книги / Справочное руководство по проектированию разработки и эксплуатации нефтяных месторождений. Проектирование разработки

Сумма членов в правой части уравнения (XV.42), начиная со второго слага­ емого, определяет функцию — источник возрастания энтропии /$* за счет необ­ ратимых процессов: теплопроводности, диффузии, фазовых и химических пре­ вращений и других, так как

д (рS) __
dt	= — div (Js)i 4- Isi

Здесь 1st — объемная мощность источника энтропии.

Эта функция с учетом соотношений Онзагера и принципа Кюри используется при определении необратимых потоков, которые выражаются через параметры состояния системы. В этом случае применяют различные аппроксимационные формулы функций состояния, полученные на основе экспериментальных термодинамических исследований.

После выражения потоков через параметры состояния, из уравнения общего баланса энтропии (XV.42) получают (путем замены значения энтропии комплек­ сом, содержащим параметр температуры или энтальпию) общее уравнение энер­ гии, которое замыкает систему уравнений неизотермической фильтрации. Таким образом, получаем расчетную систему дифференциальных уравнений.

Приведем выражения для необратимых потоков массы и энергии в рассмат­ риваемом процессе.

Термодинамические силы, определяющие необратимые потоки, в данном случае имеют скалярный, векторный и тензорный характер. К первым относятся силы, вызывающие фазовые переходы, химические реакции, релаксационный теплообмен между фазами, ко вторым — теплопроводные и различные диффузион­ ные процессы, к третьим — силы вязкости, напряжений.

Процессы со скалярным и тензорным характером взаимосвязаны. Поэтому выделим две группы потоков: векторные и скалярные с тензорными.

Векторные потоки (их четыре)

		к—1
	jji	1=1
	/2—1		Wj — Wl
	+	2 *-14
				Tj	'
		/=1
			к —1
	Т-	_	V	L	v
	JQ.. ——			L,lV
	Л		2 j
			i=i
		/2—1	->		->
			Wj — W[
		/=1		Tj
			к—1
			i=l
			0ji -		Ф}к

к	„ ^		к—1	->
1=1	1	1	1=1

	k		VstiTj к—1 т -*	->■
Tj	i	22	9.Я	m
	Z j		siTi
	i—l

14

		VsjTj
Tj	■ Е	<гТ2
	1=1	V /
п—1

~ 2 L33	Tj	+ S
1=1		/= 1

323

			>у- -	Уц,		VsjTj
	i= l			2		s.T •
				1= 1		/	/
K—1		ф,-		Wj — ДО/
	-43						(XV.43)
- 2				/=i	7 T ~
I—1
i = 1 ,2 , .		к;	/ = 1 ,2 ,..., n\		n	s, =	I.
					J]
					/=i
При y = l,		2,	я — 1	м//х/// =	A (p< /пi*xjni) и т. д.

Здесь La&— кинетические коэффициенты (скалярные величины, функции параметров состояния, определяемые на основе экспериментальных и полуэмпирических исследований), согласно соотношению Онзагера Lab = Ца (принцип симметрии коэффициентов), что значительно уменьшает число определяемых коэффициентов; коэффициенты Ln , L12, L23, L44 характеризуют соот­ ветственно коэффициент диффузии при градиенте концентрации, поток вещества при градиенте температуры (эффект Соре в жидкостях), теплопроводность, поток тепла в зависимости от градиента концентрации (эффект Дюфура), тепловой поток в результате взаимодействия фаз и т. д. Физический смысл каждого кинетического коэффициента определяется соответствующими термодинамическими действую­ щими силами.

Скалярные и тензорные потоки (всего семь):

		QjituU,l)xi		/i—i			L'	Pjia/u
				15	T .
+ 2		Lu	f .			* - 2			Ti
	f=l					r=i
	n—1	T j - T t
-	2	-17	Tj
	/= 1
				V	Wj			. *i«uU .i)V
n/ =		- L21		-22 Т	Г			■23	f .
	V	Q	,u				r	Pjfim
+ 2 j		L24	Y,	L25— T]~
						f 2	26 —fT "
	/=1					/=i
	/I—1	Г,-— r ,
-	2	^7	7’;
	/=1

324

			,	(	о +	\с
т	_	т		l Grad Wi			т'
				\		Ji
1 ufyi —		^31			^----------—-
					Tj		32

V •wi	к	Гп—\	х/Дц(/П* W•'.мф</ V	i
	, П	I V » ,J-
J .	+		Г,	+
	i=1 L/=1 L33

,

V

Г*

0/,<“(Л

,,J:' I

V

i '

**/<*/«

,

V»

^ i Q/«

+

2 j "34

Ту

+

2 j

L35 — 7 7 - +

2 j

Z6~ T ~

n—1

7 ^ - 7 ,

2 j

La7

Tj

?

