластической		истории нагру­
жения	и	равенство /= / представляет собой		мгновенное ус­

ловие текучести. Так как остальные результаты § 2 не свя­ заны с использованием условий (2.1), то отсюда следует, что в точности те же выводы получатся, если основываться на (4.1) . Действительно, в § 2 левая часть формулы (2.8) долж­ на быть больше или равна нулю; легко показать, что для упрочняющегося материала равенство нулю может иметь

место только при рг =0 [2.2]. В частности, это означает, что

на любой стадии нагружения мгновенная поверхность теку­ чести должна быть выпуклой и векторы пластических ско­ ростей деформаций должны быть ортогональными к этой по­ верхности.

Однако, хотя мы и можем по-прежнему в любой момент времени использовать те же ограничения для мгновенной функции текучести, у нас еще нет столь же хорошо опреде­ ленного критерия для характера зависимости этой функции от пластической истории нагружения. Доступные эксперимен­ тальные данные [4.1, 4.2, 4.3] показывают, что положение яв­ ляется крайне сложным. Это обстоятельство, а также тот

факт, что данному вопросу посвящено весьма мало доступ­ ных экспериментальных работ, открывают широкое поле для теоретических допущений.

Положение неясно даже в случае простого растяжения или сжатия. Когда образец подвергается разгрузке после того, как достигнуто напряжение oi>o*, предел текучести может меняться для различных материалов и при различных условиях. Приближением к одному из крайних случаев слу­ жит допущение, что область упругой разгрузки соответствует

Ф и г . 5. Т еории обратн ого нагруж ения.

DE—теория Баушиигера; FQ — изотропная теория; HI —теория фиксирован­ ной величины напряжения при сжатии; JK, LM —общая теория.

удвоенному начальному пределу текучести, так что течение материала при сжатии наступит при выполнении условия

о = а1— 2а*

(4.2)

Такое поведение материала иллюстрируется на фиг. 5 нагру­ жением по пути ABODE. В соответствии с этой теорией пол­ ная упругая область материала остается постоянной, но вследствие текучести при растяжении действительный предел текучести при сжатии уменьшается по величине.

Другим крайним случаем будет изотропное упрочнение. Согласно этой теории, механизм, вызывающий упрочнение»

действует одинаковым образом как при растяжении, так и при сжатии даже в том случае, если течение происходит при растяжении. Таким образом, течение при сжатии наступит, когда

<>= -<*1,

(4.3)

как показывает на фиг. 5 путь ABCFG. В этом случае как предел текучести при сжатии, так и длина упругой области численно возрастают при упрочнении.

Компромиссной является теория, основанная на допуще­ нии о независимости упрочнения при растяжении и сжатии. Согласно этой теории, предел текучести при сжатии остается фиксированным и равен

о= — о*

(4.4)

независимо от меры упрочнения (путь ABCHI на фиг. 5). Этот случай, а также любые промежуточные между (4.2) и (4.3) критерии (пути ABCJK и ABCLM на фиг. 5) можно по­ лучить посредством линейной комбинации двух крайних слу­ чаев.

В остальной части данной главы мы будем рассматривать соответствующие обобщения этих случаев. Следует с са­ мого начала заметить, что большая часть излагаемых здесь теорий создана совсем недавно, и связь этих теорий с пове­ дением реальных физических материалов пока должным об­ разом не изучена. Однако с математической точки зрения предлагаемые теории вполне удовлетворительны; по-видимо­ му, они позволят получить в ближайшем будущем существен­ ные результаты.

§5. Кинематическое упрочнение

Вкачестве первого закона упрочнения мы рассмотрим обобщение, сохраняющее неизменной упругую область. Хотя используемые при этом представления легко обобщаются на произвольную кривую упрочнения, мы ограничимся жестким

кусочно-линейным упрочнением (фиг. \,е). Как отмечалось в § 1, любой полученный нами результат посредством равен­ ства (1.8) может быть обобщен на случай упругого линейно упрочняющегося материала.

