книги / Симметрия в химии

—

D bd

D bk

A lg	A
А \ и	A
A 2g	4
^2tt	A
	A
E lu	A
E 4	A
E-ïu	A

T	2C5	2C2	i	5C2	Sad	2*10	MI0
l	2C5	2C2	° h	5C2	5« v	255	24

+1

+1

+1

+2

+2

+2

4-2

	+ 1		+ 1	+ 1	+ 1 + 1		+ 1
	+ 1		+ 1	— 1	+ 1	— 1	— 1	— 1
	+ 1		+ 1	+ 1	— 1 — 1		+ 1	+ 1
	+ 1		+ 1	—1 — 1			— 1	— 1
2 cos 72°		2 cos 144°		+ 2	0	0	4 - 2 cos 72°	4“ 2 cos 144°
2 cos 72°		2 cos 144°		—2	0	0	— 2 cos 72°	— 2 cos 144°
2	cos 144° 2		cos 72°	+ 2	0	0	4- 2 cos 144°	4 - 2 cos 72°
2	cos 144° 2		cos 72°	—2	0	0	— 2 cos 144°	— 2cos 72°

®_rjc4- a yy>

——

R z

■

г—

У	( a Xz,	a y z )
	ДЛЯ	D bd
R Xt R y	(a xz>	a y z)
	для	D sfl

®д:.г* ®yy> ®xy

——

Типы симметрии и характеры точечных									групп	Сб и С£л
Сбh	I	2Cç 24 - C3 4 - с , /				°h	253	5 s /
Ag	+1 -1-1			Ч-l	+1	+1 +1	+ 1	-hi	Rz axr-hayyi 0>2Z
Аи		+ 1	- f l		+ 1	- 1 — 1 —1 - 1			г		—
Bg	-И —1 "hi				—1	—1 + 1 —1 "h 1			—		—
Bu	+ 1 —1 Ч-l				—1 -hi — 1 + 1 - 1				—;		—
Big	+ 2	+ 1		—1	—2	—2 —1 +1		+ 2	Ry	^*XZ' &yz
Eiu	+ 2	+ 1		—1	—2	-f-2 -hi	—1	—2	•*. У
Big	+ 2 — 1			—1	+ 2	+ 2 —1 —1 + 2			axx		®yy<axy
Bzu	+ 2 —1			—1	+ 2	—2 + 1	+ 1	—2	—
а Для С0 отсутствие а^, S&, Sa и $ 2е з / исключает разделение											типов на
g и и и сводит типы симметрии к А, В,							и Е^.
									Таблица 1.18
Типы симметрии и характеры точечных									групп	C6v и D6

c6* I		2Ct W	9	2Сз	Я //
			2Сб^		CgsC2
D6	/	2Ce(z)	2C j j - 2C3		4 - c J

CO

со

Q

CO

3C'

Ax	+1	+ l	“h i	"hi	+ 1	+ 1	z для Cfty ®xv”h®yy'
A 2	+1	“hi	+ 1	-hi	- 1	—1	Q	—
							Z ДЛЯ D ,
							R z
в X	4*1 —1		"hi	~ 1	-hi	—1	—	—
B2	4-1	—1	“h i	—1 —1 + 1			—	—
Ex	+ 2	-hi	—1	—2	0	0	•*. y, Rx<	axz> ayz
							R y

E 2 + 2 —1 — 1

+ 2

0 0 —

axx ay y axy

D 6b	I	2C 6 H	2C Q S 2 C 3 c3= c "	зс2	*U OC	an 3 % 3ad 2S6 253 ^6= ^2= t
			4 “ l 2

A i s	+ 1		+ 1
А\и.	- F l		- И
A 2g	+	i	+ 1
■^2 U	+	i	+ 1
B 'g			— 1
^ 1 в	+	i	— 1
B 2g	+	i	— 1
&2U	++	2i	— 1
Elg			+ 1
Eiu	+ 2		+ 1
E2g	+ 2		—1
E2u	+ 2		—1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+ 1