/=1

,

(oradBDy)

f . V-wy (

к

Г'»—1

x//i“(/. /) Ф*’

V»

+

Juxt —

L41

7^

L42

T.

i=i

Z j

^43

7\*

L/=i

^ Hi

»

n—1

M-/iO

,

V '

г *

V

f'

,

V*

,,

ili U .l)xi ,

ni^jil

+

Z j

44

r l

h Z j

45— Tj

*■Z j

l 46

t ,

f=i1

/=1

/=1

и—1

r-

T y - T ,

• 2

“7

T ~

/=1

х//<“(/. /)фг

H,4Q

/»•“ /«

/=1

П—1

-

2

-

/=1

Ixi ~

t ,

(Gradtfy)

r ,

4 wj

(

/

, I

/

,

f ,

x//iu(/. МФ»

^61

7^

^

тГ

г

j

7*63

тП

-62

T]

‘r

Z

j [ Z

Tj

,

V '

Qjliu(j,l)xi

,

V-jPui

,

V-jlQjli

+

2 j

Le4------ Tj------+ Z j

65'

Tj

+ Z j

66

Ту

7

/=1

f=i

и—1

T y -T ,

-

2

-67

Tj

/=1

335

/= 1 ,2 ,	к; /=	1 ,2 ,	., п\ / = 1, 2,	(XV.44)
Здесь коэффициенты		Ljp	L12, Lg3, L55, L6V Lg6,	характеризуют соответ­

ственно сдвиговую вязкость, объемную вязкость, энергетический эффект при фазовых переходах, интенсивность фазовых превращений, энергетический эффект при химических реакциях, интенсивность химических превращений, теплообмен между фазами.

Другие коэффициенты учитывают сопутствующие и перекрестные процессы и явления, физический смысл которых определяется соответствующими термоди­ намическими силами.

Значения	коэффициентов Lab и Lab определяются в соответствии с рас­
сматриваемым	конкретным внутрипластовым	процессом. Они	подставляются
в уравнение для необратимых потоков (XV.43)		и (XV.44), потоки подставляются
в соответствующие формулы (XV.42) и др. Простыми примерами			является рас­

смотрение двух-трехкомпонентной системы. В этом случае различные коэффици­ енты (диффузии и термодиффузии) легко определяются.

Переход от энтропии к температуре Т осуществляется с учетом термодинами­ ческих функций и соотношений, например [45],

или

dSj = ~L dTj - А

1 J
/ дТ \	Tjdj 1
\ dpj / Hj	Cj

Здесь Cj — теплоемкость (при постоянном давлении) фазы/, рассчитанная на еди­ ницу объема; р}. — давление (или напряжение для твердой фазы), aj — коэффи­

циент объемного расширения; Hj — энтальпия, Hj = uj +

; eHj ~~ К0ЭФ'

фициент Джоуля—Томсона (у идеальных газов е/у = 0, у реальных газов данный коэффициент равен нулю только в точках инверсии).

Если пользуются линейными приближениями, применяется простое соот­ ношение:

dSj _	Cj	dTj	а’т0.	dPj
dt	pjTj	dt	A pjTj	dl ‘

326

Проведя соответствующие преобразования и подстановки в (XV.43) и не учитывая отдельные величины второго порядка малости, получаем общее урав­ нение энергии для описания процесса неизотермической фильтрации многофаз­ ной многокомпонентной системы при фазовых переходах и химических реакциях:

д (msjuCjTj)

(CjTj -

Aa'iTjP/) »/ +

dt

= — div \msjn

+ 7c>j -

2

|

+ m0s/n

~ 2

П/“

(Grad w.)

-

К

/

- n

( di

1=1

V

v t

t

+

к

r f n—1

A

\

i=l

(

2

l) Ф4’/мФ1'

T j

®iliU(j, l) Xiluxf

I “

L\/=i

f=i

In - 1

Ъ

-

( 2

•v*/" v

+

2

‘ill lxl

V/=i

f=i

K—1

n—1

/1-1

-

2

v

A<-

ф /к)+

2

v

A

- ®<) -

2

(Г/ ~ M

■

(XV.45)

i = 1,

2,

.

к;

/ = 1,2....... n; /= 1 ,2 ,

fl;

П

1.

/-=1

При этом

[18]

(Gr°adtt>)aft =

_1_ / dm»

da/a

s

2

\ dxa

dxb

(a, 6 = 1 ,2 ,

3),

6a6 =

If

если

a —b\

6 = 0, если a=f= b.