При этих ограничениях мы приходим к весьма остроум­ ной кинематической модели, впервые использованной Пра­ гером в 1955 г. Рассматривая сперва простейшее испытание на растяжение — сжатие, используем в качестве модели стер­ жень с полостью, представленный на фиг. б, а. Стержень

ская модель позволит в любой момент определить как дефор­ мации, так и условия для дальнейшего пластического течения. Деформации будут пропорциональны расстоянию OR и вы­

разятся в виде	__
	OR
где arctgc есть угол	наклона диаграммы напряжений —

деформаций в пластической области. Таким образом, пласти­ ческое течение возникнет только в том случае, если цапфа займет положение в одном из концов полости. На фиг. 6 и 7

представлена

типичная

исто­

рия

нагружения

и деформиро­

вания, полученная

с помощью

кинематической

модели и диа­

граммы

напряжений — дефор­

маций

соответственно.

Точки

А, В, С и т. д. на фиг. 7 отве­

чают положениям

а, б, в и т. д.

модели

на фиг.

6.

напряжен­

При

двухосном

ном

состоянии

вместо

одной

переменной о мы будем иметь

две

переменные:

обобщенные

напряжения Qi и Q2. Следова­

тельно,

если

положение

цап­

фы по-прежнему определяет

состояние

напряжений,

то цап­

фа будет свободно перемещать­

Ф и г . 7.

Д иаграм м а

нап ряж е­

ся

в

двумерном

пространстве.

ний — деф орм аций для

ж естк ого

В

таком

пространстве

фикси­

линейно

упрочняю щ егося м ате­

рованной

зоной

будет

уже не

риала.

полость,

±

ограниченная

значе­

ниями

о *,

а

внутренность

рамки, определяемой начальным условием текучести. При этом мы приходим к кинематической модели, показанной на фиг. 8, а. Действительная форма рамки будет зависеть от функции, определяющей начальную текучесть материала. В общем случае рамка будет состоять из комбинации криво­ линейных и прямолинейных сторон, соединенных под неко­ торыми углами. Для простоты мы будем, однако, рассматри­ вать случай, когда все стороны являются прямолинейными. Координаты точки Р определяются значениями обобщенных напряжений Q\ и Q2, а координаты точки R — значениями

Ф и г .	8.	a — кинем ати­
ческая	м одель		для д в у х ­
о сн о го напряж енного
состояния.		К оордината­
ми Р	являются		Qj и Q 2;
координатам и R яв­
ляются cpi		и ср2. б — ча­
стичная		незави си м ость
окон чательн ого			с о ст о я ­

ния от пути нагруж ения.

ср\ и ср2 >где pi представляют собой компоненты пластиче­ ских деформаций.

На фиг. 8, а представлена типичная история нагружения и деформирования. Когда точка Р достигает положения Рь

она	находится внутри	рамки.	Поэтому рамка	не движется
и R	еще находится в	начале	координат. В	положении Р2

точка, изображающая напряжения, входит в соприкоснове­ ние с рамкой. Предполагается, что рамка является идеально гладкой и не способна вращаться, так что при дальнейшем движении Р ее движение будет пока зависеть только от составляющей Qi. Таким образом, при переходе от Р2 к Рз центр рамки будет двигаться вдоль оси Qi и попадет в Рз.

В положении Рз точка, изображающая напряжения, по­ падает в угол рамки и остается там до положения Р4, а центр рамки передвинется из Рз в Р4. После этого направление движения изменится, благодаря чему изображающая напря­ жения точка выскользнет из угла, но сохранит соприкосно­ вение с верхней стороной рамки. Это будет продолжаться от Ръ до Ре, пока наша точка не попадет в другой угол. Далее, в Р7 направление движения вновь изменится, и будет проис­ ходить разгрузка материала вплоть до Ре, при этом центр рамки остается неподвижным в положении R7. В Р& изобра­ жающая точка попадает в новый угол и пластическое течение возобновляется.