—1

—1

—1

—1

+ 1	+ 1	4-1		4*1	4-1	4-1	+ 1	4-1
+ 1	4-1		—1 — 1 — 1 — 1 — 1					— 1
+ 1	— 1 — 1		4-1	—1 — 1 4-i 4-1				4-1		R z
+ 1	—1 — 1 — 1 4-1 4-1					—1 — 1 — 1				Z
— 1	4-1	— 1 — 1 — 1 4-1				4-1 — 1		4-1		_.
— 1	4-1	—1 4-1 4-1			— 1 — 1 4-1			—1
— 1	— 1 4-1		— l	4-1	—1 4-1 — l			4-1		__p
—1	— 1 4-1		4-1	— 1 4-1		—1 4-1		—1		_
—2	0	0	—2	0	0	—1	4-1	4-2		A 1*1 /	\ f j
—2	0	0	4*2	0	0	4-1				л *	'
							— l	—2		x, y
+ 2	0	0	4-2	0	0	— 1 — 1		4-2 •		— ■
4-2	0	0	—2	0	0	4-1 4-1		—2
								Таблица 1.20
Типы симметрии и характеры точечной группы									Т

г / 8С 3 ЗС г

А	+ 1	+1	+1		ах*4~ОСуу 4~аг г
Е	+ 2	- 1	+ 2	~ ~	а х х + «уу—2агг, ал-л—ау у
т	-J-3	О	—1	х *У• Z' Rx> Я у , R z	а л*у» a xz> a y z

GCt*jr -T“	w \i,	(XZ‘
• • ^ i	У У J	*

—

—

_

_

( X XZ4* 9 ». **( Z «ya «zv

—

--Ct... n

**XX Ыууу иХу

м

Со

Типы симметрии и характеры точечны х групп Та и О

I

8С3

6" d

Тб54

3$£м ЗС2

О

I

8С3

6 С 3

6с 2

3 C | s 3 C 2

А х

+ 1

+1

+1

'+ 1

+ 1

—

а ХХ

а у у “ Ь а 22

А г

+ 1

+1

—1

—1

+ 1

—

0*ХХ

^ у у

2(XZZl

&хх

а у у

Е

+ 2

—1

0

0

-f*2

—

—

Т г

+ 3

0

—1

- fl

—1

х , у ,

г д л я О , R x , R y , R z

a x y t

a xz*

а у г

2

+ 3

0

+ 1

—1

—1

х , у , г д л я T d

—

т

Типы симметрии и характеры точечной группы Од

Таблица 122

1

'

8 С 3

6С 2

6с4 3C 4 s= 3 C 2

6S4

**6

3°k

6ad

A \ g

+1

4*1

-fl

-fl

4*1

4*1

-fl -fl 41

-fl

ŒXX ~f" a y y

^ z z

А \и

+1

4-1

+1

-fl

-fl

—1

—l

—1

—1

—1

—

■Aag

+1

4-1

—1

—1

-fl

4*1

—l

-fl

+1

—1

—

А 2ц

-fl

-fl

—1

—1

-fl

—1

-fl

—1

—1

+ 1

—

%

4*2

—1

0

0 +2

+2

0

—1

+2

0

^хх~ )г

a y y 4 ~

X X T

*Gyy

—1

0

0

4-2

0

2(Z22»Q'

Ей

4-2

—2

0 -fl —2

—

T ig

+3

0

—1

-fl

—1

4-3

-fl

0

—1

—1 R * R y . R z

Тхи

+3

0

—1

4*1

—1

—3

—1

0

-fl

-fl

Уз *

T2g

4*3

0

-fl

—1

—1

-f3

—1

0

—1

-fl

a X y ,

a X Z f

a ,y 2

т2а

+3

0

-fl

—1

—1

— 3

-fl

0

-fl

41

—

Типы симметрии и характеры точечных групп / и /Аа

'Л

A g

К

тч

Л и

T2g

Ли

О* 6

" « *

Н и "