Уравнение (XV.45) общее, из него получаются различные частные системы (уравнения И. А. Чарного, Э. Б. Чекалюка и др.). Ценность этого уравнения со­ стоит в его универсальности и в том, что оно дает возможность изучать целый ряд новых технологических процессов, внедряемых сейчас на промыслах Советского

Союза для повышения нефтеотдачи пластов.

В заключение представим систему дифференциальных уравнений, описы­ вающих процесс неизотермической фильтрации многофазной, многокомпонентной жидкости в упругом деформируемом коллекторе, при фазовых и химических превращениях.

327

Уравнение неразрывности для фазы /, полученное с учетом (XV.28) и за­ висимостей физических свойств коллекторов от давления и температуры:

d (synPy'^yi)	— SjaPjMji |[(1 — mo) Pn — Pt		dt
Ft
	dp	дТЛ
H—(1 — ®p) Ртв -Qj — (1		®T) ®Г,
		т>гв~дГ) =

=— div [msju [pjMjt (wj — wc) — Jji]} +

КГ/2—1 Ф

+ MSju 2	2	Kjlilfyi +	Jj Qjlilxf
i=1L/= 1			f=1
i = 1, 2.......	к;	/ = I, 2,	.... л; / = I. 2.........	Ф; £ sjn =	I £
				/=1	i=i

Уравнение энергии для жидких и газообразных фаз:

(XV.46)

Л4/, = 1.

d (mSjnCjTj)

I

(CjT — asjpj) (Wj — wc) +

dt

----- =

— div Imsju

+

W< -

I**)'/.]} + "V /. {“• / %

-

К

-

23 f b

■ (Gfad (» /- ®c))c -

n . div (»/ -

®c> +

t=i

J

1

+

23

(23

+

23

/

— 23 aji

(T/ ~

Tt)

(XV.47)

(= 1 \/=l

/=1

/=1

i =

l,

2,

к;

/= 1 ,2 ,

, л;

/ = 1 , 2 , . .

■»;

J]

s/n,= l.

/=i

Уравнение энергии для скелета коллектора:

d|(l - т )

СпГп] = _

div {(! -

т) [(СПТП- a j ) wc + Увп]} +

dt

50*

,

П-\

-j

+ ( l- m )

2

aij (Tn -

Tt) ,

(XV.48)

asa~dF +

l=\

j

Согласно

обобщенному

уравнению Дарси—Герсеванова

при

фильтрации

жидкостей

с

учетом

начального

градиента давления

->

-*

kF; (Sj, Т)

->

msjn (wj -

wc) =

--------- Щ

— WPj -

Gi (*■ T)l

Здесь k — абсолютная проницаемость [см. XV. 11) ]; Fj — фазовая проницаемость, функции насыщенности и в общем случае — температуры; jи;- (Т) — вязкость фа­

зы /, функция температуры; Gj (k, Т) — начальный градиент давления сдвига

328

(значения этой экспериментально получаемой функции подробно				обсуждается
в гл. XVI, где рассматриваются различные условия фильтрации);
ш = т 0 ехр ^|	[(Рвк	Ртв) (Р Ро) — (аг, вк	тв) (Т — ^о)]^ »
т 0 — пористость,	приведенная	к начальным пластовым условиям при р0 и Т0\
0* — напряжение в коллекторе;
Jqj = Я/ grad Tj\
х*, Q*, as — коэффициенты,		учитывающие теплоту фазовых и		химических

превращений и сжатия (расширения) фазы.

Если в (XV.47) не учитывается третий член, стоящий подзнаком дивергенции, и третий и четвертый комплексы, стоящие в правой части, то получается урав­ нение энергии, близкое к уравнению Э. Б. Чекалюка [45], но которое дополни­ тельно учитывает энергию фазовых и химических превращений [37], [41]. Из приведенной системы, как частный изотермический случай получается известная система уравнений М. Маскета для фильтрации трехфазного потока (нефть,

вода, газ).

Система (XV.46)—(XV.48) с учетом экспериментально получаемых функций состояния является замкнутой. Она позволяет решать многие практически важ­ ные вопросы и задачи при проектировании месторождений в условиях неизотер­ мического заводнения и применения различных теплофизических методов воздей­ ствия на пласт.

ГЛАВА XVI

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПРОЦЕССОВ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ РАЗРАБОТКИ НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ

В предыдущей главе даны обобщенные уравнения неразрывности и энергии для многофазных упругих потоков нефти, воды и газа, фильтрующихся в дефор­ мируемых продуктивных коллекторах в процессе разработки месторождений.