Рассмотрение этой модели позволяет уяснить две интерес­ ные особенности теории. Прежде всего, очевидно, что пропор­ циональное нагружение необязательно вызывает пропорцио­ нальные деформации.

Например, прямолинейный путь нагружения из О в Р4 представляет пропорциональное нагружение, но до положе­ ния Р3 деформации q2 равны нулю, а затем они возрастают, тогда как q\ начинают возрастать при Р2.

Вторая особенность теории состоит в том, что конечное состояние является частично независимым от пути нагруже­ ния. Например, когда изображающая точка на фиг. 8,6 дви­ жется из начала координат прямо в Р ь то центр рамки пере­ местится в Pi. С другой стороны, если точка напряжений пройдет путь О Р 2Р 3Р 1, то центр рамки вновь попадет в Pi. Однако если изображающая напряжения точка опишет путь ОРАРи то центр рамки займет совершенно иное положение —

Рь Следует заметить, что эта особенность не имеет ничего общего с представлениями о нагрузке и разгрузке, так как вдоль каждого из названных путей цапфа все время сохра­ няет контакт с рамкой. Дальнейшие следствия этой частичной

независимости от пути будут рассмотрены в следующей главе.

До сих пор мы говорили о двух обобщенных напряже­ ниях Qi и Q2. Однако возможность обобщения на п обобщен­ ных напряжений Qb Q2,..„ Q„ очевидна. Для этого требуется лишь рассматривать рамку текучести как (п — 1) -мерное мно­ жество в л-мерном пространстве напряжений.

Если одно или несколько обобщенных напряжений, используемых для определения задачи, становятся равными

		а
		р	р'	р"
----- F	"Г-	Ч----- -		I____ ;____i
	R	R'	6	R"
Ф и г . 9. П р остое (б )	и полное (а )		кинем атические упрочнения.

В случае а учтено влияние Q„, в случае б им пренебрегают.

нулю, то часто нужно делать различие между двумя ме­ тодами использования модели кинематического упрочнения [5.2, 5.3]. В случае простого кинематического упрочнения нулевые составляющие напряжений не принимаются во вни­ мание с самого начала, что понижает число измерений рамки. Напротив, в случае полного кинематического упрочнения рас­ сматриваются все напряжения, включая те, которые равны нулю.

Разница в предсказаниях обеих теорий показана на фиг. 9. Пусть в плоскости обобщенных напряжений Q1, Q2 на­ чальная рамка текучести имеет вид прямоугольника ABCD\

рассмотрим задачу, когда Q2 всегда равно нулю. Рамка те­ кучести, аналогичная ABCD, будет использована для пред­ ставления действия комбинации изгиба и растяжения на идеальную двутавровую балку с полками неравной ширины. В этом случае Qi будет представлять изгибающий момент,

a Q2— осевую силу, причем мы	будем рассматривать задачу,
для которой осевая сила равна	нулю.

При увеличении Qi цапфа на фиг. 9, а сперва достигнет

стороны AD рамки. При	движении точки напряжений от Р
к Р' рамка движется ортогонально стороне AD так, что ее
центр переместится из R	в R' Следовательно,	скорость де­
формаций в течение этой	стадии будет равна
=	=	(5-1)

В точке Р' цапфа входит в угол А, и с этого момента центр рамки движется в том же направлении, что и цапфа. Таким образом,

= Ci7г= 0. (5.2)

Если, однако, полностью пренебрегать Q2, то нужно использовать одномерную рамку, представленную на фиг. 9, б. В этом случае для всего пути РРГР" скорости деформаций будут определяться формулами (5.2).

Сравнение формул (5.1) и (5.2) показывает, что упро­ щенная кинематическая модель не способна предсказать изменения зависимостей для q2, связанных с более полным описанием упрочнения. Более важно, однако, что упрощен­

ная	модель предсказывает иные значения для деформаций
qx,	связанных с неравными нулю напряжениями Q\.