Т		12С5	12ci	20С3	15С2	1	12Л о		12S?o		20Sg	15а
1		1	1	1	1	1	1		1		1	1	1
1		1	1	1	1 — 1		—1		— 1		—1 — 1
3	0 +	V 5 ) / 2	(1 — V 5 ) / 2	0	— 1	3	(1 — К 5 )/2	( \ + У ь Ш			0	— 1	Л у .
3	(1 +	Та 5‘)/2	(1 — V S ) I 2	0	— 1	—3	(1 — y T )/2	(1 +	у Т )/2		0	1	х , у, г
3	( 1 — У "5)/2		( 1 + / 5 ) / 2	0	—1	3	0 + V D / 2	(1 — / 5		)/2	0	— 1
3	( 1 — / 5 ) / 2		(1 + V D /2	0 —1 — 3			0 + / 5 ) / 2	(1 -	/ 5	)/2	0	1
4		—1	—1	1	0	4	— 1		— 1		1	0
4		—1	—1	1	0 —4		1		1		— 1	0
5		0	0	—1	0	5	0		0		— 1	1
5		0	0	—1	0	—5	0		0		1 — 1

Для / отсутствие I, $ 10, S , и о исключает разделение типов g и и, типы симметрии сводятся к А, Тх, Т2, О и И.

0 Четырехкратновырождеиный тип. в Пятикратновырожденный тип.

^cov	I	2С2>	2С2(РСО	2С3<рОО	—	ОООу			ajrjr4ayy» azz
2+	4 1	+ 1	4* 1	+ 1	—	4 1		Z
2"	+ 1	+ 1	4* 1	4" 1	—	— 1	X,у,	Rz	—
П	+ 2	2cos ф	2cos 2ф	2cos Зф	—	0		R.Г»	Ry axz>ayz
д	+ 2	2cos ф	2cos 2• 2ф	2cos 3 • 2ф	—	0		—	axx—CLy,aXy
ф	1 + 2	2cos ф	2cos2 • Зф	2cos 3 • Зф		0
		Типы симметрии и характеры точечной группы D œ h							Таблица1.25

			2С1		оо		СО
g +					2С?У	2С3(р
		1	4 1		+ 1	+	1
2 +
К +		1	+	1	4*1	+	1
^g	+	1	+	1	+ 1	4-1
su-	4	1	+	1	4* 1	+	1
п*	+ 2		2cos ф		2cos 2ф	2cos Зф
П в	+	2	2cosq>		2cos 2ф	2cos Зф
д*	+ 2		2cos 2ф		2соэ4ф	2cos 6ф
К	+	2	2cos 2ф		2cos 4ф	2cos 6ф
	+	2	2cos Зф		2cos 6ф	2cos 9ф
0	4"2		2cos Зф		2cos 6ф	2cos 9ф
Ф			—		—	—
—

-	0ГЛ	соС2 ООО,„ “ 2,			оо	—Scfai
					252ф
-	41	41	41	41	41	-	41
-	—1 —1 +1			—1	—1	-------1
-	41	- 1	- 1	41.	41	-	41
—	—1 +1 —1			—1	—1	-------1
—	—2	0	0	—2cos ф	—2cos 2ф —		42
— 42		0	0	-f-2cos ф	4 2соэ2ф — —2
— 42		0	0	-J-2cos 2ф	42cois 4ф —		42
— —2		0	0	—2cos 2ф —2cos 4ф —			—2
— —2		0	0	—2cos Зф —2соэ4ф —			42
— 42		0	0	4 2 COS Зф 42 COS 4ф — —2
— — — —				—	—	--	-- ,

i

	axx"h ayy> azz
Z		—
Rz		-
—		—
RJCl Ry axz>ayz
X,y	axx	—
		a yy> a yz

——

——

——

— —

Число нормальных колебаний при различных типах симметрии

Точечная группа, полное число атомов

	С 2		(
O V =	2т —	т0)	V
C s — Cih			(
{N =	2 т	те0)	\
Ci = S 2			(
{N ~	2 т	те о)	(
			*
		C iv
(N =	4 т е +	2 mxz +	2тyz + т е 0)
			>
		Сйh
(N =	4т	2mh +	2 т е 2 + то 0)