Приведенные системы позволяют, в зависимости от применяемой технологии разработки и методов воздействия на нефтяные пласты, получать различные рас­ четные соотношения для описания многих частных процессов и операций, встре­ чающихся в нефтепромысловой практике. В настоящей главе изложены числен­ ные методы расчета процесса неизотермической фильтрации.

§ 1. РАСЧЕТ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ВЫТЕСНЕНИЯ НЕФТИ ВОДОЙ В МНОГОСЛОЙНОМ ПЛАСТЕ ПРИ РАДИАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Рассматривается радиальный неоднородный слоистый пласт, насыщенный нефтью, обладающей вязко-пластичными свойствами (начальным градиентом дав­

ления сдвига).

Пусть в центре пласта при заданном перепаде давления на контурах осуще­ ствляется нагнетание холодной или горячей воды с температурой, отличной от начальной пластовой. Пропластки считаются гидравлически изолированными (перетоки жидкости отсутствуют), но термически контактаруемыци. Действие силы тяжести и капиллярные явления не учитываются.

Требуется на каждый момент времени рассчитать последовательно по каждому слою: положение фронта вытеснения нефти водой; насыщенность коллектора во­ дой и нефтью; долю воды в потоке; температуру, перетоки тепла из одного слоя в другой; потери тепла в кровлю и подошву; скорости вытеснения по каждому

329

пропластку. Требуется также определить показатели вытеснения: текущую до­ бычу нефти, воды и нефтеотдачу.

Для	расчета процесса применяется метод ячеек, предложенный М. Г Али-
шаевым,	Е.	В.	Теслюком и		др.			RKразбивается на
В соответствии с этим методом пласт в области rc ^
кольцевые зоны			г*_! <	г ^ rx\	i —	1, 2,	..., п\ г0 = гс;	гп = Rk-
Кольцевая			область	одного	из	слоев	многослойного	пласта с номером /,
у = 1, 2,	...,	N (N — число слоев) именуется ячейкой (*', у). Ячейка с номером

(О, у) отсутствует, эти индексы присваиваются входным величинам на забое скважины.

Температура и насыщенность в пределах каждой ячейки осредняются — ТijySij. Между ячейками существуют перетоки тепла qij. Изменение температуры в каждой ячейке происходит за счет переноса тепла конвекцией в данной ячейке

икондуктивного теплообмена с соседними ячейками из-за разности температур.

Оп р е д е л е н и е т е м п е р а т у р ы . Разностное уравнение баланса тепла имеет вид

+[(С /в + С /Н)ЧТЧ -

- ( c X + c HrH)i_ i, i Ti_ U j]Qjhj Д< =
	Г	Тi+i : — Тif	ТЧ - т 1-1, /1
=	2n\*hj М	-------	-ги 1-	АГ; 1 J	+
+					(XVI. 1)

Уравнение для определения средней температуры ячейки имеет вид

	=	Bi	Ti+1- T j	ri
			гi+i — ri-l
	a		Q &t	Сн .
			« И - '? - . )	с * ’

T i - T U l\	+	ЯШ— ЯК/ ду	(XVI.2)
Г[ — Г1_2 /		hCQ

D4Я* At

со ? - '? - , ) '

с в/в + с н/н = Сн ( 1+ /в) ; АС = С „-С „.

Здесь Т+ — температура на следующем временном слое (для первой ячейки г0 =

= г1 = 0; /* =		1; для последней ячейки при i = п			Тп+1 =	Тп	или же прини­
мается Bi = 0).
Я* =	[XBs -f- Ял (1 — $)]ш Ч~		0	^0»
с* =	[CBS +	с„ (1 - s)] m +	Сп (1 -	т);
hj — толщина слоя; ATij— прирост температуры					в ячейке за		время А/; Св,
Сн — объемная		теплоемкость соответственно воды и нефти;				/J, f* — доля воды

инефти в потоке; Qy — общий объем жидкости, закачанный в единицу времени; С*, К — объемная теплоемкость и теплопроводность пласта, насыщенного водой

инефтью.

В уравнении (XVI. 1) в левой части значение Tij берется в момент времени t + А/, в правой части — в предыдущий момент t. Данная разностная схема имеет первый порядок точности по времени.