Таким образом, простое кинематическое упрочнение при­ водит к результатам, отличным от результатов для полного кинематического упрочнения. Если считать, что основные представления кинематического упрочнения правильны, то более точной следует признать полную модель. С другой сто­ роны, упрощенная модель является действительно более простой. Поэтому она заслуживает использования при ре­ шении практических задач. В настоящее время мы не распо­ лагаем необходимыми экспериментальными данными для суждения о точности предсказаний физического явления, да­ ваемой той или другой моделью.

Дадим теперь аналитическую формулировку геометриче­ ским представлениям кинематического упрочнения. Когда цапфа соприкасается с одной из сторон рамки, вектор ско­ рости деформаций должен быть ортогонален этой стороне.

Допустим, что оси напряжений повернуты так, что рассма­ триваемая сторона ортогональна оси N\ и содержит остальные оси Тъ Г3,..., Тп. Тогда если обозначить через с угол наклона прямолинейной диаграммы напряжений — де­ формаций, то

n1= ^ L , ia = 0, а = 2, 3, п. (5.3)

Аналогичным образом в случае пересечения двух сторон предположим, что это пересечение ортогонально осям Ni и N2

и содержит остальные оси Г3, Т4,			Т п. Тогда
cn1= N li	cn2 = N 2y /а = 0,		а = 2,	3, ., п.	(5.4)
Обобщение на случай пересечения р сторон очевидно и
приводит к зависимостям
спа=	N a	( а = 1, 2,	р),
/а — 0		(а = р-\- 1, р + 2,		п).

Прежде чем перейти к другой теме, отметим, что кинема­ тическую модель можно использовать и для идеально-пласти­ ческого материала. Для этого достаточно положить компо­ ненты пластических деформаций равными координатам R, а компоненты напряжений — составляющим вектора, прове­ денного к цапфе уже не из начала координат, а из центра рамки.

§6. И зотропное упрочнение

Вотличие от теории, основанной на кинематической мо­ дели, в которой предполагается, что начальная поверхность текучести сохраняет свои размеры, форму и ориентацию, но может свободно перемещаться как твердое тело, теория изо­ тропного упрочнения предполагает, что поверхность текучести сохраняет свою форму, положение центра и ориентацию, но

равномерно расширяется относительно начала координат. На фиг. 10 показаны поверхности текучести, предсказывае­ мые обеими теориями в конце одного и того же пути нагру­ жения ОР. Отличными друг от друга являются не только поверхности текучести, но и деформации, представленные

точками R K к R Y-

Хотя для частного типа нагружения, представленного на фиг. 10, мы можем показать положение точки деформаций при изотропном упрочнении, по-видимому, не существует

простого метода, позволяющего сделать это в общем случае нагружения. В связи с этим мы перейдем прямо к матема­ тической формулировке закона течения. Напомним сперва,

что	уравнением	начальной	поверхности текучести будет
f = 1	и что по	определению	эта поверхность равномерно

Ф и г . 10. К инем атическая и изотропная теории для одн ого и того ж е пути нагру­ ж ения О Р .

расширяется относительно начала координат. Следовательно, уравнением мгновенной поверхности текучести в любой мо­ мент времени будет

/ = / « , .

(б-1)

где f max есть максимальное значение ( / > 1) в предшество­ вавшей истории нагружения, обозначенное' через f. Таким образом, условия (4.1) можно записать в следующем виде:

для пластического поведения:	/> • 1 и / > 0,
	(6.2а)
для упругого поведения:	/ < / гаах> или / < 1» или / < ! 0.
	(6.26)

Предположим сначала, что поверхности уровня для f имеют единственную нормаль; тогда из рассуждений § 2 и 4 следует, что составляющие вектора пластической скорости деформаций будут направлены по этой нормали. Далее, по­

скольку все временные эффекты (ползучесть, силы инерции) не учитываются, мы можем записать закон пластическоготечения в форме

Л =

<6 3 >

где функция текучести f и функция упрочнения F могут за­ висеть от точки напряжений Qt

Пусть в точке Р поверхность / не имеет единственной нор­ мали, и пусть функции fu /2,—, fp определяют уравнения раз­ личных поверхностей, пересекающихся в Р. Тогда из рассу­ ждений § 2 следует, что

(б-4>

0=1

Заметим, что делать различие между разными /а необяза­ тельно, так как пока точка остается в углу, все /г равны друг другу.