Тип колебания

А

В

А '

А"

Ag

Аи

■^1

A i

Bi

В 2

Ag

Au

* g

в и

Число колебаний а

3 т е - | - т е 0 — 2
3 ni —[- 2т§ —		4
З т е -}~ 2 т 0 —		3
Зт —j—/7ZQ —		3
З т	— 3
3/7Z —j—З т 0 —		3
З т	—{—2т^2 "1”		-{—т		0 —	1
З т е	- j - mxz - f - myz —			1
З т е	—}~ 2тxz “ f* ffl-yz “ 1“ т-о —					2
3 те —|—mXz —		2ту%~{“ ^			о —	2
З т е - f - 2 т е /г -{ - т е 2 — 1
З т е - j—Год - J -		те о "j* тед —			1
З т е - f - т е /j - f - 2 т е 2 — 2						2
Зте -j- 2 /w /j		2те2 - f -		2 т е 0 —

Таблица I l Л

ю

С6

(N = 6m -{- m0)

S*

(N = 4m 4 2m24 mQ)

Se

(B = 6m 4 2mz 4 m0)

D3

{.N = 6m 4 3m2 -p 2m3 4 m0)

DA

(N = 8m -J- 4m24 4m24

4“ 2m4+ m

3m 4" m0— 2

3m

3m 4 - m0— 2

3m

3m 4~ m2 —“ 1

3m 4 -m 24 -m 0 — 1

3m 4* 2m2 4“ mo — 2

3m	4	- m2	— 1
3m 4		- m3 4 - m0 — 1
3m 4		-m 34-m o — 1
3m	4	“ m3	■1

3m 4 - m2 4 - m3

3m 4* 2m2 4~ m3 4~ m3 — 2 bm 4 “ 3m2 4~ 2m3 4~ m3 — 2

3m 4 - m2"h m2 “H

3m 4“ 2m24~ 2m24" m4 4 — 2 3m 4 “ m2 "b 2^2

3m 4* 2m2 4- m2

6m 4~ 3m2 4- 3m2 4 2m4 4 mo— 2

to

to

Точечная группа, полное число атомов

D6

(N = 12т -|- 6т 2 4" 6т2 4* J

+2щ-\-т0)

с		\
^3©	то)	J
<iV = 6/я + 3mv4*		|
г.„'-'40		(
		I!
(N —8т -{- 4mv-j- 4md-}- щ)		*
		»
Dsv		f
		I
Qf= 10m 4~§mv4~ m0)		1

Тип колебания		Число колебаний a
	)
Л»	Зте —J—/^2 ~f" /Яг, -}—iTZg
•^2	3/Ti—2//z2-f“ 2/7Z2 *4* ^6 ™f" ~
B,	3m -|- m2 -}-2m2
B2	3m -j- 2m2 + m2
E,	6/7Z —j—3/7Z2	3/7/2 + 2//ZQ-}- /TZg —2
E2	6m -(- 3m2 -|- 3m2
AI	3m-j- 2mv m0 — 1
A2	3m41- mv— 1
E	6m 3mv-{- m0 —2
Ai	3m-f-* 2mv4- ~md4~ rno— 1
Л	3m 4~	4" md— 1
Bi	3m 4- 2mv4~ rad
B2	3m	2md
E	6m -J- 3mv4- 3md-f OTQ—2
Ai	3m 4- 2mv4~ m0 —■1
A2	3m 4“	— 1
EI	6m 4“ 3m^ 4- m0 — 2

l

Ez

6m 4~ 3m.y