Перетоки тепла в смежных пропластках рассчитываются согласно системе

уравнений:
hjQj+i 4- 2 (hj + hj_i) qj + /t/_i i = 6Я* (Ty_i — Tу).	(XV1.3)

330

Учтено, что граничные значения температур				слоев Т\х и Т'к выражаются
через средние	значения Tj и	потоки тепла	в форме
г п = Т/ +	6 ^ (2<?п + ^к);	т к = Tj —	6x7	+ 2<?к^-

Теплообмен пластовой системы с кровлей и подошвой определяется в каж­ дый момент времени по приближенной формуле, учитывающей распространение возмущенного температурного профиля в кровле и подошве по параболическому закону,

т = т к.п ( 1~ т ) 2

<x v l-4>

где ГК| п (t) = Тк п (t) — Т0; Т0 — начальная температура пласта; Тк п — со­

ответственно текущая температура на кровле и подошве пласта; / (/) — толщина зоны (горных пород) с измененной температурой.

Поток тепла в кровлю и подошву

дТ

2=о

_ 9>

к’ п

Гк,п(0

(XVI.5)

<7к, п (0 — — ^ к* п

/ (0

*

Z=- Н

Параметр

/ (/) можно определить

по уравнению

Г ^ 1 + 2/2 аТ“

-

2Хк-п / — '

12

а

° 'к \

(XVI.6)

д

дТ'“

к

dt

dt

( 6Т|< +

г

а /

аг ) *

которое

интегрируется

разностным методом

Д/2 =

12ЬК. н М — DI2 Д/,

С

где

D =

2

[Д7\-

2\

Г

г{

Т[+\ — Т\

С (гii —

т \

Д/

гi~i ) | r .

i

rt+i — ri-1

L

H

ri_\

Тi — Т|’—1

При Ti =

0 комплекс D неопределен. Поэтому должно быть предусмотрено,

чтобы новое значение / рассчитывалось только

после изменения температуры

в ячейке более чем на 1°С.

воспользоваться алгоритмом

При

упрощенном

подходе можно

£ 2П= Ч, п + - ^

А' -

D«An А<.

(XVI.7)

При этом в качестве начального значения /к, п берется ^к, п

т. е. половина

толщины верхнего (нижнего) слоя. Потери тепла в кровлю и подошву можно определить по формулам

гр’	_		т ' _	2X 7^
1 к	— 2Х„ <?/v+1’		' " —
q -	/п	Г -	q	(XVI.8)
-			V+l —	/к

331

Для определения перетоков тепла р/, / = 1, 2, jV + 1, можно применить метод прогонки.

Если поток тепла представляется в виде рекуррентного соотношения

	Qj+i = AjQj + Bj,				(XV1.9)
	TO	Лдг/бА.»		TN
					(XVI. 10)
	<7'v+1 “ 2fcw/6X* + /„/2*. ^ +		/iiV/3X* + IJ2X ’
	Рекуррентное соотношение для		прогоночных коэффициентов
	>1л' = - -	1	5лг =	6Х. (Гу-1 -	T'/)/hi-1- (А//А/-1) Д/
		14ЗАщ/к/Лдг'Х		2 +	(2 + i4y) Л//Л/-1
	Для значений	TJ и qx имеем			(XVI.11)
					(XVI.12)
	Я1= —	By -f- 6X^T[/hi___			(XVI.13)
		2 4* Ai -j- ЗЯ»*/ц/ЯЛ1

Формулы (XVI.9)—(XVI. 13) прогоночные, по ним определяют перетоки теп­ ла. При необходимости эти формулы можно упростить. Отметим, что здесь Г'. —

разность средней температуры слоя и начальной температуры горной породы

(Г0).

Если в качестве расчетных применяют более простые формулы (XVI.8), то вместо (XVI. 11) принимают

Ау — 0, BN — 2%Тдг//к.

(XVI.14)

О п р е д е л е н и е н а с ы щ е н н о с т и . Учитывая, что нефть обладает начальным градиентом давления сдвига, принимают следующие законы филь­ трации (XV.22):

wv = — k , F"~Vp; цв (Т)

G„(k,T)

I Vp| ) ] №

при | Vp I > G„ (k, Т)

суммарная скорость w =,wB-f- wH' Если | yp | > GH(7\ k)

—		* Г -!		+	Fн	1	GH(T,k)			Vp.	(XVI.15)
		L^b (T) ^			(i„ (T)			I Vp|
Если		dp	< Gu (7\ k),
		~
			в		dp
\w\ = k pB(T)					dr ’
m	= * (		F„	,	F„ \ £P__			k^	o	H(k. T),	(XVI.16)
			Рв (Г)■+		|Хц (71) /	dr
/ =			1		.		_ Г I		I	FnGH(k, 71)	i
	1	F,,fiD(7,)//rBfxn (Г) '					/b ~L		+	ц„(Г)|ю |	Г

332