Для идеально-пластического материала все Ха предста­ вляют собой произвольные положительные величины. Однако для упрочняющихся материалов полная длина вектора ско­ рости деформаций должна определяться функцией упрочне­ ния, так что должна существовать еще одна зависимость между значениями Ха. Это соотношение можно получить,

постулируя зависимость функции Qipi только от напряже­ ний и скоростей изменения напряжений. Так как

	QtPi = F s	^ 7	Q J = F ( 2	к ) Л	(6.5)
	а =1		\ а= 1	/
то	должна быть равна постоянной. Рассмотрение				част­
ного	случая р == 1 показывает,		что
		0=1 ____			(б.б)

Равенство (6.6) можно получить иначе, рассматривая раз­ личные процессы предельного перехода в углу [6.1~, 6.2].

Путем комбинирования теории изотропного упрочнения и теории упрочнения, основанной на кинематической модели, можно получить обобщенную теорию, соответствующую лю­ бой из кривых разгрузки на фиг. 5 [6.3]. Однако поскольку такая обобщенная теория до сих пор не нашла применения, рассмотрение этого, вопроса мы отложим и вернемся к нему

7 З ак . 1254.

в следующей главе, где будет рассматриваться один частный пример.

Иное аналогичное обобщение (без ограничительного тре­ бования о линейности упрочнения) было предложено Бесселингом [6.4].

§ 7. Другие виды упрочнения

Рассмотренные в § 5 и 6 теории нельзя считать наиболее полными обобщениями для различного поведения материала при перемене знака нагрузки (см. фиг. 5). Так, например, интенсивность упрочнения с может быть различной в разных

Ф и г . 11. И зм енение ф ункции тек уч ести согласн о теории скольж ения.

направлениях. Такое анизотропное упрочнение может суще­ ствовать совместно с анизотропной текучестью или неза­ висимо от нее. Последнее явление описывается как кинема­ тической, так и изотропной моделями, так как последние не связаны с предположением о симметрии функций текучести. Обе теории могут быть обобщены и на случай анизотропной интенсивности упрочнения.

Во всех рассмотренных до сих пор теориях предполагалось, что форма кривой текучести остается неизменной, а ме­ няются лишь ее размеры или положение. Это ограничение связано не с физическими или математическими принципами, а лишь с соображениями простоты математических выкла­ док; по данным некоторых экспериментов [7.1, 7.2] оно не всегда справедливо. Более общая кусочно-линейная теория*

учитывающая изменение размеров поверхности текучести, предложена в [5.3].

Исходя из физических представлений о скольжении зерен, Батдорф и Будянский [7.3] предложили теорию, предсказы­ вающую совершенно иной вид роста поверхности текучести. Если, например, начальная поверхность текучести изобра­ жается некоторой кривой С и точка, изображающая напря­ жения, проходит траекторию ОР, то мгновенная поверхность текучести примет форму выпуклой оболочки, включающей С и ОР. На фиг. И незаштрихованная зона представляет собой начальную упругую область, а области, покрытые различной штриховкой, соответствуют добавочным упругим зонам, отвечающим Р ь Рг и Р3. Заметим, что упругие обла­ сти всегда добавляются друг к другу, но никогда не вычи­ таются.

Одна из особенностей этой так называемой «теории сколь­ жения» состоит в том, что изображающая напряжения точка почти всегда представляет собой угловую точку. Законы те­ чения в этом случае будут более сложными, и они приводят к уравнениям, которые трудно использовать. Частично по этой причине на основе теории скольжения удалось разре­ шить лишь небольшое число задач. Другая причина состоит в том, что некоторые экспериментальные результаты [7.4, 7.5] дают с этой теорией плохое совпадение. Ввиду этого нет смысла использовать эту сложную теорию вместо более простой. Таким образом, поскольку было бы преждевремен­ ным делать окончательные выводы, мы не будем более подробно рассматривать теорию скольжения.

Г л а в а 3

КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

§ 8. Идеально-пластинные тела

Проведенное в гл. 1 исследование справедливо для любой формы поверхности текучести. Однако при решении частных задач сложность очертаний поверхности текучести вносит большие затруднения. Поэтому, хотя экспериментальные ра­ боты Стоктона и Друккера [4.1] и Филлипса [4.2, 4.3] уста­ навливают, что в действительности поверхность текучести имеет весьма сложный вид, для получения решений прихо­ дится прибегать к аппроксимациям. В данной главе будет рассмотрена кусочно-линейная аппроксимация поверхности текучести. Эта идея была впервые использована в 1953 г. Койтером [8.1] при исследовании напряжений и деформаций в толстостенной трубе, находящейся под действием внутрен­ него давления. Другие решения частных задач были получены Прагером [8.2] и Ходжем [8.3], однако начало систематиче­

ского	развития	теории было положено	Прагером	[5.1]
в 1955	г.	что поверхность текучести	состоит из	ко­
Предположим,

нечного числа т граней, уравнения которых можно записать в виде

f —a}iQi~ 1> р = 1. 2, т. (8.1)

Аппроксимируя любую заданную поверхность посредством многогранника, мы располагаем свободой выбора: при боль­ ших т аппроксимацию можно сделать весьма точной, зато при малом числе граней анализ сильно упростится.

Если точка напряжений сохраняет контакт с одной гранью

		f = O'uQi — 1»	(8.2)
то	говорят,	что она находится в пластическом режиме 1.
Из	(1.8) и	(2.9а) следует, что закон течения в этом случае
будет иметь		вид	(8.3)
		Qi = BtjQj + Ха^.

Предположим теперь, что в момент времени t0 точка на­ пряжений переходит в режим 1 непосредственно из перво-

начального упругого состояния. Тогда (8.3) можно проинте­ грировать; получим

Й1 =

(8.4)

Так как X— неотрицательная величина, то такой же будет X. Непрерывность с упругими деформациями в момент t = t0

можно	получить, положив А, (/о) = 0.
Рассмотрим далее случай, когда точка напряжений, дви­
гаясь	из упругого состояния, достигает в момент			времени
t = t0	грани 1, а затем в		момент времени t = t\	попадает
в точку пересечения		граней	1 и 2, т. е. в режим 1—2. Допу­
стим,	что при t > t\	точка	напряжений остается	в углу,
так что		auQi = a2iQ i= \ .		(8.5)

Соответствующий закон течения получается из (2.96), и его можно записать в виде

Й1= BijQj-\-'kau -{-\^a2iy tx<it. (8.6)

При U < t < t \ справедлива зависимость (8.4), так что соот­ ветствующий интеграл уравнения (8.6) будет следующим:

(]i =

(8.7)

где JLI(^i) = 0. Заметим, что время tu при котором имеет ме­ сто переход из одного режима в другой, не входит в явном

виде в	(8.7).
Говорят, что точка напряжения движется «правильно»,
если	она переходит и-з упругого состояния,	например,
к грани 1, затем к пересечению граней 1 и 2, далее к пере­
сечению граней 1, 2, 3, и т. д. Другими словами,		«правильно»

движущаяся точка никогда не теряет соприкосновения с гра­ нями поверхности текучести. Однако интервалы времени на каждой ступени не обязательно должны быть ненулевыми; так что точка напряжений может, например, переходить не­ посредственно из режима 1 в режим 1—2—3. Очевидно, что

нужное обобщение проинтегрированного закона			течения
для интервала,	отвечающего	р-кратному пересечению,
примет вид
Й1= BijQj~\~ 2	V*p/i Qia$i = l*	Р — 1> 2, ... ,	р . (8.8)
P=I

Если точка напряжений не остается на пересечении гра­ ней 1—2, а движется по грани 2, то положение осложняется. В этом случае

(8.9)

Отсюда
4i=	&U’	(8.10)

где jx(^i) = 0. Таким образом, здесь деформации зависят от времени перехода.

Хотя, как видно, зависимости (8.4) между напряжениями и деформациями разрешены относительно деформаций, однако в них входит неизвестная величина %. Если, наоборот, задано деформированное состояние, то для упруго-пласти­ ческого материала равенства (8.2), (8.4) можно разрешить

относительно напряжений, выразив их через деформации.
Для	этого обозначим через btj матрицу, обратную к. BlJy
так	что
	bkfiij — *W-

Так как известно, что упругая зависимость является обрати­

мой ^при 0 < v < i j , T o	матрица blk существует		и является
симметричной. Умножая	(8.4)	на bkl, получим
bkfli — Qk 4~ bbfajk.			(8.11)
Далее, умножая (8.11) на alk и используя (8.2), имеем
bkiaik4i — 1		bkiaua\k^'
откуда
у _ bkiayi4i — 1			(8.12)
	bkiaua\k

Следовательно, при известном % зависимость (8.11) можно разрешить относительно напряжений

Qt, — bHql — bklaH brsa\r4s 1	(8.13)
brsalrais

Подобные же результаты получаются для общего случая многократного пересечения (8.8). Как можно показать, тре­ бование, чтобы А, было положительным и чтобы точка на­ пряжений не лежала вне любой другой грани, однозначно определяет соответствующую грань или грани, с которыми соприкасается точка напряжений. Однако следует указать, что такая инверсия возможна только для упруго-пластиче­ ского материала и теряет смысл для жестко-пластического материала. Это показывает, что в задачах, где упругие де­ формации малы по сравнению с пластическими, зависимость (8.13) может оказаться весьма чувствительной к малым вариациям.

§ 9. Упрочняющиеся тела

Если функция текучести является кусочно-линейной и если точка напряжений движется правильно, то результаты § 5 и 6 также могут быть выражены в конечной форме. Для простоты в дальнейшем предположим, что функция упрочне­ ния постоянна, хотя, как показал Сэндерс [9.1], интегрирова­ ние можно выполнить и в случае функции упрочнения более общего вида.

Рассмотрим сперва случай изотропного упрочнения [6.1, 6.2, 9.2] и предположим, что поверхность текучести состоит

из	конечного	числа	граней
			Л =	««Л/-	(9.1)
Тогда если		точка	напряжений находится на		одной грани,
то	(6.3) можно записать в виде1)
		А = FaJ =		Faai ■aaJ. Qj
и полная скорость деформации будет равна
		4i — BLJQJ -Аг FctaiaajQjt			(9.2)

где F = const. Аналогично в случаемногократного пересече­ ния

qi = BljQj + F f i l aa J ,	£ х в= 1 .	(9.3)
а =1	а = 1

Если точка напряжений движется непосредственно из упругого режима к грани 1, то надлежащее интегрирование

уравнения (9.2) даст
qt =	Faai (ae,Qy — 1).	(9.4)

При наличии определенных ограничений, налагаемых на пути нагружения, зависимость (9.4) представляет собой однознач­ ную зависимость между полными напряжениями и полными деформациями. Аналогично, если точка напряжений дви­ гается' правильно к многогранному углу, то интегрирование уравнения (9.3) приводит к зависимости

/р р

qt^ByQj+Ff ^ K a aldf,	2 Х«= 1 ’	(9-5)
1 а = 1	а =1)*

*) П равило суммирования не относится к греческим индексам, так как они не являю тся координатам и.

где Аа определяется так, что Яр= 0 вплоть до того момента,,

когда грань р начнет пересекаться с другими гранями. Аналогичные результаты можно получить для кинемати­

ческой модели упрочняющегося материала и для обобщен­ ного упрочнения, о котором говорилось в конце § 6. Но с целью представить основные идеи в простейшей форме мы вместо проведения наиболее общего исследования ограни­ чимся рассмотрением частного примера. Для этого иссле­ дуем случай двух граней

fi = Qu /2 = Q2

(9.6)

в двумерном пространстве напряжений. Мы будем пренебре­ гать упругими деформациями, т. е. рассмотрим жестко-пла­ стический материал.

При этих упрощениях для изотропного					материала из
уравнений (9.4) и (9.5) получим
qi= F (Q i — 1).	Яг — 0		на	грани		1,	(9.7а)
яi= 0 ,	?2 =	^(Q 2— 1)	на	грани		2,	(9.76)
/		/
qt = F f \ d f ,	q2 = F f l2d f		в углу		1—2,		(9.7в)
Поскольку А.1 + А* =	1, то можно исключить				и %2 , склады­
вая два уравнения	(9.7в).	Используя	равенство Qi = Q2>

справедливое в углу, получим

q1 + q2 = F ( Q i - V = F(Q2 - \ ) .

Для последующих выводов оказывается удобным сать (9.7) в следующем виде:

QI =	C<7I +	1»	II см	О	на	грани	1,
Яi =			Q2 =	cq2 1	на	грани	2,
Qi =	Q2 =	с (?1Н- Яг) + 1			в углу 1—2,
				1
			с = т •

(9.7г)

перепи­

(9.8а)

(9.86)

(9.8в)

(9.8г)

Следует помнить,	что уравнения (9.8) справедливы лишь
в том случае, если	точка напряжений движется правильно.

Для кинематической модели материала1) [5.1] из уравне­ ний (5.3) и (5.4) в приложении к этому частному примеру следует, что

<7i — Qi/с»	?2 = 0	на	грани	1,	(9.9а)
Я\ = 0,	<72 = Q2/C на		грани	2,	(9.96)
CQi = Qu	CQZ= QI	в углу 1—2.			(9.9в)

Предполагая опять правильное движение точки напряжений,

после интегрирования этих уравнений получим
QI =	C<7I + 1>	#2 = 0	на	грани	1,	(9.10а)
(j1=	0,	Qz— cq2+ \	на	грани	2,	(9.106)
Qx — c^i+1,		Q2= C<72-[-1	в УглУ 1—2.			(9.10в)

Наконец, рассмотрим общий случай линейной комбинации этих двух типов упрочнения [6.3]. Предположим, что действи­

тельная кривая				разгрузки на диаграмме растяжения — сжа­
тия (см. фиг. 5) идет вдоль CJK. Такой материал									можно
представить состоящим из а изотропных элементов									и 1— а
элементов кинематической модели 2), где а = DJ/DF. Следо­
вательно, умножая (9.8) на a, a (9.10)						на	(1— а) и склады­
вая результаты, получим комбинированный закон в виде
<3i =		£?i +	l>	<7г — 0		на	грани 1,		(9.11а)
^х =		0,		Qi = cqz-\-\		на	грани 2,		(9.116)
QI =		C (<7I 4-<*?2)+ 1> Q2— с (°“7I + <7г)"Ь1				в углу 1—2.			(9.11в)
	Таким жеобразом можно исследовать общий								случай
произвольного числа граней и углов.
	*)	Так как здесь рассм атривается простое				кинематическое			упрочне­
ние,	то возм ож н ое			влияние лю бы х	нулевых напряж ений			Q3 и т. д. не учи­
ты вается.
	2)	Эта	схем а, представляю щ ая		физический материал			в виде	одн ор од ­
ной	смеси		различны х простых элем ентов, ранее использовалась						Уайтом
19.3]	и	Бесселингом		[6.4].